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整数二分算法

news 来源：原创 2025/9/16 2:45:07

例题：

给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000范围内），表示完整数组。接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式

共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围

1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000

输入样例：
6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5
输出样例：
3 4
5 5
-1 -1

算法模板：

整数二分的本质不是单调性，只要可将区间依据是否满足某种性质一分为二，就可以用二分


bool check(int x) {} //检查x是否满足某种性质//区间[l, r]被划分为[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r) {while (l < r) {int mid = (l + r) >> 1;if (check(mid)) r = mid;else l = mid + 1;}return l;
}//区间[l, r]被划分为[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r) {while (l < r) {int mid = (l + r + 1) >> 1; //因为整数/2存在向下取整问题，如果这里不加1，更新时会出现l = mid = l的情况【如l = r - 1时】会陷入死循环 if (check(mid)) l = mid; else r = mid - 1;}return l;
}

区间如何更新？

 参考题解

/*整数二分算法*/
#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;int main () {int n, q; //数组长度和询问个数cin >> n >> q;vector<int> array (n);for(int i = 0; i < n; i++) {cin >> array[i];}while(q--) {int query;cin >> query;int l = 0, r = n - 1;while(l < r) {int mid = (l + r) >> 1;if(array[mid] >= query) { //找起始位置时，将性质定义为>=x r = mid;}else {l = mid + 1;}}if(array[l] != query) {cout << "-1 -1" << '\n';continue; }cout << l << ' ';l = 0, r = n - 1;while(l < r) {int mid = (l + r + 1) >> 1;if(array[mid] <= query) { //找结束位置时，将性质定义为<=x l = mid;}else {r = mid - 1;}}cout << l << '\n';}return 0;
}

总结 

重点在于画图想清楚要找的分界点应该使用什么性质，以这道题为例，刚开始一直想着用<query来找，但就感觉这样不太对劲，画图后才清晰地理解为什么要用>=query

参考：AcWing关于二分的讲解

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