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音频进阶学习十一——离散傅里叶级数DFS

news 来源：原创 2025/7/7 13:39:15

文章目录

前言
一、傅里叶级数
- 1.定义
- 2.周期信号序列
- 3.表达式
- - DFS
  - IDFS
  - 参数含义
- 4.DFS公式解析
- - 1）右边解析
  - - $T$ 、 $f$ 、 $\omega$ 的关系
    - 求和公式N的释义
    - 求和公式K的释义
    - $e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}$ 的释义
    - $\sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[n]$ 的释义
  - 2）左边解释
  - - 实部与虚部
    - 幅度与相位
二、IDFS推导
三、DFS的性质
- 1. 周期性性质
- 2.线性性质
- 3.时域移位
- 4.频域移位
- 5.时间翻转
- 6.时域卷积
- 7.频域卷积
总结

前言

按照傅里叶发展的历史，最先出现的傅里叶公式是傅里叶级数，只不过由于通用性以及核心理论先介绍了DTFT，它描述的是一个连续的频谱，描述了信号在整个频率范围内的频率成分。

对于本章内容离散傅里叶级数DFS，它描述的是离散的频谱，频率成分在周期上重复，本文将深入解析DFS的公式，并对IDFS进行推导，最后会对DFS的性质结合图像进行介绍。

|版本声明：山河君，未经博主允许，禁止转载

一、傅里叶级数

1.定义

傅里叶级数简称为FS，是由法国数学家傅里叶为了进行热解析提出来的——周期信号表示为不同频率的正弦和余弦波的和。它能够将一个复杂的周期函数分解为一系列简单的正弦和余弦函数，从而实现信号的频域分析。

2.周期信号序列

离散周期序列指的是时间域上以固定周期重复出现的离散信号，使用 $\tilde{x}[n]$ 表示，即：
$\tilde{x}[n]=\tilde{x}[n+rT],\quad r\in Z$
如下图， $T = 10$ 的周期序列
在这里插入图片描述

3.表达式

DFS

$\tilde{X}[k]=\sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[n]$

IDFS

$\tilde{x}[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{j(\frac{2\pi kn}{N})}\tilde{X}[k]$

参数含义

~:表示为周期序列
$\tilde{X}[k]$ : 是信号在频域中的分量（傅里叶系数）
$\tilde{x}[n]$ :是时间域中的周期离散信号
$N$ :是序列周期
$k$ :表示频率索引
$e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}$ :复指数，表示信号的频率分量

4.DFS公式解析

1）右边解析

和上一篇解析DTFT一样，我们先解析DFS右边，在此之前，如果对于复指数序列和正交不太理解的同学，还是需要先看音频进阶学习九——离散时间傅里叶变换DTFT这篇文章，里面有对于为什么需要把序列转换成复指数序列的详细解释。
$\sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[n]$

$T$ 、 $f$ 、 $\omega$ 的关系

我们来梳理一下周期、频率和角频率的关系

频率：指的是某个周期性事件在单位时间内发生的次数， $f=\frac{1}{T}$
周期：是一个周期性信号或事件完成一次完整波动所需的时间， $T=\frac{1}{f}$
角频率：表示波动或振动的“速率”，即信号的变化速度， $\omega = 2\pi f=\frac{2\pi}{T}$

求和公式N的释义

上文中提到 $N$ 是序列周期，并且根据DFS公式也很容易看出来，对于序列的求和范围 $\in [N-1]$ ，也就是序列的长度为 $N$ 。

从 $T$ 、 $f$ 、 $\omega$ 的关系，我们得到 $\omega = 2\pi f=\frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{N}$ ，也就是该周期序列的基波（一个波形的最低频率，是波形的基本振动频率）为 $\frac{2\pi}{N}$ 。

求和公式K的释义

对于DFS来说，一个周期序列分解为不同频率的正弦和余弦波的和，从上文中 $N$ 的作用我们首先得到了基波的频率，那么其他频率怎么来表示呢？我们知道对于谐波是基频的整数倍频率，例如2倍频（第二谐波）、3倍频（第三谐波）等，而谐波和基波组成了周期序列。

