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数列极限入门习题

news 来源：原创 2025/9/8 4:12:48

数列极限入门习题 
 lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n ) 1 n \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}} n→∞lim​(1+21​+31​+⋯+n1​)n1​
 lim ⁡ n → ∞ ( 1 n + 1 + 1 n + 2 + ⋯ + 1 n + n ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n+\sqrt{1}}+\frac{1}{n+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{n+\sqrt{n}}) n→∞lim​(n+1   ​1​+n+2   ​1​+⋯+n+n   ​1​)
 lim ⁡ n → ∞ ∑ k = n 2 ( n + 1 ) 2 1 k \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{k = n^2}^{(n + 1)^2}\frac{1}{\sqrt{k}} n→∞lim​k=n2∑(n+1)2​k   ​1​
 lim ⁡ n → ∞ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋯ ⋅ ( 2 n − 1 ) 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ⋯ ⋅ ( 2 n ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1\cdot3\cdot5\cdot\cdots\cdot(2n - 1)}{2\cdot4\cdot6\cdot\cdots\cdot(2n)} n→∞lim​2⋅4⋅6⋅⋯⋅(2n)1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n−1)​
 lim ⁡ n → ∞ 3 n 2 + 4 n − 1 n 2 + 1 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2 + 4n - 1}{n^2 + 1} n→∞lim​n2+13n2+4n−1​
 lim ⁡ n → ∞ n 3 + 2 n 2 − 3 n + 1 2 n 3 − n + 3 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n^3 + 2n^2 - 3n + 1}{2n^3 - n + 3} n→∞lim​2n3−n+3n3+2n2−3n+1​
 lim ⁡ n → ∞ 3 n + n 3 3 n + 1 + ( n + 1 ) 3 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3^n + n^3}{3^{n + 1}+(n + 1)^3} n→∞lim​3n+1+(n+1)33n+n3​
 lim ⁡ n → ∞ ( n 2 + 1 n − 1 ) sin ⁡ n π 2 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{n^2 + 1}-1)\sin\frac{n\pi}{2} n→∞lim​(nn2+1   ​−1)sin2nπ​
 lim ⁡ n → ∞ n ( n + 1 − n ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}) n→∞lim​n   ​(n+1   ​−n   ​)
 lim ⁡ n → ∞ n ( n 2 + 1 4 − n + 1 ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}(\sqrt[4]{n^2 + 1}-\sqrt{n + 1}) n→∞lim​n   ​(4n2+1   ​−n+1   ​)
 lim ⁡ n → ∞ 1 n ! n \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n!}} n→∞lim​nn!1​   ​
 lim ⁡ n → ∞ ( 1 − 1 2 2 ) ( 1 − 1 3 2 ) ⋯ ( 1 − 1 n 2 ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})\cdots(1-\frac{1}{n^2}) n→∞lim​(1−221​)(1−321​)⋯(1−n21​)
 lim ⁡ n → ∞ n lg ⁡ n n \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n\lg n} n→∞lim​nnlgn   ​
 lim ⁡ n → ∞ ( 1 2 + 3 2 2 + ⋯ + 2 n − 1 2 n ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\cdots+\frac{2n - 1}{2^n}) n→∞lim​(21​+223​+⋯+2n2n−1​)
已知 lim ⁡ n → ∞ a n = a \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a n→∞lim​an​=a， lim ⁡ n → ∞ b n = b \lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_{n}=b n→∞lim​bn​=b，证明：
  lim ⁡ n → ∞ a 1 b n + a 2 b n − 1 + ⋯ + a n b 1 n = a b \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n - 1}+\cdots+a_{n}b_{1}}{n}=ab n→∞lim​na1​bn​+a2​bn−1​+⋯+an​b1​​=ab

数列极限入门习题

数列极限入门习题 lim ⁡ n → ∞ ( 1 1 2 1 3 ⋯ 1 n ) 1 n \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1 \frac{1}{2}\frac{1}{3}\cdots\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}} n→∞lim(12131⋯n1)n1 lim ⁡ n → ∞ ( 1 n 1 1 n 2 ⋯ 1 n n ) \lim\limits_{n\rightarrow\…...

