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【机器学习】主成分分析法（PCA）

news 来源：原创 2025/8/20 18:43:27

【机器学习】主成分分析法（PCA）

  • 一、摘要
  • 二、主成分分析的基本概念
  • 三、主成分分析的数学模型
  • 五、主成分分析法目标函数公式推导（`梯度上升法`求解目标函数）
  • 六、梯度上升法求解目标函数第一个主成分
  • 七、求解前n个主成分及PCA在数据预处理中的处理步骤（后续实现）

一、摘要

本文主要讲述了主成分分析法（PCA）的原理和应用。PCA通过选择最重要的特征，将高维数据映射到低维空间，同时保持数据间的关系，实现降维和去噪。通过具体的例子和图示解释了PCA的原理，并比较了两种降维方案，解释了为什么选择将数据映射到x轴上可以得到更好的分类效果。最后强调了在PCA之前需要对所有样本的均值进行归零处理。通过这篇文章，读者可以深入了解PCA的原理和应用，并掌握如何使用PCA进行数据降维和去噪，提高分类效果。

二、主成分分析的基本概念

  1. 定义：
    PCA（Principal Component Analysis）即主成分分析，是机器学习中一种常用的数据分析技术，PCA 是一种无监督的线性降维算法，它通过线性变换将原始数据转换为一组新的特征，这些新特征被称为主成分，它们是原始特征的线性组合，并且在尽可能保留原始数据信息的前提下，实现数据维度的降低。
  2. 作用：
    • 数据降维：在很多实际应用中，数据的维度可能非常高，这会导致计算量增大、模型训练时间变长以及可能出现的过拟合等问题。PCA 可以将高维数据映射到低维空间，在保留大部分关键信息的同时，大大减少数据的维度，提高计算效率和模型性能。
    • 去除噪声和冗余：原始数据中往往存在一些噪声和冗余信息，这些信息可能会干扰模型的训练和预测。PCA 通过提取主成分，可以去除一些与其他特征高度相关的冗余信息，以及一些对数据整体结构影响较小的噪声，使数据更加干净和易于处理。
    • 数据可视化：对于高维数据，很难直接进行可视化展示。通过 PCA 将数据降维到二维或三维空间后，可以方便地进行数据可视化，帮助人们直观地理解数据的分布和结构，发现数据中的潜在规律和异常点。
  3. 底层原理：
    • 协方差矩阵与特征值分解：首先计算原始数据的协方差矩阵，协方差矩阵可以衡量各个特征之间的相关性。然后对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。特征值表示对应主成分的方差大小，特征向量则表示主成分的方向。
    • 主成分的选取：按照特征值从大到小的顺序对特征向量进行排序，选择前k个特征向量作为主成分，其中k是降维后想要得到的维度。这些主成分所对应的特征值较大，意味着它们能够解释原始数据中较大比例的方差，即包含了原始数据的大部分重要信息。
    • 数据投影：将原始数据投影到选取的主成分所张成的子空间上，就得到了降维后的数据。具体来说，对于原始数据中的每个样本，通过与主成分对应的特征向量进行线性变换，将其映射到新的低维空间中。
  4. 补充方差的概念
    1. 方差的意义：方差是数据点与其平均值之间差异的平方的平均数。它反映了数据分布的分散程度。
    2. 方差大 vs 方差小：
      • 方差大：数据点远离均值，分布广泛，样本显得稀疏。
      • 方差小：数据点接近均值，集中分布，样本显得紧密。
    3. 图形化理解：高方差的数据通常在图表中表现为更长的尾巴或更大的范围，而低方差则集中在中间区域。
      结论：方差越大，样本间越稀疏；方差越小，样本间越紧密。

三、主成分分析的数学模型

  1. PCA的目标是找到一个方向向量w，使得所有样本映射到该方向后方差最大。而PCA寻找最大方差方向，进行数据降维。
    在这里插入图片描述

  2. 映射后的样本方差计算公式为每个样本与方向向量w的点积的平方和除以样本数量m。 映射过程可以通过几何方式解释，即将每个样本点垂直投影到目标方向向量w上。投影长度等于样本点与方向向量w的点积结果，反映了样本在该方向上的分布情况。
    在这里插入图片描述

