【无标题】堆

@[TOC](优先级队列（堆）)

【本节目标】

1. 掌握堆的概念及实现

2. 掌握 PriorityQueue 的使用

# 1. 优先级队列

## 1.1 概念

前面介绍过队列，**队列是一种先进先出(FIFO)的数据结构**，但有些情况下，**操作的数据可能带有优先级，一般出队列时，可能需要优先级高的元素先出队列**，该中场景下，使用队列显然不合适，比如：在手机上玩游戏的时候，如果有来电，那么系统应该优先处理打进来的电话；初中那会班主任排座位时可能会让成绩好的同学先挑座位。

在这种情况下，**数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象**。这种数据结构就是**优先级队列(Priority Queue)**。

# 2. 优先级队列的模拟实现

JDK1.8中的**PriorityQueue底层使用了堆这种数据结构**，而堆实际就是在完全二叉树的基础上进行了一些调整。

## 2.1 堆的概念

如果有一个**关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}**，把它的所有元素**按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中**，并满足：**Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2** (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2…，则**称为 小堆**(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

**堆的性质**：

+ 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

+ 堆总是一棵完全二叉树。


## 2.2 堆的存储方式

从堆的概念可知，**堆是一棵完全二叉树，因此可以层序的规则采用顺序的方式来高效存储**，


注意：对于**非完全二叉树，则不适合使用顺序方式进行存储**，因为为了能够还原二叉树，空间中必须要存储空节点，就会导致**空间利用率比较低**。


将元素存储到数组中后，可以根据二叉树章节的性质5对树进行还原。假设i为节点在数组中的下标，则有：

+ 如果i为0，则i表示的节点为根节点，否则i节点的双亲节点为 (i - 1)/2

+ 如果2 * i + 1 小于节点个数，则节点i的左孩子下标为2 * i + 1，否则没有左孩子

+ 如果2 * i + 2 小于节点个数，则节点i的右孩子下标为2 * i + 2，否则没有右孩子

## 2.3 堆的创建

### 2.3.1 堆向下调整

对于集合{ 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 }中的数据，如果将其创建成堆呢？


仔细观察上图后发现：**根节点的左右子树已经完全满足堆的性质，因此只需将根节点向下调整好即可**。

**向下过程(以小堆为例)**：

1. 让parent标记需要调整的节点，child标记parent的左孩子(注意：parent如果有孩子一定先是有左孩子)

2. 如果parent的左孩子存在，即:child < size， 进行以下操作，直到parent的左孩子不存在

+ parent右孩子是否存在，存在找到左右孩子中最小的孩子，让child进行标

+ 将parent与较小的孩子child比较，如果：

  + parent小于较小的孩子child，调整结束

  + 否则：交换parent与较小的孩子child，交换完成之后，parent中大的元素向下移动，可能导致子树不满足对的性质，因此需要继续向下调整，即parent = child；child = parent*2+1; 然后继续2。


 

大根堆：




小根堆代码：

```java

public void shiftDown(int[] array, int parent) {

 // child先标记parent的左孩子，因为parent可能右左没有右

 int child = 2 * parent + 1;

 int size = array.length;

 while (child < size) {

  // 如果右孩子存在，找到左右孩子中较小的孩子,用child进行标记

  if(child+1 < size && array[child+1] < array[child]){

   child += 1;

  }

  // 如果双亲比其最小的孩子还小，说明该结构已经满足堆的特性了

  if (array[parent] <= array[child]) {

   break;

  }else{

   // 将双亲与较小的孩子交换

   int t = array[parent];

   array[parent] = array[child];

   array[child] = t;

   // parent中大的元素往下移动，可能会造成子树不满足堆的性质，因此需要继续向下调整

   parent = child;

   child = parent * 2 + 1;

  }

 }

}

```

**注意：在调整以parent为根的二叉树时，必须要满足parent的左子树和右子树已经是堆了才可以向下调整。

时间复杂度分析**：

最坏的情况即图示的情况，**从根一路比较到叶子，比较的次数为完全二叉树的高度，即时间复杂度为O(log~2~ n）**

### 2.3.2 堆的创建

那对于普通的序列{ 1,5,3,8,7,6 }，即根节点的左右子树不满足堆的特性，又该如何调整呢？


参考代码：

```java

public static void createHeap(int[] array) {

 // 找倒数第一个非叶子节点，从该节点位置开始往前一直到根节点，遇到一个节点，应用向下调整

 int root = ((array.length-2)>>1);

 for (; root >= 0; root--) {

  shiftDown(array, root);

 }

}

