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机器学习数学基础：37.统计学基础知识1

news 来源：原创 2025/9/9 12:58:31

统计学基础概念入门教程

在统计学的世界里，概率和数据分布是基础且重要的概念，它们能帮助我们理解和分析各种数据现象。除此之外，点估计与区间估计也是在对总体参数进行推断时常用的方法。下面，就为统计学小白详细讲解这些关键的基础概念。

一、小概率事件：不太可能发生的随机事件

在生活中，我们会遇到各种随机事件，比如抛硬币正面朝上、抽奖中奖等。在统计学中，对于随机事件的可能性大小有精确的衡量方式。当某随机事件B发生的概率P(B) ≤ 0.05时，它就被定义为小概率事件。这意味着在一次实验或事件过程中，该事件发生的可能性非常小，我们通常认为它几乎不会发生。但要注意，“几乎不会发生”并不等同于“绝对不会发生”，只是发生的机会微乎其微。

在统计推断里，为了方便表示事件发生概率的高低，我们常用“”来标注。“”代表p<0.05，说明事件发生的概率较小；“”代表p<0.01，意味着概率比前者更小；“”代表p<0.001，此时事件发生的概率极低。例如，在医学研究中测试某种新药物的疗效，如果得出某个结果的p值小于0.01，标注为“*”，那就表示这个结果出现的概率很低，药物很可能真的有效果，而不是偶然因素导致的。

二、正态分布：常见的数据分布形态

正态分布是统计学中极为重要的一种概率分布，也被称为“常态分布”或“高斯分布”，通常用N(μ, σ²) 来表示。它在很多领域都有着广泛的应用，因为自然界和人类社会中的许多数据都近似服从正态分布。

（一）均数μ：数据的集中趋势指标

均数μ是描述正态分布的集中趋势位置的参数，也就是数据分布的中心位置。在正态分布的图像上，取值离μ越近，出现的概率就越大；取值离μ越远，出现的概率就越小。而且，正态分布是以x = μ为对称轴，左右完全对称的。这表明在μ两侧相同距离处，数据出现的概率是相等的。特别的是，在正态分布中，均值、中位数和众数是相同的，都等于μ。

举个例子，假设我们统计一个班级学生的身高数据，如果这些数据符合正态分布，那么平均身高就是μ。处于中间位置的身高值（中位数），以及出现次数最多的身高值（众数），都和平均身高相等。也就是说，大部分学生的身高会接近平均身高，偏离平均身高较多的学生数量较少，并且在平均身高两侧偏离程度相同的学生数量大致相等。

（二）标准差σ：数据的离散程度指标

标准差σ是用来描述正态分布资料数据离散程度的参数。σ的大小直接影响着数据的分布形态。当σ越大时，数据分布越分散，正态分布曲线就越扁平，这意味着数据之间的差异较大；当σ越小时，数据分布越集中，曲线就越瘦高，说明数据之间的差异较小。

比如，有两个班级的数学考试成绩，班级A成绩的标准差小，这表示班级A学生的成绩比较集中在平均分附近，学生之间的成绩差异较小；班级B成绩的标准差大，则说明班级B学生的成绩比较分散，高低分差距较大。

三、偏态分布：不同于正态分布的形态

偏态分布是相对于正态分布而言的一种数据分布形态，它分为正偏态分布和负偏态分布两种。

（一）正偏态分布：数据向右偏移

从正偏态分布示意图中可以看到，众数在最左边，中位数在中间，均值在最右边。这是因为数据中存在一些较大的值，这些较大的值把均值拉高了，从而使得均值大于中位数大于众数。

例如，在统计一个城市居民的收入情况时，如果少数高收入人群的收入非常高，就会使整体收入数据呈现正偏态分布。大部分居民的收入处于较低水平（众数附近），中间位置的收入（中位数）比众数高一些，而平均收入（均值）由于受到高收入人群的影响，会比中位数更高。

