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物理竞赛中的线性代数

news 来源：原创 2025/9/12 0:29:44

线性代数

1 行列式

1.1 $n$ 阶行列式

定义 1.1.1：称以下的式子为一个 $n$ 阶行列式：
$\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}$

其中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素成为行列式 $\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}$ 的第 $(i, j)$ 元素。
元素 $a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}$ 称为 $\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}$ 的主对角线。

性质 1：上三角行列式的值等于其对角线元素之和。
性质 2：行列式某行（列）全为零，则行列式的值等于零。
性质 3：用常数 $c$ 乘以行列式的某一行（列），得到的行列式的值等于原行列式的值的 $c$ 倍。
性质 4：交换行列式不同的两行（列），行列式的值变号。
性质 5：若行列式两行（列）成比例，则行列式的值为零。
性质 6：若行列式中某行（列）元素均为两项之和，则行列式可表示为两个行列式之和。
性质 7：行列式的某一行（列）乘以某个数加到另一行（列）上，行列式的值不变。
性质 8：行列式和其转置有相同的值。

定义 1.1.2：定义元素 $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$ 为由其行列式 $\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}$ 中划去第 $i$ 行第 $j$ 列后剩下的元素组成的行列式。
定义 1.1.3：在行列式 $\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}$ 中， $a_{ij}$ 的代数余子式定义为： $A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ ，其中 $M_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的余子式。

1.2 行列式的展开

设 $\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}$ 是 $n$ 阶行列式，元素 $a_{ij}$ 的代数余子式记为 $A_{ij}$ ，则对任意 $s,r(=1,2,\cdots,n),s\neq r$ 存在：
$\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}=\sum\limits_{i=1}^n a_{ir}A_{ir} \\ \sum\limits_{i=1}^n a_{ir}A_{is}=0$

1.3 Cramer 法则

设线性方程组：
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n \end{cases}$
记其系数行列式为 $\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}$ ，则：
$x_1=\dfrac{\begin{vmatrix}\mathbf A_1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}},x_2=\dfrac{\begin{vmatrix}\mathbf A_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}},\cdots,x_n=\dfrac{\begin{vmatrix}\mathbf A_n\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}}$

其中 $\begin{vmatrix}\mathbf A_j\end{vmatrix}$ 为 $\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}$ 去掉第 $j$ 列并用 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 将之替换的 $n$ 阶行列式。

2 矩阵

2.1 矩阵的概念

定义 2.1.1：由 $mn$ 个数 $a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots n)$ 拍成 $m$ 行 $n$ 列的矩形阵列：
$\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \\ \end{matrix}$
称为 $m$ 行 $n$ 列矩阵，简称为 $m\times n$ 矩阵（或 $m\times n$ 阵）。

若 $\mathbf A$ 的元素全是实数则称 $\mathbf A$ 为实矩阵。
若 $\mathbf A$ 的元素全是复数则称 $\mathbf A$ 为复矩阵。
若所有元素均为 $0$ 则称为零矩阵 $\mathrm O$ ，或 $\mathrm O_{m\times n}$ 。
若 $m = n$ 则称为方阵，反之为长方阵。
若方阵 $\mathbf A$ 仅存在对角元 $a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}$ 则简记为 $\mathbf A=\mathbf{diag}(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn})$ 。
进一步，若 $a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{nn}=1$ 则称 $\mathbf {I_n}=\mathbf{diag}(1,1,\cdots,1)$ 为 $n$ 阶单位矩阵。

2.2 矩阵的运算

一、矩阵加减法

定义 2.2.1：设有两个 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf A=(a_{ij}),\mathbf B=(b_{ij})$ ，定义 $\mathbf A+\mathbf B$ 是一个 $m\times n$ 矩阵且 $\mathbf A+\mathbf B$ 的第 $(i, j)$ 元素等于 $a_{ij}+b_{ij}$ ，即 $\mathbf A+\mathbf B=(a_{ij}+b_{ij})$
矩阵的减法可看作矩阵加法的逆运算，即
$\mathbf A-\mathbf B=(a_{ij}-b_{ij})$
定义 2.2.2：定义 $\mathbf A=(a_{ij})$ 的负矩阵为 $-\mathbf A=(-a_{ij})$ ，则有 $\mathbf A+(-\mathbf A)=\mathbf O$ 。