```

### 2.3.3 建堆的时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：



因此：当我们采用向下调整去建堆的时候，建堆的时间复杂度为O(N)。

## 2.4 堆的插入与删除

### 2.4.1 堆的插入

堆的插入总共需要两个步骤：

1. 先将元素放入到底层空间中(注意：空间不够时需要扩容)

2. 将最后新插入的节点向上调整，直到满足堆的性质





```java

public void shiftUp(int child) {

 // 找到child的双亲

 int parent = (child - 1) / 2;

 while (child > 0) {

  // 如果双亲比孩子大，parent满足堆的性质，调整结束

  if (array[parent] > array[child]) {

   break;

  }

  else{

   // 将双亲与孩子节点进行交换

   int t = array[parent];

   array[parent] = array[child];

   array[child] = t;

   // 小的元素向下移动，可能到值子树不满足对的性质，因此需要继续向上调增

   child = parent;

   parent = (child - 1) / 1;

  }

 }

}

```

### 2.4.2 堆的删除

**注意：堆的删除一定删除的是堆顶元素**。具体如下：

1. 将堆顶元素对堆中最后一个元素交换

2. 将堆中有效数据个数减少一个

3. 对堆顶元素进行向下调整



## 2.5 用堆模拟实现优先级队列

```java

public class MyPriorityQueue {

 // 演示作用，不再考虑扩容部分的代码

 private int[] array = new int[100];

 private int size = 0;

 public void offer(int e) {

  array[size++] = e;

  shiftUp(size - 1);

 }

 public int poll() {

  int oldValue = array[0];

  array[0] = array[--size];

  shiftDown(0);

  return oldValue;

 }

 public int peek() {

  return array[0];

 }

}

```

**常见习题：**

>1. 下列关键字序列为堆的是:()

A: 100,60,70,50,32,65 B: 60,70,65,50,32,100 C: 65,100,70,32,50,60

D: 70,65,100,32,50,60 E: 32,50,100,70,65,60 F: 50,100,70,65,60,32

>2. 已知小根堆为8,15,10,21,34,16,12，删除关键字8之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次数是()

A: 1 B: 2 C: 3 D: 4

>3. 最小堆[0,3,2,5,7,4,6,8],在删除堆顶元素0之后，其结果是()

A: [3，2，5，7，4，6，8] B: [2，3，5，7，4，6，8]

C: [2，3，4，5，7，8，6] D: [2，3，4，5，6，7，8]

 

>[参考答案]

1.A 2.C 3.C

# 3.常用接口介绍

## 3.1 PriorityQueue的特性

Java集合框架中提供了**PriorityQueue**和**PriorityBlockingQueue**两种类型的优先级队列，**PriorityQueue是线程不安全的，PriorityBlockingQueue是线程安全的**，本文主要介绍PriorityQueue。


关于PriorityQueue的使用要注意：

1. 使用时必须导入PriorityQueue所在的包，即：

```java

import java.util.PriorityQueue;

```

2. PriorityQueue中放置的**元素必须要能够比较大小，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出ClassCastException异常**

3. **不能插入null对象，否则会抛出NullPointerException**

4. **没有容量限制，可以插入任意多个元素，其内部可以自动扩容**

5. **插入和删除元素的时间复杂度为O(log~2~N)**

6. **PriorityQueue底层使用了堆数据结构**

7. **PriorityQueue默认情况下是小堆**---即每次获取到的元素都是最小的元素

## 3.2 PriorityQueue常用接口介绍

1. 优先级队列的构造

此处只是列出了PriorityQueue中常见的几种构造方式，其他的学生们可以参考帮助文档


```java

static void TestPriorityQueue(){

 // 创建一个空的优先级队列，底层默认容量是11

 PriorityQueue<Integer> q1 = new PriorityQueue<>();

 // 创建一个空的优先级队列，底层的容量为initialCapacity

 PriorityQueue<Integer> q2 = new PriorityQueue<>(100);

 ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();

 list.add(4);

 list.add(3);

 list.add(2);

 list.add(1);

 // 用ArrayList对象来构造一个优先级队列的对象

 // q3中已经包含了三个元素

 PriorityQueue<Integer> q3 = new PriorityQueue<>(list);

 System.out.println(q3.size());

 System.out.println(q3.peek());

}

