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十种处理权重矩阵的方法及数学公式

news 来源：原创 2025/8/21 7:43:58

1. 权重归一化（Weight Normalization）

  • 目的：通过分离权重向量的范数和方向来加速训练。
  • 公式：对于权重向量 w \mathbf{w} w，归一化后的权重 w ′ \mathbf{w}' w′ 为：

w ′ = w ∥ w ∥ \mathbf{w}' = \frac{\mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|} w′=∥w∥w​

其中 ∥ w ∥ \|\mathbf{w}\| ∥w∥ 是 w \mathbf{w} w 的欧几里得范数。

2. 谱归一化（Spectral Normalization）

  • 目的：通过控制权重矩阵的谱范数，稳定生成对抗网络（GANs）的训练。
  • 公式：对于权重矩阵 W W W，谱归一化后的矩阵 W ′ W' W′ 为：

W ′ = W σ ( W ) W' = \frac{W}{\sigma(W)} W′=σ(W)W​

其中 σ ( W ) \sigma(W) σ(W) 是 W W W 的谱范数，即最大奇异值。

3. 权重衰减（Weight Decay）

  • 目的：通过正则化防止过拟合。
  • 公式：权重更新时加入正则化项：

w ← w − η ( ∂ L ∂ w + λ w ) \mathbf{w} \leftarrow \mathbf{w} - \eta \left( \frac{\partial L}{\partial \mathbf{w}} + \lambda \mathbf{w} \right) w←w−η(∂w∂L​+λw)

其中 η \eta η 是学习率， L L L 是损失函数， λ \lambda λ 是正则化参数。

4. 权重剪裁（Weight Clipping）

  • 目的：限制权重范围以稳定训练。
  • 公式：对于权重 w w w，剪裁后的权重 w ′ w' w′ 为：

w ′ = { c if  w > c − c if  w < − c w otherwise w' = \begin{cases} c & \text{if } w > c \\ -c & \text{if } w < -c \\ w & \text{otherwise} \end{cases} w′=⎩ ⎨ ⎧​c−cw​if w>cif w<−cotherwise​

其中 c c c 是预定义阈值。

5. 权重共享（Weight Sharing）

  • 目的：减少参数数量，提高泛化能力，常用于卷积神经网络（CNNs）。
  • 公式：在CNN中，同一卷积核的权重在输入上共享，具体实现依赖卷积操作。

6. 权重初始化（Weight Initialization）

  • 目的：合理初始化权重以加速训练并避免梯度问题。
  • 公式：
    • Xavier初始化：

W ∼ N ( 0 , 2 n in + n out ) W \sim \mathcal{N}\left(0, \frac{2}{n_{\text{in}} + n_{\text{out}}}\right) W∼N(0,nin​+nout​2​)

  • He初始化：

W ∼ N ( 0 , 2 n in ) W \sim \mathcal{N}\left(0, \frac{2}{n_{\text{in}}}\right) W∼N(0,nin​2​)

其中 $n_{\text{in}}$ 和 $n_{\text{out}}$ 分别是输入和输出单元数。

7. 批归一化（Batch Normalization）

  • 目的：归一化层的输入以加速训练并提高稳定性。
  • 公式：对于小批量 B = { x 1 , … , x m } \mathcal{B} = \{x_1, \ldots, x_m\} B={x1​,…,xm​}，输出为：

x ^ i = x i − μ B σ B 2 + ϵ \hat{x}_i = \frac{x_i - \mu_{\mathcal{B}}}{\sqrt{\sigma_{\mathcal{B}}^2 + \epsilon}} x^i​=σB2​+ϵ ​xi​−μB​​

其中 μ B \mu_{\mathcal{B}} μB​ 和 σ B 2 \sigma_{\mathcal{B}}^2 σB2​ 是小批量的均值和方差， ϵ \epsilon ϵ 避免除零。

8. 层归一化（Layer Normalization）

  • 目的：对每个样本的特征归一化，适用于RNNs等。
  • 公式：对于特征向量 x \mathbf{x} x，输出为：

x ^ = x − μ σ 2 + ϵ \hat{\mathbf{x}} = \frac{\mathbf{x} - \mu}{\sqrt{\sigma^2 + \epsilon}} x^=σ2+ϵ ​x−μ​

其中 μ \mu μ 和 σ 2 \sigma^2 σ2 是 x \mathbf{x} x 的均值和方差。

9. 权重量化（Weight Quantization）

  • 目的：将权重转为低精度表示以减少模型大小和加速推理。
  • 公式：简单量化方法为：

w q = round ( w − w min w max − w min × ( 2 b − 1 ) ) × w max − w min 2 b − 1 + w min w_q = \text{round}\left(\frac{w - w_{\text{min}}}{w_{\text{max}} - w_{\text{min}}} \times (2^b - 1)\right) \times \frac{w_{\text{max}} - w_{\text{min}}}{2^b - 1} + w_{\text{min}} wq​=round(wmax​−wmin​w−wmin​​×(2b−1))×2b−1wmax​−wmin​​+wmin​

其中 b b b 是位数， w min w_{\text{min}} wmin​ 和 w max w_{\text{max}} wmax​ 是权重范围。

10. 稀疏化（Sparsification）

  • 目的：将部分权重设为零以减少参数量。
  • 公式：使用阈值 τ \tau τ：

w ′ = { w if  ∣ w ∣ ≥ τ 0 otherwise w' = \begin{cases} w & \text{if } |w| \geq \tau \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} w′={w0​if ∣w∣≥τotherwise​

这些方法在深度学习中应用广泛，选择时需考虑模型架构、数据特性和资源限制。

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