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数据结构与算法-图论-最短路和其他的结合

news 来源：原创 2025/9/15 14:41:44

介绍

最短路算法常与深度优先搜索（DFS）、动态规划（DP）、二分答案、拓扑排序等算法结合使用：

- 最短路与DFS结合：在一些图的路径问题中，当需要访问特定的多个结点，且数据范围较小时，可使用DFS。例如在一个有(n)个结点、(m)条无向边的图中，有(x)个结点必须访问，求最短路径。此时问题可转化为如何排列这(x)个结点，使得从起始结点依次经过其余结点所经过的路径最短。由于DFS时间复杂度较高，一般先用Dijkstra算法对这(x)个结点间的最短路做预处理，然后用DFS进行结点排列尝试，时间复杂度约为(O(ntimes ntimeslog(m)))。

- 最短路与DP结合：在涉及路径选择和最优值求解，且问题具有最优子结构性质时，会结合DP。比如在一个图中，从起点到终点的过程中，在不同的结点有不同的花费或收益，同时路径存在一定的限制条件，要求找到能获取最大收益或最小花费的路径。可以用DP来记录每个状态（到达某个结点的情况）下的最优值，用最短路算法来确定路径的可达性和距离信息，二者相互配合求解。

- 最短路与二分答案结合：当问题是求解使得某一条件满足的最优值（如路径中第(k)大的边最小）时，且该最优值存在二段性（即大于该值的情况和小于该值的情况有明显区分），可以使用二分答案的方法。通过二分枚举可能的最优值，然后利用最短路算法来判断在该值下是否满足题目条件（如查找该路径中有多少条边的权重大于枚举值），从而逐步缩小范围找到最优解。

- 最短路与拓扑排序结合：在处理有向无环图（DAG）且存在边权（可正可负）的最短路问题时，常结合拓扑排序。例如有多块区域通过道路（边权大于(0)）和航线（边权可正可负，单向）相连，求最短路。由于存在负权边，不能直接用Dijkstra算法。此时先对区域间的道路用Dijkstra算法处理，对于航线，利用拓扑排序得到拓扑序，根据该顺序计算各个区域间的最短路，这样能有效处理负权边和有向图的情况。

新年好（dfs+最短路）

分析：

这道题可以结合深度优先搜索（DFS）和 SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）算法来求解，以下是具体分析：

算法思路

图的存储：使用邻接表来存储图的结构，对于每个车站（节点），记录与其相连的车站以及通过公路所需的时间（边的权重）。

SPFA 求单源最短路径：从车站 1 出发，利用 SPFA 算法计算到车站 a, b, c, d, e 的最短路径。SPFA 算法基于队列实现，不断更新到各个节点的最短距离。初始时，将起点的距离设为 0，其他节点设为无穷大。每次从队列中取出一个节点，更新其相邻节点的距离，如果某个节点的距离被更新且该节点不在队列中，则将其加入队列。重复此过程，直到队列为空。

DFS 进行路径搜索：在得到从车站 1 到各个亲戚所在车站的最短距离后，使用 DFS 来枚举所有可能的拜访顺序。从车站 1 出发，依次选择一个未访问过的亲戚所在车站进行访问，记录路径长度，当访问完所有亲戚所在车站后，再返回车站 1，计算总路径长度。通过比较所有可能路径的总长度，找出最短的那一条。

伪代码：

2：通信线路（二分+最短路）：

分析：

这道题可以通过二分答案和最短路算法来求解，以下是详细分析：

算法思路

1. 二分答案：由于要找的是完成升级的最少花费，而这个花费是路径上剩余电缆中最贵的那条的价格，所以可以对这个价格进行二分。价格的范围是从 (1) 到所有电缆升级花费中的最大值 (L_{max})。每次二分一个价格 (mid)，判断是否存在一条从 (1) 号基站到 (N) 号基站的路径，在这条路径上不超过 (K) 条电缆的花费大于 (mid)。如果存在这样的路径，说明可以尝试更小的价格；如果不存在，则需要增大价格。

2. 判断路径是否存在（最短路算法）：在二分过程中，对于每个假设的价格 (mid)，需要判断是否存在满足条件的路径。这里可以使用最短路算法（如迪杰斯特拉算法或SPFA算法）进行改造。将花费大于 (mid) 的电缆看作权重为 (1)（表示这条电缆是需要额外付费考虑的），花费小于等于 (mid) 的电缆看作权重为 (0)。然后求从 (1) 号基站到 (N) 号基站的最短路，如果最短路的权重小于等于 (K)，则说明存在满足条件的路径。

伪代码：

3-道路与航线（拓扑排序+最短路）：

分析：

一种很巧妙的解题思路，利用连通块、拓扑排序和迪杰斯特拉算法结合来求解从发送中心城镇 (S) 到每个城镇的最便宜方案

算法思路

1. 划分连通块： - 仅考虑道路（因为道路是无向且可构成连通区域），使用深度优先搜索（DFS）或并查集算法来标记每个城镇所属的连通块。通过遍历所有道路，将相互连通的城镇划分到同一个连通块中，这样可以把整个图按道路连通性划分为若干个连通块。 - 记录每个连通块包含的城镇节点。

2. 构建连通块之间的拓扑图： - 考虑航线，对于每条航线 ( (u, v) ) ，找到 (u) 和 (v) 所属的连通块 (block_u) 和 (block_v) 。如果 (block_u neq block_v) ，则在连通块之间构建一条有向边 ( (block_u, block_v) ) ，并记录这条边对应的航线信息（如花费等）。同时，记录每个连通块的入度（即指向该连通块的有向边数量）。 - 由于题目条件保证航线构成的图无环，所以这些连通块之间的有向边也构成一个有向无环图（DAG）。

3. 拓扑排序与迪杰斯特拉结合： - 把入度为 (0) 的连通块入队，开始拓扑排序。 - 对于每个连通块，先在其内部使用迪杰斯特拉算法，计算该连通块内从属于该连通块且是发送中心城镇 (S) 所在的节点（如果 (S) 在该连通块内）到其他节点的最短路径。 - 当处理一个连通块时，检查从该连通块出发的航线（即连通块之间的有向边），对于每条航线对应的目标连通块，如果目标连通块的入度减为 (0) ，则将其入队。同时，根据航线的花费，更新目标连通块内节点的最短距离（如果通过这条航线能使距离更短）。 - 重复上述步骤，直到队列为空，此时得到的就是从 (S) 到各个城镇的最短距离。