编程日记 2025/9/8 4:12:48

【决策树】分类属性的选择

文章目录 1.信息增益（ID3）2.信息增益率（C4.5）3.基尼指数（CART）ps.三者对比实现决策树算法最关键的一点就是如何从所有的特征属性中选择一个最优的属性对样本进行分类，这种最优可以理解为希望划…...

编程日记 2025/9/5 23:46:21

Mysql面试篇笔记：

优化： 1.如何定位慢查询： 首先压测接口，查看那个接口比较慢，可以通过多种工具，比如Skywaking 可以查看各个接口响应时间，查看接口最慢，然后去跟踪接口，查看详细信息&#…...

编程日记 2025/9/8 4:10:02

005-Docker 安装 Redis

Docker 安装 Redis 1.从镜像官网拉取Redis镜像2.创建实例并启动3.测试连接4.设置开机启动 1.从镜像官网拉取Redis镜像镜像官网地址：https://hub.docker.com执行命令 -- 拉取最新的版本 docker pull redis查看镜像 docker images2.创建实例并启动先创建好需要的…...

编程日记 2025/9/8 4:11:48

可终身授权的外国工具，不限次数使用！PDF转CAD的软件

最近有不少朋友问我有没有好用的CAD转换工具，今天就来给大家分享两款超实用的小软件，希望能帮到大家。第一款软件是一款国外开发的，它专门用来把PDF文件转换成CAD格式，特别方便。这款软件的操作非常简单，打开后无需安…...

编程日记 2025/9/8 4:11:49

GaussDB性能调优技术指南

一、性能调优核心目标降低响应时间：缩短单次查询或事务的处理时间（如从秒级优化到毫秒级）。提高吞吐量：支撑更高并发请求（如从千次/秒提升到百万次/秒）。资源高效利用：减少 CPU、…...

编程日记 2025/9/8 4:11:49

iOS逆向工程专栏第13篇：iOS动态分析基础

iOS逆向工程专栏第13篇：iOS动态分析基础引言在前面的文章中，我们详细探讨了iOS系统架构、逆向开发环境搭建、Mach-O文件格式分析，以及各种静态分析工具和技术。通过静态分析，我们可以了解应用的结构、类和方法定义，以及基本的控制流程。然而，静态分析也存在明显的局…...

编程日记 2025/9/2 7:16:05

【现代深度学习技术】卷积神经网络03：填充和步幅

【作者主页】Francek Chen 【专栏介绍】 ⌈ ⌈ ⌈PyTorch深度学习 ⌋ ⌋ ⌋ 深度学习 (DL, Deep Learning) 特指基于深层神经网络模型和方法的机器学习。它是在统计机器学习、人工神经网络等算法模型基础上，结合当代大数据和大算力的发展而发展出来的。深度学习最重…...

编程日记 2025/9/8 4:09:21

(链表删除链表的倒数第N个结点)leetcode 19

设空结点指向head便于插入和删除结点考虑特殊情况 head结点被删除 a结点仅用来测试长度，找到目标结点的位置 b结点为空结点指向head返回值 cur用来删除目标值（特殊情况目标值为head 这时curb) 则开始就将cur初始化为b开始遍历 /*** Definition fo…...

编程日记 2025/9/6 22:45:45

初阶数据结构（C语言实现）——3顺序表和链表（2）

2.3 数组相关面试题原地移除数组中所有的元素val，要求时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)。OJ链接力扣OJ链接-移除元素删除排序数组中的重复项。力扣OJ链接-删除有序数组中的重复项合并两个有序数组。力扣OJ链接-合并两个有序数组 2.3.1 移除元素 1…...