对于 $k$ 代表了频率索引，即：
$\frac{2\pi}{N}k，k\in[0,1,2,....,N-1]$

当 $k = 0$ 时，表示的是直波
当 $k = 1$ 时，表示的是基波（第一谐波）
当 $k = 2$ 时，表示的是第二谐波
当 $k = N /2$ 时，对应奈奎斯特频率（即采样定理）

此时我们得到了不同的 $\omega_0,\omega_1,\omega_2,...,\omega_N-1$ ，从这里也能看出，对于离散傅里叶级数，频域也是离散的。

$e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}$ 的释义

其实在音频进阶学习九——离散时间傅里叶变换DTFT文章中已经解释过了，这里再简单解释一遍：

对于欧拉公式将极坐标表示为复指数形式：
$e^{j\theta}=\cos(\theta)+j\sin(\theta)$
由此可以得到
$e^{-j\omega n}=>\cos(j\omega n)-jsin(\omega n)$
它表示的是随着 $n$ 的增长，以频率 $\omega$ 在一个单位圆上以顺时针方式进行周期震荡，可以根据之前文章中的图片进行理解。

$\sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[n]$ 的释义

而对于序列与复指数相乘，我们可以看作是序列 $\tilde{x}[n]$ 对于不同谐波上的正交，即求投影。根据欧拉公式的特性，我们可以看到公式
$\sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\omega_m-\omega_l)n}$
当 $\omega_m\neq \omega_l$ 时， $e^{j(\omega_m-\omega_l)n}$ 表示的是一个周期性复数，几何上表示在复平面上绕原点画圆，如同上文中对于 $e^{-j\omega n}$ 解释的图像，所以对于累加和 $\sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\omega_m-\omega_l)n}$ 为0。

也就是说对于 $e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})} \times \tilde{x}[n]$ ，如果 $\tilde{x}[n]$ 中间不包含特定的 $\frac{-2\pi kn}{N}$ (当 $N, k$ 确定时)的频率，那么对于 $\sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[n]$ ，求和为零。

2）左边解释

与DTFT相同，对于 $\tilde{X}[k]$ 同样包含了幅度与相位，这里也简单回顾一下之前的文章。

实部与虚部

我们知道对于欧拉公式：
$e^{j\theta}=\cos(\theta)+j\sin(\theta)$
它的实部表示了相位（两波之间的时间或空间偏移），虚部表示了幅度，对于DFS中:
$\tilde{X}[k]=\sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[n]\\ \tilde{X}[k]=\underbrace{\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]\cos(\frac{2\pi}{N}k)}_{Re(\tilde{X}[k])} - \underbrace{\sum_{n=0}^{N-1}j\tilde{x}[n]\sin(\frac{2\pi}{N}k)}_{Ie(\tilde{X}[k])}$

$Re(\tilde{X}[k])$ 是实部
$Im(\tilde{X}[k])$ 是虚部

幅度与相位

幅度：幅度是频谱中每个频率分量的强度或大小，实部和虚部的模长，可以得出该频率分量的幅度。使用 $|\tilde{X}[k]|$ 表示信号在频率 $\omega$ 处的能量强度或振幅
$|\tilde{X}[k]|=\sqrt{Re(\tilde{X}[k])^2+Im(\tilde{X}[k])^2}$
相位：相位是频谱中每个频率分量相对于其他频率分量的相位偏移，通过实部和虚部的比值，可以计算相位。使用 $\arg(\tilde{X}[k])或\angle(\tilde{X}[k])$ 表示：
$\angle(\tilde{X}[k])=\tan^{-1}\frac{Im(\tilde{X}[k])}{Re(\tilde{X}[k])}$

二、IDFS推导

离散傅里叶级数的逆公式（Inverse Discrete Fourier Series, IDFS）是将频域信息转换回时间域信号的过程。其推导过程是基于傅里叶变换的性质。其验证如下：

