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数据结构之二叉树

news 来源：原创 2025/5/10 8:33:05

数据结构之二叉树

数据结构之二叉树
- 1. 什么是二叉树？
- 2. 基本概念
- 3. 二叉树的基本形态
- 4. 二叉树的性质
- 5. 特殊二叉树
- 6. 二叉树的存储
- 7. 二叉树的遍历
- - 7.1 前序遍历
  - 7.2 中序遍历
  - 7.3 后序遍历
  - 7.4 层次遍历
- 8. 应用场景
- 9. 实例代码
- - 9.1 示例树结构
  - 9.2 输出结果

数据结构之二叉树

1. 什么是二叉树？

二叉树（Binary Tree）是一种特殊的树形数据结构，其中每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。二叉树可以为空（没有节点），或者由一个根节点和两棵互不相交的子树（左子树和右子树）组成。

二叉树的特点是：

每个节点最多有两个子节点。
左子树和右子树是有序的，不能互换。

2. 基本概念

节点（Node）：二叉树的基本单位，包含数据域和指针域。
根节点（Root）：二叉树的顶层节点，没有父节点。
叶子节点（Leaf）：没有子节点的节点。
父节点（Parent）：有子节点的节点。
子节点（Child）：某个节点的直接下级节点。
深度（Depth）：从根节点到某个节点的路径长度（根节点的深度为0）。
高度（Height）：从某个节点到叶子节点的最长路径长度（叶子节点的高度为0）。
层次（Level）：根节点为第0层，其子节点为第1层，以此类推。

3. 二叉树的基本形态

二叉树有以下几种基本形态：

空树：没有节点的二叉树。
只有一个根节点：根节点没有子节点。
只有左子树：根节点只有左子节点，右子节点为空。
只有右子树：根节点只有右子节点，左子节点为空。
左右子树都存在：根节点同时有左子节点和右子节点。

4. 二叉树的性质

二叉树具有以下重要性质：

性质1：在二叉树的第 i 层上，最多有 2^i 个节点 (i >= 0)。
- 例如：
  - 第 0 层最多有 2^0 = 1 个节点（根节点）。
  - 第 1 层最多有 2^1 = 2 个节点。
性质2：深度为 k 的二叉树，最多有 2^(k+1) - 1 个节点 (k >= 0)。
- 例如：
  - 深度为 0 的二叉树，最多有 2^(0+1) - 1 = 1 个节点。
  - 深度为 1 的二叉树，最多有 2^(1+1) - 1 = 3 个节点。
  - 深度为 2 的二树，最多有 2^(2+1) - 1 = 7 个节点。
性质3：对于任意一棵二叉树，如果叶子节点数为 n0，度为 2 的节点数为 n2，则满足关系式：n0 = n2 + 1
- 说明：
  - 叶子节点是指没有子节点的节点。
  - 度为 2 的节点是指有两个子节点的节点。
性质4：具有 n 个节点的完全二叉树，其深度为：log2(n) 向下取整后加 1
- 说明：
  - 完全二叉树是指除了最后一层外，其他层都是满的，最后一层的节点尽量靠左排列。
性质5：对于一棵完全二叉树，如果对节点从 0 开始编号，则：
- 父节点为 i，则：
  - 左子节点编号为 2*i + 1
  - 右子节点编号为 2*i + 2
- 子节点编号为 i，则：
  - 父节点编号为 (i - 1) // 2 （整数除法）

5. 特殊二叉树

满二叉树（Full Binary Tree）：
- 每一层的节点数都达到最大值，即第 i 层有 2^i 个节点。
- 深度为 k 的满二叉树，总节点数为 2^(k+1) - 1。
完全二叉树（Complete Binary Tree）：
- 除了最后一层，其他层都是满的，且最后一层的节点尽量靠左排列。
- 适合用数组存储。
二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）：
- 左子树的所有节点值小于根节点值，右子树的所有节点值大于根节点值。
- 中序遍历结果是有序的。
平衡二叉树（Balanced Binary Tree）：
- 任意节点的左右子树高度差不超过1。
- 例如：AVL树、红黑树。

6. 二叉树的存储

链式存储：
- 使用节点对象和指针表示二叉树。
- 每个节点包含数据域和两个指针域（左子节点和右子节点）。
```
struct TreeNode {int value;TreeNode* left;TreeNode* right;TreeNode(int val) : value(val), left(nullptr), right(nullptr) {}
};
```
顺序存储：
- 使用数组存储完全二叉树。
- 对于节点 i，左子节点为 2i + 1，右子节点为 2i + 2，父节点为 (i - 1) // 2（其中//表示整数除法）

7. 二叉树的遍历

前序遍历（Pre-order）：根 -> 左 -> 右
中序遍历（In-order）：左 -> 根 -> 右
后序遍历（Post-order）：左 -> 右 -> 根
层次遍历（Level-order）：按层从上到下、从左到右访问节点。

7.1 前序遍历

void preOrderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return; // 递归终止条件cout << root->value << " ";  // 访问根节点preOrderTraversal(root->left);  // 遍历左子树preOrderTraversal(root->right); // 遍历右子树
}

7.2 中序遍历

void inOrderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;   // 递归终止条件inOrderTraversal(root->left);  // 遍历左子树cout << root->value << " ";    // 访问根节点inOrderTraversal(root->right); // 遍历右子树
}

7.3 后序遍历

void postOrderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;     // 递归终止条件postOrderTraversal(root->left);  // 遍历左子树postOrderTraversal(root->right); // 遍历右子树cout << root->value << " ";      // 访问根节点
}