矩阵加减法运算规则：

交换律： $\mathbf A+\mathbf B=\mathbf B+\mathbf A$ 。
结合律： $(\mathbf A+\mathbf B)+\mathbf C=\mathbf A+(\mathbf B+\mathbf C)$ 。
$\mathbf O+\mathbf A=\mathbf A+\mathbf O=\mathbf A$ 。
$\mathbf A+(-\mathbf B)=\mathbf A-\mathbf B$ 。

二、矩阵的数乘

定义 2.2.3：设 $\mathbf A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵， $\mathbf A=(a_{ij})_{m\times n}$ ， $c$ 是一个常数，定义 $c\mathbf A=(ca_{ij})_{m\times n}$ 。 $c\mathbf A$ 称为数 $c\mathbf A$ 的数乘。

矩阵的数乘运算规则：

$c(\mathbf A+\mathbf B)=c\mathbf A+c\mathbf B$ 。
$(c+d)\mathbf A=c\mathbf A+d\mathbf A$ 。
$(cd)\mathbf A=c(d\mathbf A)$ 。
$1\cdot\mathbf A=\mathbf A$ 。
$0\cdot\mathbf A=\mathbf O$ 。

三、矩阵的乘法

定义 2.2.4：设有 $m\times k$ 矩阵 $\mathbf A=(a_{ij})_{m\times k}$ ，以及 $k\times n$ 矩阵 $\mathbf B=(b_{ij})_{m\times n}$ 。定义 $\mathbf A$ 和 $\mathbf B$ 的乘积 $\mathbf A\mathbf B$ 是一个 $m\times n$ 矩阵且 $\mathbf A\mathbf B$ 的第 $(i, j)$ 元素
$c_{ij}=\sum\limits_{l=1}^ka_{il}b_{lj}$

矩阵乘法的运算规则：

结合律： $(\mathbf A\mathbf B)\mathbf C=\mathbf A(\mathbf B\mathbf C)$ 。
左右分配律： $\mathbf A(\mathbf B+\mathbf C)=\mathbf A\mathbf B+\mathbf A\mathbf C,(\mathbf A+\mathbf B)\mathbf C=\mathbf A\mathbf B+\mathbf B\mathbf C$ 。
$c(\mathbf A\mathbf B)=(c\mathbf A)\mathbf B=\mathbf A(c\mathbf B)$ 。
对任意的 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf A$ ， $\mathbf {I_m}\mathbf A=\mathbf A=\mathbf A\mathbf {I_n}$ 。

方阵幂运算规则：

$\mathbf A^r\mathbf A^s=\mathbf A^{r+s}$ 。
$(\mathbf A^r)^s=\mathbf A^{rs}$ 。

四、矩阵的转置

定义 2.2.5：设 $\mathbf A=(a_{ij})$ 是 $m\times n$ 矩阵，定义 $\mathbf A$ 的转置 $\mathbf A^{\mathbf T}$ 为一个 $n\times m$ 矩阵，它的第 $k$ 行正好是矩阵 $\mathbf A$ 的第 $k$ 列（ $k=1,2,\cdots,n$ ）；它的第 $r$ 行是 $\mathbf A$ 的第 $r$ 行（ $r=1,2,\cdots,n$ ）。

矩阵转置运算规则：

$(\mathbf A^{\mathbf T})^{\mathbf T}=\mathbf A$ 。
$(\mathbf A+\mathbf B)^{\mathbf T}=\mathbf A^{\mathbf T}+\mathbf B^{\mathbf T}$ 。
$(c\mathbf A)^{\mathbf T}=c\mathbf A^{\mathbf T}$ 。
$(\mathbf A\mathbf B)^{\mathbf T}=\mathbf B^{\mathbf T}\mathbf A^{\mathbf T}$ 。