  3. 当均值为零时，方差计算公式进一步简化为向量模的平方和除以m。
    在这里插入图片描述

五、主成分分析法目标函数公式推导（梯度上升法求解目标函数）

  1. 目标函数对每一个w求偏导数（梯度）：
    在这里插入图片描述

  2. 通过向量点乘后简化公式如下：
    在这里插入图片描述

  3. 通过进一步向量化点乘处理后，可以简化如下所示：
    在这里插入图片描述

  4. 最后来看下简化的梯度：
    在这里插入图片描述

六、梯度上升法求解目标函数第一个主成分

  1. 生成测试数据集

    import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 生成数据
X = np.empty((100, 2))
X[:, 0] = np.random.uniform(0., 100., size=100)
X[:, 1] = 0.75 * X[:, 0] + 3. + np.random.normal(0, 10., size=100)# 绘制数据散点图
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1])
plt.show()

    效果：
    在这里插入图片描述

  2. 均值归零处理

    # 在进行PCA之前需要实现均值归一划处理，也就是将均值归零
# 1. 定义均值归零的函数，定义了一个名为demean的函数，该函数接受一个数据集X作为参数。
def demean(X):# return X - np.mean(X, axis=0) 是函数的主体部分。# np.mean(X, axis=0)计算数据集X每列的均值，axis=0表示沿着列方向计算。# 然后用原始数据集X减去每列的均值，实现对数据的去均值操作，即让每列数据的均值变为 0 ，最后返回去均值后的数据。return X - np.mean(X, axis=0) # 2. 调用函数，并赋值给X_demean
X_demean = demean(X)# 3. plt.scatter(X_demean[:, 0], X_demean[:, 1]) 使用matplotlib库的scatter函数绘制散点图，横坐标为去均值后数据X_demean的第一列，纵坐标为第二列。
plt.scatter(X_demean[:, 0], X_demean[:, 1])
plt.show()

    效果：
    在这里插入图片描述
    验证下均值归零是否正常：

    # 验证下均值归零是否正常
print(np.mean(X_demean[:, 0])) # 计算第一列均值
print(np.mean(X_demean[:, 1])) # 计算第二列均值

    结果：
    1.1723955140041652e-14 约等于0
    2.5579538487363606e-15 约等于0

  3. 目标函数、梯度上升法等对应公式的代码实现

    # 1. 实现目标函数：找到w，使得方差最大的函数，接受权重向量w和数据集X作为参数
def f(w, X):return np.sum((X.dot(w)**2)) / len(X)# 2. 求梯度，即目标函数f的解析梯度函数，用于计算梯度。这里通过数学推导得出的梯度公式，X.T.dot(X.dot(w) * 2. / len(X))实现对目标函数求导后的计算，返回梯度向量。
def df_math(w, X):return X.T.dot(X.dot(w) * 2. / len(X))# 3. 该函数是通过有限差分法近似计算梯度，用于调试和验证df_math函数的正确性。
#    epsilon是一个很小的数，用于计算数值梯度。通过分别对权重向量w的每个维度加上和减去epsilon，计算对应的函数值差，再除以2 * epsilon来近似该维度上的梯度，最终返回一个近似梯度向量。
def df_debug(w, X, epsilon=0.0001):res = np.empty(len(w))for i in range(len(w)):w_1 = w.copy()w_1[i] += epsilonw_2 = w.copy()w_2[i] -= epsilonres[i] = (f(w_1, X) - f(w_2, X)) / (2 * epsilon)return res# 4. 该函数用于将输入的向量w进行归一化处理，使其成为单位向量。
#    np.linalg.norm(w)计算向量w的范数（长度），通过将向量w的每个元素除以其范数，得到方向不变但长度为 1 的单位向量。
def direction(w):return w / np.linalg.norm(w)# 5. 定义gradient_ascent函数，实现梯度上升算法：
# def gradient_ascent(df, X, initial_w, eta, n_iters = 1e4, epsilon=1e-8)，实现梯度上升算法。参数含义如下：
# df：计算目标函数梯度的函数。
# X：数据集。
# initial_w：初始权重向量。
# eta：学习率，控制每次权重更新的步长。
# n_iters：最大迭代次数，默认值为10000（1e4）。
# epsilon：收敛阈值，默认值为1e-8，用于判断算法是否收敛。
# w = direction(initial_w)，对初始权重向量initial_w进行归一化处理，得到初始的单位权重向量w。
# cur_iter = 0，初始化当前迭代次数为0。
# while cur_iter < n_iters:，开始迭代循环，只要当前迭代次数小于最大迭代次数就继续执行：
# gradient = df(w, X)，调用梯度计算函数df，计算当前权重w下的梯度。
# last_w = w，保存上一次的权重向量。
# w = w + eta * gradient，根据梯度上升公式更新权重向量，沿着梯度方向移动eta倍的梯度长度。
# w = direction(w)，对更新后的权重向量w再次进行归一化处理，保持其为单位向量。
# if(abs(f(w, X) - f(last_w, X)) < epsilon): break，计算当前权重和上一次权重对应的目标函数值之差的绝对值，如果小于收敛阈值epsilon，则认为算法收敛，跳出循环。
# cur_iter += 1，每次迭代结束后，迭代次数加1。
# return w，循环结束后，返回最终得到的权重向量。
def gradient_ascent(df, X, initial_w, eta, n_iters = 1e4, epsilon=1e-8):w = direction(initial_w)cur_iter = 0while cur_iter < n_iters:gradient = df(w, X)last_w = ww = w + eta * gradientw = direction(w)if(abs(f(w, X) - f(last_w, X)) < epsilon):breakcur_iter += 1return w