编程日记 2025/9/3 9:00:57

leetcode 138. 随机链表的复制

题目如下数据范围这道题十分好，一定要自己写看看再来看别人的答案！ 首先复制题目给出的链表，对于每个新生成的node利用名为ri的map记录它们在链表的位置和指针。接着利用名为rd的map存储每个链表中random对应的位置比如(0，…...

编程日记 2025/9/8 4:09:20

【OpenCV C++】以时间命名存图，自动检查存储目录，若不存在自动创建，按下空格、回车、Q、S自动存图

文章目录 // 保存图像的函数 void saveImage(const cv::Mat& frame) {// 生成唯一文件名auto now = std::chrono::system_clock::...

编程日记 2025/9/5 3:19:29

C# OnnxRuntime部署DAMO-YOLO人头检测

目录说明效果模型信息项目代码下载参考说明效果模型信息 Model Properties ------------------------- --------------------------------------------------------------- Inputs ------------------------- name：input tensor：Floa…...

编程日记 2025/9/3 11:16:55

DDD该怎么去落地实现（4）多对多关系

多对多关系的设计实现如题，DDD该如何落地呢？前面我通过三期的内容，讲解了DDD落地的关键在于“关系”，也就是通过前面我们对业务的理解先形成领域模型，然后将领域模型的原貌，形成程序代码中的服务、实体、…...

编程日记 2025/9/6 23:28:32

Vue 3 组件库开发实战：打造基础 UI 组件库并发布 - 构建可复用的 Vue 组件资产

引言欢迎再次回到 Vue 3 + 现代前端工程化系列技术博客！在昨天的第六篇博客中，我们深入探索了 Vue 3 Composition API 的进阶应用，通过构建可拖拽看板应用，熟练掌握了自定义 Hook 的代码复用技巧。今天，我们将迈向 Vue 3 组件化开发的更高阶段，聚焦于组件库的开发与…...

编程日记 2025/9/8 1:12:33

UNION 和 UNION ALL 的区别：深入解析 SQL 中的合并操作

在 SQL 的世界里，当我们需要合并多个查询结果集时，UNION和UNION ALL是两个常用的操作符。虽然它们的功能看起来相似，但实际上有着重要的区别，这些区别在不同的应用场景中会对查询结果和性能产生显著影响。本文将详细探讨UNION和UN…...

编程日记 2025/8/30 9:03:40

Redis 哈希(Hash)

Redis 哈希(Hash) 概述 Redis 哈希（Hash）是一种特殊的键值对类型，它允许存储结构化的数据，例如一个对象或记录。每个哈希值可以包含多个字段，每个字段又可以存储一个字符串值。这使得Redis哈希非常适合用于存储对象的…...

编程日记 2025/9/3 9:47:08

Android Activity栈关系解析

在 Android 系统中，这些类共同构成了 Activity 任务栈管理的核心架构。它们的关系可以类比为一栋大楼的管理体系，每个类负责不同层级的任务。以下是它们的详细解释和实际场景示例： 1. ActivityRecord（活动记录） 是什么…...

编程日记 2025/9/3 20:26:45

7.1.2 计算机网络的分类

文章目录分布范围交换方式分布范围计算机网络按照分布范围可分为局域网、广域网、城域网。局域网的范围在10m~1km，例如校园网，网速高，主要用于共享网络资源，拓扑结构简单，约束少。广域网的范围在100km，例…...

编程日记 2025/9/6 16:43:48

Arcgis中添加脚本工具箱

准备资料 （1）工具箱 （2）python脚本 1、打开arcmap 2、找到目录窗口 3、复制粘贴工具箱的路径 4、添加或者确认python脚本路径脚本上右键属性(注意：脚本内容和路径最后都不要有中文，否则可能报错) 如果…...

编程日记 2025/9/8 1:12:35

【Python 数据结构 1.零基础复习】

目录一、输入与输出 1.输入 2.格式化输出二、数字与变量 1.字符串 & 整型 2.字符串 & 整型 & 浮点型 3.变量练习 2235. 两整数相加三、运算与操作 1.四则运算练习 2769. 找出最大的可达成数字 3.取整与取余练习 2651. 计算列车到站时间编辑四、真与假 1…...

