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凸性相关问题

news 来源：原创 2025/5/15 6:12:30

内容大致上包括：

  • 四边形不等式，决策单调性
  • 闵可夫斯基和优化 d p dp dp
  • slope trick 优化 d p dp dp
  • 其他凸性相关问题

决策单调性

1.1 一些约定

对于 n × m n\times m n×m 的矩阵 A A A，定义：

  • 子矩阵 A [ i 1 , . . . , i p ] , [ j 1 , . . . , j q ] A_{[i_1,...,i_p],[j_1,...,j_q]} A[i1​,...,ip​],[j1​,...,jq​]​ 为矩阵中第 i 1 , . . . i p i_1,...i_p i1​,...ip​ 行与 j 1 , . . . j q j_1,...j_q j1​,...jq​ 列交点形成的矩阵

  • 连续子矩阵，顾名思义

  • min ⁡ ( A i ) \min(A_i) min(Ai​) 表示第 i i i 行最小值的位置，若存在多个最小值取最左边

1.2 单调矩阵、蒙日矩阵与四边形不等式

  • 单调矩阵： ∀ i < j , min ⁡ ( A i ) ≤ min ⁡ ( A j ) \forall i<j,\min(A_i)\leq \min(A_j) ∀i<j,min(Ai​)≤min(Aj​)，即 决策单调性

  • 完全单调矩阵： A A A 的任何一个子矩阵都是单调矩阵
    Tip：能在题目中见到的单调矩阵几乎都是完全单调矩阵

  • 蒙日矩阵：若 ∀ 1 ≤ i 1 ≤ i 2 ≤ n , 1 ≤ j 1 ≤ j 2 ≤ m \forall 1\leq i_1\leq i_2\leq n,1\leq j_1\leq j_2\leq m ∀1≤i1​≤i2​≤n,1≤j1​≤j2​≤m，均有 A i 1 , j 1 + A i 2 , j 2 ≤ A i 1 , j 2 + A i 2 , j 1 A_{i_1,j_1}+A_{i_2,j_2}\leq A_{i_1,j_2}+A_{i_2,j_1} Ai1​,j1​​+Ai2​,j2​​≤Ai1​,j2​​+Ai2​,j1​​，则称 A A A 满足 四边形不等式，同时称这样的矩阵为 蒙日矩阵

    上面的条件其实等价于 A i , j + A i + 1 , j + 1 ≤ A i , j + 1 + A i + 1 , j A_{i,j}+A_{i+1,j+1}\leq A_{i,j+1}+A_{i+1,j} Ai,j​+Ai+1,j+1​≤Ai,j+1​+Ai+1,j​，本质上是二维差分

    蒙日矩阵均为完全单调矩阵

    这也说明了，若一个矩阵满足四边形不等式，那么它就有决策单调性

    蒙日矩阵的一些基本性质：

    • A T A^T AT 也为蒙日矩阵
    • A + B A+B A+B 为蒙日矩阵
    • λ A , λ > 0 \lambda A,\lambda>0 λA,λ>0 为蒙日矩阵
       

    常见的蒙日矩阵

    • A x , y = min ⁡ ( x , y ) A_{x,y}=\min(x,y) Ax,y​=min(x,y)

    • A x , y = x y A_{x,y}=xy Ax,y​=xy

    • A x , y = ∑ i = 1 x ∑ j = y m d i , j A_{x,y} = \sum_{i=1}^x\sum_{j=y}^md_{i,j} Ax,y​=∑i=1x​∑j=ym​di,j​，其中 d i , j d_{i,j} di,j​ 为非负矩阵

      这说明了：对于区间权值为 区间内符合某种性质的点对数量(权值)和的问题一定
      具有决策单调性

      比如 逆序对，区间颜色数的平方

    • A x , y = [ x = k ] v k A_{x,y}=[x=k]v_k Ax,y​=[x=k]vk​，没见过，不知道有什么用

    • A x , y = f ( x − y ) A_{x,y}=f(x-y) Ax,y​=f(x−y)，其中 f f f 是下凸函数 十分有用 ！！

1.3 例题

实际应用中还是有很多 trick 的

一般来说，实际应用中证明 猜 决策单调性的方法有两种： 反证法 ，四边形不等式

还有就是需要见过一些经典的模型

 

