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逻辑函数的神经网络实现

news 来源：原创 2025/9/17 11:56:33

1.单层感知器实现基本逻辑函数

 先给大家抛出一道例题

（一）种类 

a.OR函数

目标：当至少一个输入为1时，输出1；否则输出0。

权重设置：

输入权重：所有 wi=1（i=1,2,...,m）。

偏置：w0=n-0.5。（n为负文字数量） 

b.AND函数

目标： 当所有输入为1时，输出1，否则输出0。

权重设置：

输入权重：所有wi=1。

偏置：w0=0.5-n。

c.NOT函数

目标：输入1，输出0，输入0，输出1。

权重设置：

输入权重：w=-1。

偏置：w0=0.5。

数学原理：

s=0.5−x，当 x=1 时 s=−0.5<0，输出0；x=0 时 s=0.5>0，输出1。

d.NAND（与非）函数

目标：当所有输入为1时输出为0，否则输出1。

权重设置：

输入权重：w1=-1，w2=-1。

偏置：w0=1.5。

e.NOR（或非）函数 

目标：当任一输入为1时输出0，否则输出1。

权重设置：

输入权重：w1=-1，w2=-1。

偏置：w0=0.5。

f.imply（蕴含）函数 

（二）单层感知器的局限性

 

2.两层神经网络实现复杂逻辑（CNF） 

我们现在利用上述知识来看一下例题：(A∨B)∧(¬B∨C∨¬D)∧(D∨¬E)

步骤一：分解为析取项（OR项）

每个析取项对应一个隐藏层节点：

  1. 第一隐藏节点：A∨BA∨B

  2. 第二隐藏节点：¬B∨C∨¬D¬B∨C∨¬D

  3. 第三隐藏节点：D∨¬ED∨¬E

步骤二：设置隐藏层权重与偏置

  • 输入权重：

    • 正文字（如A, C, D）：权重 +1。

    • 负文字（如¬B, ¬D, ¬E）：权重 -1。

  • 偏置：w0=k−0.5，其中 k 是当前析取项中负文字的数量。

简单举个例子：

同理对其他两个进行表达，可分别得出，并将三者进行合并。

 

步骤三：输出层实现合取（AND项） 

  • 输入权重：所有隐藏节点到输出的权重为1。

  • 偏置：w0=0.5−m，其中 m 是隐藏节点数（本例中 m=3）。

    • 偏置 w0=0.5−3=−2.5。

  • 数学原理：

    • 输出层加权和 s=−2.5+h1+h2+h3s=−2.5+h1​+h2​+h3​。

    • 仅当所有隐藏节点输出1时，s=−2.5+3=0.5>0s=−2.5+3=0.5>0，最终输出1。

所以，最后的神经网络长这样

3.异或（XOR）网络实现 

已知单层神经网络是无法解决非线性可分问题（例如XOR），我们只能引入多层神经网络来进行表达。大家先来看一道例题。

网络结构

  • 输入层：两个节点 x1​ 和 x2。

  • 隐藏层：两个节点，分别计算以下两个中间逻辑函数：

    1. 节点 h1​：计算 x1∧x2​（AND）。

    2. 节点 h2​：计算 x1∨x2（OR）。

  • 输出层：一个节点，计算 NOR(h1,h2)。

  • 关键逻辑：

    • 当 h1=1（即 x1=x2=1），输出被抑制为0。

    • 当 h2=1（即至少一个输入为1），输出也被抑制为0。

    • 唯一输出1的情况是 h1=0 且 h2=0，即 x1=x2=0。

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