DFS
$\tilde{X}[k]=\sum_{m=0}^{N-1}e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[m]$
IDFS
$\tilde{x}[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{j(\frac{2\pi kn}{N})}\tilde{X}[k]$
将DFS代入IDFS
$\tilde{x}[n] =\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\Big(\sum_{m=0}^{N-1}e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[m]\Big)e^{j(\frac{2\pi kn}{N})}$
根据交换求和
$\tilde{x}[n] =\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}\tilde{x}[m]\sum_{k=0}^{N-1}e^{j\frac{2\pi k}{N}(n-m)}$
内层求和
$\sum_{k=0}^{N-1}e^{j\frac{2\pi k}{N}(n-m)}=\begin{cases} N, \quad n=m\\ 0,\quad n\neq m\end{cases}$
将内层求和替换进入
$\tilde{x}[n]=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}\tilde{x}[m]\times N \times \delta_{n,m}$
简化
$\tilde{x}[n]=\sum_{m=0}^{N-1}\tilde{x}[m]\delta(n-m)$

于是我们有一次得到了冲激分解公式，使用单位冲激序列表示的加权和。

三、DFS的性质

由于DFS和DTFT的相似性，在上一篇文章中音频进阶学习十——DTFT的条件、性质与举例，已经对于各种性质做了详细介绍，并且其推导公式很简单（如果感兴趣推导过程，可以看看北京航空航天大学王俊老师的课程），这里只做简单介绍。

1. 周期性性质

离散傅里叶级数的信号 $x [n]$ 是周期性的，周期为 $N$
其频域表示 $X [k]$ 也是周期性的，周期为 $N$ ，即：
$\tilde X[k]=\tilde X[k+N]$

2.线性性质

离散傅里叶级数具有线性性质，即如果信号 $x_1[n]$ 和 $x_2[n]$ 的傅里叶系数分别是 $X_1[k]$ 和 $X_2[k]$ ，那么任意常数倍的线性组合也满足傅里叶级数的线性性:
$\tilde x[n]=a\tilde x_1[n]+b\tilde x_2[n]\stackrel{DFS}{\longleftrightarrow}\tilde X[k]=a\tilde X_1[k]+b\tilde X_2[k]$
在这里插入图片描述

3.时域移位

幅度频不变，相位成线性变化
$\tilde x[n-n_d]\stackrel{DFS}{\longleftrightarrow}\tilde X[k]e^{-j\frac{2\pi k}{N}n_d}$
在这里插入图片描述

4.频域移位

频域的移位相当于时域乘上一个复指数序列
$\tilde x[n]e^{-j\frac{2\pi k}{N}l}\stackrel{DFS}{\longleftrightarrow}\tilde X[k-l]$
在这里插入图片描述

5.时间翻转

时域翻转，频域也会相应翻转，即幅度和相位也会翻转
$\tilde x[-n]\stackrel{DFS}{\longleftrightarrow}\tilde X[-k]$
在这里插入图片描述

6.时域卷积

时域卷积等于频域相乘，即 $*$ 代表卷积运算
$\tilde x[n] *\tilde h[n]\stackrel{DFS}{\longleftrightarrow}\tilde X[k]\times \tilde H[k]$
在这里插入图片描述

7.频域卷积

频域卷积等于时域相乘，即 $*$ 代表卷积运算
$\tilde x[n] \times \tilde w[n]\stackrel{DFS}{\longleftrightarrow} \frac{1}{N}\sum_{l=0}^{N-1}\tilde X[l]*\tilde W[k-l]$
在这里插入图片描述

总结

本篇文章中对于DFS的公式做了详细的介绍，相信对于DFS和IDFS公式的推导和使用有了一定的理解。同时本篇文章也将DFS的性质做了介绍。

DFS和DTFT有着一定的联系和区：对于DFS，它主要用于表示周期性离散时间信号，在频域上是离散的且为周期的，而对于DTFT，它表示非周期性离散时间信号的频谱，在频域上是连续的。也就是说DFS可以看作为 DTFT 在一个周期内的采样。

反正收藏也不会看，请帮忙点个赞吧！

音频进阶学习十一——离散傅里叶级数DFS

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