编程日记 2025/8/16 10:30:38

颠覆NLP的魔法：深度解读Transformer架构及其核心组件

目录颠覆NLP的魔法：深度解读Transformer架构及其核心组件一、Transformer 架构概述二、核心组件解析 1. Self-Attention（自注意力机制） 2. 位置编码（Positional Encoding） 3. 多头注意力（Multi-Hea…...

编程日记 2025/9/4 1:36:07

【pytest框架源码分析二】pluggy源码分析之add_hookspecs和register

这里我们看一下_manager.py里的类和方法，最主要的是PluginManager类，类的初始化函数如下： class PluginManager:"""Core class which manages registration of plugin objects and 1:N hookcalling.You can register new hoo…...

编程日记 2025/9/3 11:46:14

【leetcode hot 100 53】最大子数组和

解法一：（动态规划）我们用 f(i) 代表以第 i 个数结尾的「连续子数组的最大和」，那么很显然我们要求的答案就是：max{f(i)}，f(i)max{f(i−1)nums[i],nums[i]} class Solution {public int maxSubArray(int[] …...

编程日记 2025/9/6 4:51:45

Sqlserver安全篇之_启用TLS即配置SQL Server 数据库引擎以加密连接

官方文档 https://learn.microsoft.com/zh-cn/sql/database-engine/configure-windows/configure-sql-server-encryption?viewsql-server-ver16 https://learn.microsoft.com/zh-cn/sql/database-engine/configure-windows/manage-certificates?viewsql-server-ver15&pre…...

编程日记 2025/9/7 11:16:20

009---基于Verilog HDL的单比特信号边沿检测

文章目录摘要一、边沿检测二、时序逻辑实现2.1 rtl2.2 tb 三、组合逻辑实现3.1 rtl3.2 tb 摘要文章为学习记录。采用时序逻辑和组合逻辑实现边沿检测的核心逻辑。组合逻辑实现的上升沿和下降沿的脉冲比时序逻辑实现的上升沿和下降沿的脉冲提前一拍。一、边沿检测边沿检测…...

编程日记 2025/9/3 5:36:53

istio的核心概念简介

Istio 是一个开源的服务网格（Service Mesh）平台，旨在帮助管理、连接、保护和观察分布式微服务架构中的服务。它最初由 Google、IBM 和 Lyft 合作开发，广泛应用于 Kubernetes 环境。Istio 的核心目标是通过提供统一的流量管理、安全…...

编程日记 2025/9/4 13:04:09

如何在Apple不再支持的MacOS上安装Homebrew

手头有一台2012年产的Macbook Pro，系统版本停留在了10.15.7（2020年9月24日发布的）。MacOS 11及后续的版本都无法安装到这台老旧的电脑上。想通过pkg安装Homebrew，发现Homebrew releases里最新的pkg安装包不支持MacOS 10.15.7&…...

编程日记 2025/9/6 0:11:53

@update 的常见用法 Vue.js

在 Vue.js 中，update 是一个事件监听器，通常用于监听自定义组件或某些 Vue 原生组件（如 <input> 或自定义组件）的更新事件。它并不是 Vue 的核心 API，而是一种约定俗成的命名方式，用于处理组件内部状…...

编程日记 2025/9/6 10:55:10

C#开发——日期操作类DateTime

在C#中，日期和时间的操作主要通过 System.DateTime 类来实现。 DateTime 提供了丰富的属性和法，用于处理日期和时间的创建、格式化、比较和计算等操作。以下是一些常用的日期函数和特性： 一、创建日期和时间 1、直接指定日期和时间&…...