「雅礼集训 2017 Day5」珠宝 /「NAIPC2016」Jewel Thief

观察数据范围注意到 c c c 很小，肯定按这个做了

对于 c c c 相同的，显然按 v v v 从大到小选，贡献函数是凸的

容易写出转移：

d p c , j = max ⁡ ( d p c − 1 , j − k c + F c , k ) dp_{c,j}=\max(dp_{c-1,j-kc}+F_{c,k}) dpc,j​=max(dpc−1,j−kc​+Fc,k​)

按 m o d c \mathrm{mod}\ c mod c 分组会让 d p dp dp 更简洁

d p c , j = max ⁡ ( d p c − 1 , j − k + F c , k ) dp_{c,j}=\max(dp_{c-1,j-k}+F_{c,k}) dpc,j​=max(dpc−1,j−k​+Fc,k​)

显然是 ( m a x , + ) (max,+) (max,+) 卷积的形式，而且 F F F 也是凸的，那么闵和归并？

注意 d p dp dp 数组转移过程中并非凸的，因为不同的 c c c 的分组方式显然会影响凸性，那就不能闵和了

但是这种 非凸 与 凸 的 ( m a x , + ) (max,+) (max,+) 卷积是有 决策单调性 的

可以用蒙日矩阵来说明：

d p c , j = max ⁡ ( d p c − 1 , k + F c , j − k ) dp_{c,j}=\max(dp_{c-1,k}+F_{c,j-k}) dpc,j​=max(dpc−1,k​+Fc,j−k​)，恰好符合 A x , y = f ( x − y ) A_{x,y}=f(x-y) Ax,y​=f(x−y) 且 f f f 凸 这一推论

直接决策单调性，复杂度是 O ( K C ) O(KC) O(KC) 或者 O ( K C log ⁡ ) O(KC\log) O(KClog)

 

GYM102586B1 Evacuation

好牛的题

首先设出来代价函数， f ( l , r , x ) f(l,r,x) f(l,r,x) 表示决策选在 x x x 时的最小代价，没什么性质，简化一下

一般决策单调性都是二元函数，所以尽可能往二元的形式上凑

容易发现根据 L i L_i Li​ 与 R i R_i Ri​ 的中点可以把决策分成两部分，左半部分是不需要考虑 R i R_i Ri​ 的限制的，右边同理

简化后：设 f ( s , i ) f(s,i) f(s,i) 表示决策在 s s s，端点为 i i i 的最小代价

发现这样就有决策单调性了，反证法容易证明

有个问题是这个题决策有区间限制，需要线段树上放询问后对每个结点分治处理

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文章目录 背景知识smp_mb__after_atomic 的作用具体应用场景为什么需要 smp_mb__after_atomic相关宏总结 背景知识 在现代多核处理器和并发编程中&#xff0c;编译器优化和CPU乱序执行可能导致程序指令的实际执行顺序与源代码中的顺序不一致。这种现象可能会破坏多线程或进程间…...

编程日记 2025/5/14 8:56:46

关于conda换镜像源，pip换源

目录 1. 查看当前下载源2. 添加镜像源2.1清华大学开源软件镜像站2.2上海交通大学开源镜像站2.3中国科学技术大学 3.删除镜像源4.删除所有镜像源&#xff0c;恢复默认5.什么是conda-forge6.pip换源 1. 查看当前下载源 conda config --show channels 如果发现多个 可以只保留1个…...

编程日记 2025/5/13 9:18:03

【JavaEE进阶】依赖注入 DI详解

目录 &#x1f334;什么是依赖注入 &#x1f384;依赖注入的三种方法 &#x1f6a9;属性注⼊(Field Injection) &#x1f6a9;Setter注入 &#x1f6a9;构造方法注入 &#x1f6a9;三种注⼊的优缺点 &#x1f333;Autowired存在的问题 &#x1f332;解决Autowired存在的…...

编程日记 2025/5/15 15:58:48