（二）负偏态分布：数据向左偏移

在负偏态分布示意图中，均值在最左边，中位数在中间，众数在最右边。这是由于数据中存在一些较小的值，这些较小的值把均值拉低了，导致均值小于中位数小于众数。

比如，在对某班级学生的错题数量进行统计时，如果个别学生错题数量特别多，就可能使错题数据呈现负偏态分布。大部分学生的错题数量相对较多（众数附近），处于中间位置的错题数量（中位数）比众数少一些，而平均错题数量（均值）由于受到少数错题很多的学生的影响，会比中位数更少。

四、标准正态分布：特殊的正态分布

标准正态分布又称z分布，是正态分布的一种特殊形式。它的均数μ固定为0，标准差σ固定为1。标准正态分布曲线所围成的面积（p值）被划分成几个部分，每个部分反映了相应区间内的例数占总例数的百分比，也就是该变量值落在这个区间的概率。

在自然界和人类社会中，许多现象（变量）的取值通常会落在(μ - 3σ, μ + 3σ)区间内。由于标准正态分布中μ = 0，σ = 1，所以取值通常落在(-3, 3)区间内。落在这个区间以外的事件就是小概率事件，在一次实验中几乎不可能发生。因此，区间(μ - 3σ, μ + 3σ)被看作是变量实际上可能的取值区间，这就是标准正态分布的“3σ”原则。

例如，在生产制造中测量产品的质量指标，如果该质量指标符合标准正态分布，那么绝大部分产品的质量指标会在(-3, 3)范围内，超出这个范围的产品属于小概率事件，可能是生产过程中出现了异常情况导致的。

五、点估计与区间估计：对总体参数的估计方法

（一）点估计

在统计学研究中，我们常常想知道总体的某些参数，比如总体均值、总体标准差等。但很多时候，总体包含的个体数量非常庞大，要获取总体的所有数据几乎是不可能的，这时就需要从总体中抽取一部分样本。点估计就是一种用样本的统计量直接作为总体参数估计的方法。

比如说，我们想知道某个学校所有学生的平均身高（这是总体参数），但全校学生数量众多，逐一测量不现实。于是我们从全校学生中随机抽取了100名学生（这就是样本），计算出这100名学生的平均身高（这是样本统计量），然后就把这个样本平均身高直接当作全校学生平均身高的估计值，这就是点估计。点估计法比较简单，是最基本的估计方法。不过，由于样本只是总体的一部分，点估计得到的结果可能和总体参数的真实值存在一定偏差。

（二）区间估计

区间估计是在点估计的基础上发展而来的。在实际研究中，我们不仅想得到一个估计值，还希望知道这个估计值的可靠程度。区间估计就是根据事先给定的Ⅰ类错误α（通常取0.05），计算出未知总体参数的可能取值范围，这个范围被称为“置信区间”，通常情况下置信区间的置信水平是95%。

这里的Ⅰ类错误α，也叫显著性水平，它表示我们在进行统计推断时，错误地拒绝了原本正确的原假设的概率。当α取0.05时，意味着我们有5%的可能性会犯这种错误。而95%的置信区间意味着，如果我们重复抽样很多次，每次都计算一个置信区间，那么这些置信区间中大约有95%会包含总体参数的真实值。

例如，还是以学校学生身高为例，我们通过样本数据计算出一个包含总体平均身高的区间，比如[165cm, 175cm]，这就是一个置信区间。它表示我们有95%的把握认为全校学生的平均身高在165cm到175cm之间。另外，在一些统计分析中，我们还会关注置信区间是否包含0。比如在比较两种教学方法效果差异的研究中，如果差异的置信区间包含0，就说明这两种教学方法可能没有显著差异；如果不包含0，则表明两种教学方法存在显著差异。

通过对这些统计学基础概念的学习，相信你对概率、数据分布以及总体参数估计有了更清晰的认识，这将为你进一步学习统计学知识和进行数据分析打下坚实的基础。