    验证代码正确性：

    # 测试梯度上升法求解结果的正确性
# 初始化权重向量
# 生成一个长度等于数据特征维度（这里是 2）的随机权重向量。不能用 0 向量开始，可能是因为用 0 向量开始在梯度上升法迭代中会导致一些问题，比如收敛缓慢或无法收敛。
initial_w = np.random.random(X.shape[1])  # 注意2：不能用0向量开始
print(initial_w)# 设置梯度上升法中的学习率，控制每次权重更新的步长。
eta = 0.001# 注意3：不能使用StandardScaler标准化数据
print(gradient_ascent(df_debug, X_demean, initial_w, eta))
print(gradient_ascent(df_math, X_demean, initial_w, eta))

    结果如下：
    [0.55799828 0.70512732]
    [0.76320173 0.64616029] df_debug函数求得的数据
    [0.76320173 0.64616029] df_math函数求得的数据，和df_debug函数求得的数据是一致的。

  4. 求解第一主成分

    # 调用gradient_ascent函数，传入梯度计算函数df_math、去均值后的数据集X_demean、初始权重向量initial_w和学习率eta，通过梯度上升法计算得到最终的权重向量w。
w = gradient_ascent(df_math, X_demean, initial_w, eta)# 绘制w向量在二维坐标平面上的图像，这就是我们通过梯度上升法找到的第一个主成分
plt.scatter(X_demean[:, 0], X_demean[:, 1]) # 横坐标为X_demean的第一列数据，纵坐标为第二列数据
plt.plot([0, w[0]*30], [0, w[1]*30], color='r') # 由于w是单位向量，对于的数字太小了（1），为了图像好效果明显些，这里分别在横纵坐标轴各自乘以30作为系数
plt.show()

    效果如下：
    在这里插入图片描述

七、求解前n个主成分及PCA在数据预处理中的处理步骤（后续实现）

  1. 数据标准化：首先对原始数据进行标准化处理，将每个特征的均值变为0，方差变为1。这是因为PCA对数据的尺度比较敏感，如果不同特征的尺度差异较大，可能会导致某些特征在协方差计算中占据主导地位，影响主成分的提取效果。均值归零的处理办法：
    • 在进行主成分分析之前，需要对所有样本进行均值归零处理。
    • 均值归零处理通过减去样本整体均值，使样本在每个维度上的均值变为零。
    • 处理后的方差计算公式得到简化，方便后续计算。
  2. 计算协方差矩阵：对标准化后的数据计算协方差矩阵，协方差矩阵能够反映各个特征之间的线性关系。
  3. 特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
  4. 确定主成分个数：根据具体的应用需求和数据特点，确定需要保留的主成分个数k。常见的方法是根据累计方差贡献率来确定，即选择使得累计方差贡献率达到一定阈值（如80%、90%等）的最小k值。
  5. 构建主成分矩阵：选取前k个最大特征值对应的特征向量，构建一个大小为n×k的主成分矩阵，其中n是原始数据的特征维度。
  6. 数据降维：将原始数据与主成分矩阵相乘，得到降维后的数据。降维后的数据维度为k，且尽可能保留了原始数据的重要信息。