编程日记 2025/9/3 13:38:56

大语言模型学习--LangChain

LangChain基本概念 ReAct学习资料 https://zhuanlan.zhihu.com/p/660951271 LangChain官网地址 Introduction | 🦜️🔗 LangChain LangChain是一个基于语言模型开发应用程序的框架。它可以实现以下应用程序： 数据感知：将语言模型…...

编程日记 2025/9/3 12:56:57

Oracle数据库安全防护体系构建与核心技术解析

引言：从某跨国集团数据泄露事件看Oracle防护困局 2025年1月，某跨国零售企业Oracle数据库遭APT组织"暗夜猎手"攻击，攻击者通过三重渗透路径实现数据窃取： 存储层突破：利用Oracle TDE密钥管理漏洞获取wallet…...

编程日记 2025/9/2 14:31:11

iOS UICollectionViewCell 点击事件自动化埋点

iOS 中经常要进行埋点，我们这里支持 UICollectionViewCell. 进行自动化埋点，思路： 通过hook UICollectionViewCell 的setSelected:方法， 则新的方法中执行埋点逻辑，并调用原来的方法直接上代码 implementation UICol…...

编程日记 2025/9/7 11:41:33

软件工程---基于构件的软件工程

基于构件的软件工程（CBSE）是一种软件开发方法，通过重用现有的软件构件来构建系统，从而提高开发效率和软件质量。这种方法强调软件系统的模块化设计和构建复用，使得软件开发过程更加高效和灵活。企业软件开发&#xf…...

编程日记 2025/8/27 20:51:57

Redis--单线程模型

目录一、引言二、Redis单线程模型三、原因四、为什么redis是单线程模型，但他的速度这么快？ 五、总结一、引言本篇文章就Redis为什么是单线程模型做简单介绍。二、Redis单线程模型 redis只使用一个线程，处理所有的命令请求&#x…...

编程日记 2025/9/3 14:55:05

NodeJS服务器 + Vue3框架从搭建服务器定义接口到请求数据页面展示

NodeJS服务器 Vue3框架全栈开发后端项目初始化项目安装express创建服务器server.js启动服务验证服务是否启动成功前端项目新建vue3项目安装axios启动前端项目启动时报错问题解决 vue页面使用axios调用node接口完整代码页面效果图跨域问题解决本篇文章主要介绍使用Node.js和…...

编程日记 2025/9/7 16:17:55

3.1、密码学基础

目录密码学概念与法律密码安全分析密码体制分类 - 私钥密码/对称密码体制密码体制分类 - 公钥密码/非对称密码体制密码体制分类 - 混合密码体制密码学概念与法律密码学主要是由密码编码以及密码分析两个部分组成，密码编码就是加密，密码分析就是把我们…...

编程日记 2025/8/29 17:47:02

iOS接入Flutter项目

首先要把iOS项目和flutter项目统一目录下，而且需要注意的是flutter是module。第一步：Flutter相关内容的创建 module创建命令： flutter create --templatemodule my_flutter，之后再执行 flutter pub get flutter build ios …...

编程日记 2025/8/28 13:19:39

点云配准技术的演进与前沿探索：从传统算法到深度学习融合(4)

4、点云配准面临的挑战与应对策略 4.1 点云配准面临的主要挑战在点云配准的实际应用中，尽管已经取得了显著的研究成果，但仍然面临着诸多复杂而严峻的挑战，这些挑战严重制约了点云配准技术在更多领域的广泛应用和深入发展。在自动驾驶场景…...

编程日记 2025/9/1 14:54:12

SEKI —— 基于大型语言模型的自进化与知识启发式神经架构搜索

01、项目概述我们引入了一种基于新型大型语言模型（ LLM ）的神经架构搜索（ NAS ）方法，名为 SEKI 。SEKI 受到现代 LLM 中思维链（ CoT ）范式的启发，分为两个关键阶段运行&#xff1a…...

编程日记 2025/9/7 12:09:01

Nat Mach Intell | AI分子对接算法评测

《Nature Machine Intelligence》发表重磅评测，系统评估AI与物理方法在虚拟筛选（VS）中的表现，突破药物发现效率瓶颈。核心评测体系：三大数据集研究团队构建了三个新型测试集： TrueDecoy：含14…...