```

注意：默认情况下，PriorityQueue队列是小堆，如果需要大堆需要用户提供比较器

```java

// 用户自己定义的比较器：直接实现Comparator接口，然后重写该接口中的compare方法即可

class IntCmp implements Comparator<Integer>{

 @Override

 public int compare(Integer o1, Integer o2) {

  return o2-o1;

 }

}

public class TestPriorityQueue {

 public static void main(String[] args) {

  PriorityQueue<Integer> p = new PriorityQueue<>(new IntCmp());

  p.offer(4);

  p.offer(3);

  p.offer(2);

  p.offer(1);

  p.offer(5);

  System.out.println(p.peek());

 }

}

```

此时创建出来的就是一个大堆。

 

2. 插入/删除/获取优先级最高的元素


```java

static void TestPriorityQueue2(){

 int[] arr = {4,1,9,2,8,0,7,3,6,5};

 // 一般在创建优先级队列对象时，如果知道元素个数，建议就直接将底层容量给好

 // 否则在插入时需要不多的扩容

 // 扩容机制：开辟更大的空间，拷贝元素，这样效率会比较低

 PriorityQueue<Integer> q = new PriorityQueue<>(arr.length);

 for (int e: arr) {

  q.offer(e);

 }

 System.out.println(q.size()); // 打印优先级队列中有效元素个数

 System.out.println(q.peek()); // 获取优先级最高的元素

 // 从优先级队列中删除两个元素之和，再次获取优先级最高的元素

 q.poll();

 q.poll();

 System.out.println(q.size()); // 打印优先级队列中有效元素个数

 System.out.println(q.peek()); // 获取优先级最高的元素

 q.offer(0);

 System.out.println(q.peek()); // 获取优先级最高的元素

 // 将优先级队列中的有效元素删除掉，检测其是否为空

 q.clear();

 if(q.isEmpty()){

  System.out.println("优先级队列已经为空!!!");

 }

 else{

  System.out.println("优先级队列不为空");

 }

}

```

注意：以下是JDK 1.8中，PriorityQueue的扩容方式：

 

```java

private static final int MAX_ARRAY_SIZE = Integer.MAX_VALUE - 8;

private void grow(int minCapacity) {

 int oldCapacity = queue.length;

 // Double size if small; else grow by 50%

 int newCapacity = oldCapacity + ((oldCapacity < 64) ?

 (oldCapacity + 2) :

 (oldCapacity >> 1));

 // overflow-conscious code

 if (newCapacity - MAX_ARRAY_SIZE > 0)

 newCapacity = hugeCapacity(minCapacity);

 queue = Arrays.copyOf(queue, newCapacity);

}

private static int hugeCapacity(int minCapacity) {

 if (minCapacity < 0) // overflow

 throw new OutOfMemoryError();

 return (minCapacity > MAX_ARRAY_SIZE) ?

 Integer.MAX_VALUE :

 MAX_ARRAY_SIZE;

}

```

优先级队列的扩容说明：

+ 如果容量小于64时，是按照oldCapacity的2倍方式扩容的

+ 如果容量大于等于64，是按照oldCapacity的1.5倍方式扩容的

+ 如果容量超过MAX_ARRAY_SIZE，按照MAX_ARRAY_SIZE来进行扩容

## 3.3 oj练习

top-k问题：最大或者最小的前k个数据。比如：世界前500强公司

[top-k问题：最小的K个数](https://leetcode.cn/problems/smallest-k-lcci/description/)

```java

class Solution {

 public int[] smallestK(int[] arr, int k) {

  // 参数检测

  if(null == arr || k <= 0)

  return new int[0];

  PriorityQueue<Integer> q = new PriorityQueue<>(arr.length);

  // 将数组中的元素依次放到堆中

  for(int i = 0; i < arr.length; ++i){

   q.offer(arr[i]);

  }

  // 将优先级队列的前k个元素放到数组中

  int[] ret = new int[k];

  for(int i = 0; i < k; ++i){

   ret[i] = q.poll();

  }

  return ret;

 }

}

```

该解法只是PriorityQueue的简单使用，并不是topK最好的做法，那topk该如何实现？下面介绍：

# 4. 堆的应用

## 4.1 PriorityQueue的实现

用堆作为底层结构封装优先级队列

## 4.2 堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆

升序：建大堆

降序：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序

建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。