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编程日记 2025/8/20 18:43:26

Bad owner or permissions on ssh/config - 解决方案

问题 在Windows系统通过ssh连接远程服务器时报错&#xff1a; ssh [ssh_user][ip] Bad owner or permissions on C:\\Users\\[win_user]/.ssh/config原因 这是因为.ssh文件夹或.ssh/config文件的权限异常&#xff0c;当前Windows账号没有读写权限导致的。 Windows系统重装&a…...

编程日记 2025/8/16 12:10:16

AI 赋能软件开发：从工具到思维的全面升级

喜欢可以到主页订阅专栏 引言 在当今技术飞速发展的时代，人工智能（AI）正以前所未有的速度渗透到各个领域，软件开发行业也不例外。AI 不仅改变了开发工具的使用方式，更深刻地影响了开发者的思维模式和工作流程。从代码生成到错误检测，从性能优化到项目管理，AI 正在全面…...

编程日记 2025/8/16 11:40:18

【Ubuntu系统设置固定内网ip，且不影响访问外网 】

Ubuntu系统安装后&#xff0c;由于每次重新开机会被重新分配内网ip&#xff0c;所以我们可以设置固定内网ip&#xff0c;且不影响访问外网&#xff0c;亲测有效 打开【终端】&#xff0c;查看当前内网ip&#xff08;inet&#xff09;&#xff0c;子网掩码&#xff08;netmask&a…...

编程日记 2025/8/19 10:13:33

VSCode集成C语言开发环境

下载MinGW https://sourceforge.net/projects/mingw/ 点击download按钮下载exe文件到本地 点击exe文件安装 选择基础包和c编译版 vscode安装部分跳过 安装code runner和c/c插件 **(1) 创建 C 文件** 新建一个测试文件&#xff08;例如 hello.c&#xff09;&#xf…...

编程日记 2025/8/17 11:30:13

力扣：3305.元音辅音字符串计数

给你一个字符串 word 和一个 非负 整数 k。 返回 word 的 子字符串 中&#xff0c;每个元音字母&#xff08;a、e、i、o、u&#xff09;至少 出现一次&#xff0c;并且 恰好 包含 k 个辅音字母的子字符串的总数。 示例 1&#xff1a; 输入&#xff1a;word "aeioqq"…...

编程日记 2025/8/19 7:57:59

vscode接入DeepSeek 免费送2000 万 Tokens 解决DeepSeek无法充值问题

1. 在vscode中安装插件 Cline 2.打开硅基流动官网 3. 注册并登陆&#xff0c;邀请码 WpcqcXMs 4.登录后新建秘钥 5. 在vscode中配置cline (1) API Provider 选择 OpenAI Compatible &#xff1b; (2) Base URL设置为 https://api.siliconflow.cn](https://api.siliconfl…...

编程日记 2025/8/19 19:46:02

【ELK】ElasticSearch 集群常用管理API操作

目录 常用_cat 概览 集群状态 集群配置 集群磁盘使用 索引信息与配置 shard - 分片 查看段信息 nodes -节点 用户与权限 tasks 和 pending_tasks allocation - 均衡 thread_pool -线程 templete 模版 ILM 生命周期 其他 集群版本&#xff1a; 7.17.6 API地址&…...

编程日记 2025/8/16 12:10:27

BambuStudio学习笔记：MTUtils

# MTUtils.hpp 功能解析## 文件概述 该头文件提供了多线程同步工具和数值生成功能&#xff0c;主要包含以下组件&#xff1a;### 核心组件1. **自旋锁 (SpinMutex)**- 基于原子操作的高性能锁- 实现Lockable概念&#xff0c;可与标准库锁守卫配合使用2. **缓存对象模板 (Cached…...