五、矩阵的共轭

定义 2.2.6：设 $\mathbf A=(a_{ij})_{m\times n}$ 是一个复矩阵，则 $\mathbf A$ 的共轭矩阵 $\overline{\mathbf A}$ 是一个 $m\times n$ 复矩阵，且
$\overline{\mathbf A}=(\overline a_{ij})_{m\times n}$

矩阵共轭运算规则：

$\overline{\mathbf A+\mathbf B}=\overline {\mathbf A}+\overline {\mathbf B}$ 。
$\overline{c\mathbf A}=\overline c \overline {\mathbf A}$ 。
$\overline{\mathbf A \mathbf B}=\overline{\mathbf A}\ \overline {\mathbf B}$ 。
$\overline{({\mathbf A}^{\mathbf T})}=(\overline{\mathbf A})^{\mathbf T}$ 。

2.3 方阵的逆阵

定义 2.3.1：设 $\mathbf A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在一个 $n$ 阶方阵 $\mathbf B$ ，使得：
$\mathbf A\mathbf B=\mathbf B\mathbf A=\mathbf {I_n},$
则称 $\mathbf B$ 是 $\mathbf A$ 的逆阵，记为 $\mathbf B=\mathbf A^{-1}$ 。凡有逆阵的矩阵称为可逆阵或非奇异阵（简称非异阵），否则称为奇异阵。

矩阵求逆运算规则：

若 $\mathbf A$ 是非异阵，则 $(\mathbf A^{-1})^{-1}=\mathbf A$ 。
若 $\mathbf A,\mathbf B$ 都是 $n$ 阶非异阵，则 $\mathbf A\mathbf B$ 也是 $n$ 阶非异阵且 $(\mathbf A\mathbf B)^{-1}=\mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}$ 。
若 $\mathbf A$ 是非异阵， $c$ 是非零数，则 $c\mathbf A$ 也是非异阵且 $(c\mathbf A)^{-1}=c^{-1}\mathbf A^{-1}$ 。
若 $\mathbf A$ 是非异阵，则 $\mathbf A$ 的转置 $\mathbf A^{\mathbf T}$ 也是非异阵且 $(\mathbf A^{\mathbf T})^{-1}=(\mathbf A^{-1})^{\mathbf T}$ 。

设 $\mathbf A$ 是 $n$ 阶方阵，这个方阵决定了一个 $n$ 阶行列式，记为 $\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}$ 或 $\det\mathbf A$ 。

定义 2.3.2 ：设 $A$ 是 $n$ 阶方阵， $A_{ij}$ 是行列式 $\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}$ 中第 $(i, j)$ 元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，则称下列方阵为 $\mathbf A$ 的伴随阵：
$\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1} \\ A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2} \\ \vdots&\vdots&\ddots &\vdots \\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn} \end{pmatrix}$
$\mathbf A$ 的伴随矩通常记为 $\mathbf {A^*}$ 。

引理 2.3.1：设 $\mathbf A$ 为 $n$ 阶方阵， $\mathbf A^*$ 为 $\mathbf A$ 的伴随矩，则
$\mathbf A\mathbf A^*=\mathbf A^*\mathbf A=\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}\cdot\mathbf{I_{n}}$

定理 2.3.1：若 $\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}\neq0$ ，则 $\mathbf A$ 是一个非异阵，且
$\mathbf A^{-1}=\dfrac{1}{\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}} \mathbf A^*$

2.4 矩阵的初等变换与初等矩阵

物理竞赛中的线性代数

线性代数 1 行列式 1.1 n n n 阶行列式定义 1.1.1：称以下的式子为一个 n n n 阶行列式： ∣ A ∣ ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ \begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11…...

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