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网络安全之RSA算法

news 来源：原创 2025/8/22 14:38:23

1978年就出现了这种算法，它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字（RonRivest，AdiShamir和LeonardAdleman）命名。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。

RSA的安全性依赖于大数分解。公钥和私钥都是两个大素数（大于100个十进制位）的函数。据猜测，从一个密钥和密文推断出明文的难度等同于分解两个大素数的积。

密钥对的产生。选择两个大素数，p和q。计算：n=p×q然后随机选择加密密钥e，要求e和（p-1）×（q-1）互质。最后，利用Euclid算法计算解密密钥d，满足e×d=1（mod（p-1）×（q-1））其中n和d也要互质。数e和n是公钥，d是私钥。两个素数p和q不再需要，应该丢弃，不要让任何人知道。

加密信息m（二进制表示）时，首先把m分成等长数据块m1，m2，……，mi，块长s，其中2^s<=n，s尽可能的大。对应的密文是：ci=mi^e（modn）（a）解密时作如下计算：mi=ci^d（modn）（b）RSA可用于数字签名，方案是用（a）式签名，（b）式验证。具体操作时考虑到安全性和m信息量较大等因素，一般是先作Hash运算。

1）RSA的安全性

RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前，RSA的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。现在，人们已能分解140多个十进制位的大素数。因此，模数n必须选大一些，因具体适用情况而定。

2）RSA的速度

由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上100倍，无论是软件还是硬件实现，速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。

3）RSA的选择密文攻击

RSA在选择密文攻击面前很脆弱。一般攻击者是将某一信息作一下伪装（Blind），让拥有私钥的实体签署。然后，经过计算就可得到它所想要的信息。实际上，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保留了输入的乘法结构：（XM）^d=X^d×M^dmodn前面已经提到，这个固有的问题来自于公钥密码系统的最有用的特征———每个人都能使用公钥。但从算法上无法解决这一问题，主要措施有两条：一条是采用好的公钥协议，保证工作过程中实体不对其他实体任意产生的信息解密，不对自己一无所知的信息签名；另一条是决不对陌生人送来的随机文档签名，签名时首先使用One-WayHashFunction对文档作Hash处理，或同时使用不同的签名算法。

4）RSA的公共模数攻击

若系统中共有一个模数，只是不同的人拥有不同的e和d，系统将是危险的。

最普遍的情况是同一信息用不同的公钥加密，这些公钥共模而且互质，那么该信息无需私钥就可得到恢复。设P为信息明文，两个加密密钥为e1和e2，公共模数是n，则：C1=P^e1modnC2=P^e2modn密码分析者知道n，e1，e2，C1和C2，就能得到P。

因为e1和e2互质，故用Euclidean算法能找到r和s，满足：r×e1+s×e2=1假设r为负数，需再用Euclidean算法计算C1^（-1），则（C1^（-1））^（-r）?C2^s=Pmodn另外，还有其他几种利用公共模数攻击的方法。总之，如果知道给定模数的一对e和d，一是有利于攻击者分解模数，一是有利于攻击者计算出其他成对的e’和d’，而无需分解模数。解决办法只有一个，那就是不要共享模数n。

RSA的小指数攻击。有一种提高RSA速度的建议是使公钥e取较小的值，这样会使加密变得易于实现，速度有所提高。但这样做是不安全的，对付办法就是e和d都取较大的值。

RSA算法是第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和操作。

RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何，而且密码学界多数人士倾向于因子分解不是NPC问题。

RSA的缺点主要有：

（1）产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。（2）分组长度太大，为保证安全性，n至少也要600bits以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。目前，SET（Se-cureElectronicTransaction）协议中要求CA采用2048比特长的密钥，其他实体使用1024比特的密钥。

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