编程日记 2025/8/19 20:35:28

DeepSeek开启AI办公新模式，WPS/Office集成DeepSeek-R1本地大模型！

从央视到地方媒体&#xff0c;已有多家媒体机构推出AI主播&#xff0c;最近杭州文化广播电视集团的《杭州新闻联播》节目&#xff0c;使用AI主持人进行新闻播报&#xff0c;且做到了0失误率&#xff0c;可见AI正在逐渐取代部分行业和一些重复性的工作&#xff0c;这一现象引发很…...

编程日记 2025/8/16 6:16:43

Ubuntu 22.04 安装配置 FTP服务器 教程

今天搞定在 Ubuntu 22.04 系统上安装和配置 VSFTPD &#xff0c;还会涉及防火墙设置、SSL/TLS 设置&#xff0c;以及创建专门登录 FTP 服务器的账户。开始&#xff01; 一、安装 VSFTPD 首先&#xff0c;咱得让系统知道有啥新软件包可以安装。打开终端&#xff0c;输入下面这…...

编程日记 2025/8/20 2:34:02

2021-05-28 C++自己写一个strcmp函数

规则 当s1<s2时&#xff0c;返回为负数-1&#xff1b; 当s1s2时&#xff0c;返回值 0&#xff1b; 当s1>s2时&#xff0c;返回正数1。 即&#xff1a;两个字符串自左向右逐个字符相比&#xff08;按ASCII值大小相比较&#xff09;&#xff0c;直到出现不同的字符或遇…...

编程日记 2025/8/18 9:04:51

版本控制器Git(3)

文章目录 前言一、分支管理策略二、Bug分支管理遇到Bug时的处理方法使用 git stash 暂存工作区内容创建并切换到Bug修复分支恢复之前的工作 三、临时分支的删除总结 前言 我们在上篇讲到了分支&#xff0c;现在我们就着这个继续来讲解&#xff01; 一、分支管理策略 master分支…...

编程日记 2025/8/16 11:33:43

TDengine 使用教程：从入门到实践

TDengine 是一款专为物联网&#xff08;IoT&#xff09;和大数据实时分析设计的时序数据库。它能够高效地处理海量的时序数据&#xff0c;并提供低延迟、高吞吐量的性能表现。在本文中&#xff0c;我们将带领大家从 TDengine 的安装、基本操作到一些高级功能&#xff0c;帮助你…...

编程日记 2025/8/16 11:50:17

Python Web项目的服务器部署

一.部署运行 1.虚拟环境的安装&#xff1a;&#xff08;一行一行运行&#xff09; wget https://repo.anaconda.com/miniconda/Miniconda3-latest-Linux-x86_64.sh -O miniconda.sh bash miniconda.sh -b -p /opt/miniconda3 echo export PATH"/opt/miniconda3/bin:$PAT…...

编程日记 2025/8/20 7:17:35

linux - ubuntu 使用时一些小问题整理 --- 持续更新

目录 ubuntu 中 root用户默认不存在解决办法 在Ubuntu系统中&#xff0c;将用户添加到sudoers文件中&#xff0c;使其能够以超级用户权限执行命令&#xff0c;通常可以通过以下几种方法实现&#xff1a; 方法1&#xff1a;将用户添加到sudo组 方法2&#xff1a;直接编辑sud…...

编程日记 2025/8/19 12:10:37

道路运输安全员考试：备考中的心理调适与策略

备考道路运输安全员考试&#xff0c;心理调适同样重要。考试压力往往会影响考生的学习效率和考试发挥。​ 首先&#xff0c;要正确认识考试压力。适度的压力可以激发学习动力&#xff0c;但过度的压力则会适得其反。当感到压力过大时&#xff0c;要学会自我调节。可以通过运动…...

编程日记 2025/8/16 12:12:13

关于WPS的Excel点击单元格打开别的文档的两种方法的探究【为单元格添加超链接】

问题需求 目录和文件结构如下&#xff1a; E:\Dir_Level1 │ Level1.txt │ └─Dir_Level2│ Level2.txt│ master.xlsx│└─Dir_Level3Level3.txt现在要在master.xlsx点击单元格进而访问Level1.txt、Level2.txt、Level3.txt这些文件。 方法一&#xff1a;“单元格右键…...

编程日记 2025/8/16 12:02:49