7.4 层次遍历

#include <queue>void levelOrderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;queue<TreeNode*> q;q.push(root); // 根节点入队while (!q.empty()) {TreeNode* node = q.front(); // 取出队首节点q.pop();cout << node->value << " "; // 访问当前节点if (node->left != nullptr) {q.push(node->left); // 左子节点入队}if (node->right != nullptr) {q.push(node->right); // 右子节点入队}}
}

8. 应用场景

二叉搜索树：用于动态查找、插入和删除操作。
堆（Heap）：用于优先队列。
哈夫曼树：用于数据压缩。
表达式树：用于编译器的语法分析。

9. 实例代码

节点定义：使用 TreeNode 结构表示二叉树的节点，每个节点包含一个值指向左右子节点的指针。
遍历方法：
- 前序、中序、后序遍历使用递归实现。
- 层次遍历使用队列实现，通过逐层访问节点。
树的构建：createSampleTree 函数手动构建了一棵简单的完全二叉树。

#include <iostream>
#include <queue> // 用于层次遍历
using namespace std;// 定义二叉树的节点结构
struct TreeNode {int value;             // 数据域TreeNode* left;        // 左子节点指针TreeNode* right;       // 右子节点指针// 构造函数TreeNode(int val) : value(val), left(nullptr), right(nullptr) {}
};// 前序遍历：根 -> 左 -> 右
void preOrderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;cout << root->value << " ";           // 访问根节点preOrderTraversal(root->left);        // 遍历左子树preOrderTraversal(root->right);       // 遍历右子树
}// 中序遍历：左 -> 根 -> 右
void inOrderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;inOrderTraversal(root->left);         // 遍历左子树cout << root->value << " ";           // 访问根节点inOrderTraversal(root->right);        // 遍历右子树
}// 后序遍历：左 -> 右 -> 根
void postOrderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;postOrderTraversal(root->left);       // 遍历左子树postOrderTraversal(root->right);      // 遍历右子树cout << root->value << " ";           // 访问根节点
}// 层次遍历：从到下，从左到右
void levelOrderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;queue<TreeNode*> q; // 辅助队列q.push(root); // 根节点入队while (!q.empty()) {TreeNode* node = q.front(); // 获取队首节点q.pop();                    // 出队cout << node->value << " "; // 访问当前节点if (node->left != nullptr) {q.push(node->left);     // 左子节点入队}if (node->right != nullptr) {q.push(node->right);    // 右子节点入队}}
}// 创建一个简单的二叉树
TreeNode* createSampleTree() {// 创建节点TreeNode* root = new TreeNode(1);root->left = new TreeNode(2);root->right = new TreeNode(3);root->left->left = new TreeNode(4);root->left->right = new TreeNode(5);root->right->left = new TreeNode(6);root->right->right = new TreeNode(7);return root; // 返回根节点
}int main() {// 创建示例二叉树TreeNode* root = createSampleTree();// 打印各类遍历结果cout << "前序遍历 (Pre-order): ";preOrderTraversal(root);cout << endl;cout << "中序遍历In-order): ";inOrderTraversal(root);cout << endl;cout << "后序遍历 (Post-order): ";postOrderTraversal(root);cout << endl;cout << "层次遍历 (Level-order): ";levelOrderTraversal(root);cout << endl;return 0;
}

9.1 示例树结构

程序中创建的二叉树结构如下：

      1/   \2     3/ \   / \4   5 6   7

9.2 输出结果

运行以上代码后，输出结果如下：

前序遍历 (Pre-order): 1 2 4 5 3 6 7
中序遍历 (In-order): 4 2 5 1 6 3 7
后序遍历 (Post-order): 4 5  6 7 3 1
层次遍历 (Level-order): 1 2 3 4 5 6 7

数据结构之二叉树

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编程日记 2025/5/9 12:47:49

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IntelliJ IDEA 2024.1.4 (Ultimate Edition) 安装完成后，调试项目发现找不到Tomcat服务： 按照常规操作添加，发现服务插件中没有Tomcat。。。解决方法 1、找到IDE设置窗口 2、点击Plugins按钮，进入插件窗口，搜索T…...

编程日记 2025/5/9 13:29:45

利用Firewalld和Iptables实现IP端口限制与开放

这里写目录标题前言一、FirewalldIP端口限制1.1 确认启动状态1.2 启动Firewalld1.3 查看当前连接到Nacos的IP1.4 添加访问规则1.5 重新加载配置1.6 查看当前活动的规则列表1.7 移除某个规则二、Firewalld 开放端口2.1 开放 6379端口2.2 重新加载防火墙2.3 验证规则三、Iptab…...

编程日记 2025/5/9 13:13:02

两步在 Vite 中配置 Tailwindcss

第一步：安装依赖 npm i -D tailwindcss tailwindcss/vite第二步：引入 tailwindcss 更改配置 // src/main.js import tailwindcss/index// vite.config.js import vue from vitejs/plugin-vue import tailwindcss from tailwindcss/viteexport default …...

编程日记 2025/5/9 13:08:54

单片机原理与运用

个人主页：java之路-CSDN博客(期待您的关注) 目录一、走进单片机的世界二、单片机是什么 （一）定义与本质 （二）与普通计算机的区别三、单片机的工作原理深度剖析 （一）硬件组成及功能 &am…...

编程日记 2025/5/9 13:19:08

数据结构之二叉树

数据结构之二叉树

1. 什么是二叉树？

2. 基本概念

3. 二叉树的基本形态

4. 二叉树的性质

5. 特殊二叉树

6. 二叉树的存储

7. 二叉树的遍历

7.1 前序遍历

7.2 中序遍历

7.3 后序遍历

7.4 层次遍历

8. 应用场景

9. 实例代码

9.1 示例树结构

9.2 输出结果

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