编程日记 2025/8/30 18:04:33

01. HarmonyOS应用开发实践与技术解析

文章目录前言项目概述HarmonyOS应用架构项目结构Ability生命周期 ArkTS语言特性装饰器状态管理 UI组件与布局基础组件响应式布局样式与主题页面路由与参数传递页面跳转参数接收数据绑定与循环渲染数据接口定义循环渲染条件渲染组件生命周期最佳实践与性能优化组件复用响应式…...

编程日记 2025/9/5 12:39:54

001-码云操作

码云操作一、配置公钥1.官网地址1.进入 git bash2.查看生成的公钥3.设置到 Gitee4.测试二、初始化一个项目1.新建仓库一、配置公钥方便后续提交代码不用填写密码 1.官网地址官网地址：https://gitee.com/Git码云教程：https://gitee.com/help/arti…...

编程日记 2025/9/4 14:58:09

10.LED点阵实验

LED点阵是一种由发光二极管排列而成的显示器件，在生活里的各种电器中很常见，像汽车报站器和广告屏等地方都会用到它。平时用得比较多的是 88 点阵。多个 88 点阵能组合成不同大小的 LED 点阵显示屏，比如 4 个 88 点阵可以拼成一个 1616 点阵…...

编程日记 2025/9/6 8:30:53

cesium+vue3自定义HTML实体弹窗、加高德路网、防实体漂浮、让用户画圆、鹰眼

一、基础使用：Cesium.js基础使用（vue）-CSDN博客 1、基础路径为 Cesium 库设置一个全局变量 CESIUM_BASE_URL，用于指定 Cesium 的资源文件（如 WebGL shaders、纹理、字体等）的示例场景：假设你…...

编程日记 2025/9/3 12:36:09

Spring（二）容器-注册

目录一定义组件Bean (1)添加组件 (2)获取组件二配置类Configuration (1)配置类的作用三 MVC分层注解 - Controller： - Service： - Repository： 四批量扫描ComponentScan (1) 默认扫描当前包及其子包 (2) 指定扫描包路径 …...

编程日记 2025/9/2 20:22:20

Java-实现PDF合同模板填写内容并导出PDF文件

可用于公司用户合同导出pdf文件效果图一、导入所需要jar包 <dependency><groupId>com.itextpdf</groupId><artifactId>itextpdf</artifactId><version>5.5.11</version></dependency><dependency&…...

编程日记 2025/8/21 15:50:56

C# 数据转换

1. 文本框读取byte，ushort格式数据 byte addr; if (byte.TryParse(textBoxAddr.Text, out addr) true) {}2. 字节数组 (byte[]) 转换为 ASCII 字符串 byte[] bytes { 72, 101, 108, 108, 111 }; // "Hello" 的 ASCII 码 string s0 Encoding.ASCII.Ge…...

编程日记 2025/9/3 11:23:05

Ubuntu 下 nginx-1.24.0 源码分析 - ngx_list_init

ngx_list_init 定义在 src\core\ngx_list.h static ngx_inline ngx_int_t ngx_list_init(ngx_list_t *list, ngx_pool_t *pool, ngx_uint_t n, size_t size) {list->part.elts ngx_palloc(pool, n * size);if (list->part.elts NULL) {return NGX_ERROR;}list->par…...

编程日记 2025/9/3 10:40:01

鸿蒙NEXT开发-元服务和服务卡片的开发

注意：博主有个鸿蒙专栏，里面从上到下有关于鸿蒙next的教学文档，大家感兴趣可以学习下如果大家觉得博主文章写的好的话，可以点下关注，博主会一直更新鸿蒙next相关知识目录 1. 元服务基本概念 1.1 基本介绍 1.2 元…...

编程日记 2025/9/3 1:09:10

数列极限入门习题

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