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机器学习9-卷积和卷积核2

news 来源：原创 2025/7/3 16:09:58

机器学习9-卷积和卷积核2

卷积与边缘提取
- 边缘的种类
- 边缘检测
- - 图像求导
  - - 解析
    - 示例
  - 图像求导公式：
  - - 解析
    - 总结
  - 图像梯度
  - - 噪声的影响
- 边缘检测目标
- - 非极大值抑制
  - 总结

卷积与边缘提取

边缘：图像中亮度明显而急剧变化的点

为什么要研究边缘？

编码图像中的语义与形状信息。
相对于像素表示边缘显然更加紧凑。

在这里插入图片描述

边缘的种类

在这里插入图片描述

图中展示了视觉边缘的几种类型，分别是：

表面法向不连续：这种边缘通常出现在物体表面方向发生突然变化的地方，例如瓶子的侧面与顶部的交界处。
深度不连续：这种边缘表示物体在深度方向上的突然变化，例如一个物体在另一个物体前面或后面。
表面颜色不连续：这种边缘出现在物体表面颜色发生突然变化的地方，例如瓶子上不同颜色的标签或图案。
光照不连续：这种边缘是由于光照条件的突然变化导致的，例如光线在物体表面的反射或阴影的边缘。

这些视觉边缘类型在计算机视觉和图像处理中非常重要，用于识别和分析图像中的物体及其结构。

边缘检测

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图像求导

二维函数(f(x,y))的偏导数的定义式：

[ $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{f(x + \varepsilon,y) - f(x,y)}{\varepsilon}$ ]

解析

偏导数的定义
- 对于一个多元函数（这里是二维函数( $f (x, y)$ )），偏导数表示函数在某一点沿着某一坐标轴方向的变化率。
- 对于( $x$ )方向的偏导数( $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ )，它衡量了函数( $f (x, y)$ )在( $x$ )轴方向上的变化情况，而( $y$ )被视为常数。
极限的意义
- 偏导数的定义中使用了极限。这里的( $\varepsilon$ )是一个趋近于0的变量。
- 当( $\varepsilon$ )趋近于0时，( $\frac{f(x + \varepsilon,y) - f(x,y)}{\varepsilon}$ )表示函数在( $x$ )方向上的平均变化率。极限( $\lim_{\varepsilon \to 0}$ )则表示当这个平均变化率在( $\varepsilon$ )无限趋近于0时的精确变化率，即偏导数。
几何意义
- 在二维平面上，( $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ )可以理解为函数( $f (x, y)$ )在( $x$ )方向上的斜率。
- 例如，如果( $f (x, y)$ )表示一个曲面，那么( $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ )在某一点的值就是该点处曲面在( $x$ )方向上的切线斜率。

示例

假设( $f(x,y) = x^2 + y^2$ )，求( $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ )：

根据定义，( $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{f(x + \varepsilon,y) - f(x,y)}{\varepsilon}$ )。
代入( $f(x,y) = x^2 + y^2$ )：
- ( $\varepsilon,y) = (x + \varepsilon)^2 + y^2 = x^2 + 2x\varepsilon + \varepsilon^2 + y^2$ )。
- ( $f(x,y) = x^2 + y^2$ )。
计算差值：
- ( $\varepsilon,y) - f(x,y) = (x^2 + 2x\varepsilon + \varepsilon^2 + y^2) - (x^2 + y^2) = 2x\varepsilon + \varepsilon^2$ )。
除以( $\varepsilon$ )：
- ( $\frac{f(x + \varepsilon,y) - f(x,y)}{\varepsilon} = \frac{2x\varepsilon + \varepsilon^2}{\varepsilon} = 2x + \varepsilon$ )。
取极限：
- ( $\lim_{\varepsilon \to 0} (2x + \varepsilon) = 2x$ )。

所以，对于( $f(x,y) = x^2 + y^2$ )，( $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 2x$ )。

图像求导公式：

[ $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \approx \frac{f(x + 1,y) - f(x,y)}{1}$ ]

解析

公式含义
- 这个公式是一个近似计算图像在 ( $x$ ) 方向上的偏导数的方法。
- 这里的 ( $f (x, y)$ ) 表示图像在坐标 ( $(x, y)$ ) 处的像素值。
- 公式中的 ( $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ ) 表示图像在 ( $x$ ) 方向上的偏导数，即在 ( $x$ ) 方向上像素值的变化率。
- 公式右侧的 ( $\frac{f(x + 1,y) - f(x,y)}{1}$ ) 是一个差分运算，用来近似计算偏导数。具体来说，它计算了在 ( $x$ ) 方向上相邻两个像素（( $x$ ) 和 ( $x + 1$ )）的像素值之差。
近似原理
- 在连续函数中，导数是通过极限定义的，即 ( $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{f(x + \varepsilon,y) - f(x,y)}{\varepsilon}$ )。
- 在离散的图像数据中，我们无法取极限，因此采用一个较小的增量（这里是 ( $1$ )）来近似计算导数。这种方法称为差分近似。
应用场景
- 这种图像求导公式在图像处理中非常常见，例如在边缘检测、图像锐化等操作中。
- 通过计算图像的偏导数，可以找到图像中像素值变化剧烈的地方，这些地方通常对应于图像的边缘。

总结

这个公式提供了一种简单有效的方法来近似计算图像在 (x) 方向上的偏导数，通过相邻像素值的差来估计像素值的变化率，常用于图像处理中的各种操作。

使用卷积核进行求导：
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图像梯度

图像的梯度就是图像两个方向导数组成的向量。梯度指向灰度变换最快的方向。

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噪声的影响

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如图所示。直接对函数fx求导。得到的求导结果会很混乱。解决方法就是先平滑。

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经过三次卷积之后得到最终的求导结果。因为卷积有交换和结合律。可以交换卷积顺序来减少运算量。

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高斯一阶偏导核进行边缘提取首先做了平滑，后做了去噪。

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调整高斯一阶偏导核的方差大小，可以关注图像中不同的目标特征。方差越小特征越细腻，反之则反。

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高斯核

消除高频成分（低通滤波器）
卷积核中的权值不可为负数
权值总和为（恒定区域不受卷积影响）

高斯一阶偏导核

高斯的导数
卷积核中的权值可以为负
权值总和是0 (恒定区域无响应）
高对比度点的响应值大

边缘检测目标

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经过高斯一阶偏导核卷积后的到如下图片
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非极大值抑制

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此像素与梯度方向上前后像素进行对比，此像素比前后像素任何一个像素的梯度强度小就删掉此像素点，这种方式就是非极大值抑制方式。这样就保留了梯度最强的一个点。

在处理的过程中，肯定会存在噪声，会设一个门限过滤一些噪点。如图所示，门限设的过高或过低都会影响最终的目标。采用采用双阈值的方式来解决这个问题。
先用高阈值，将梯度比较大的边缘留下来，然后用低阈值找出边缘，保留与高阈值边缘有连接关系的低阈值边缘。最终得到想要的目标图像。

总结

1．_用高斯一阶偏导核卷积图像
2. 计算每个点的梯度幅值和方向
3.非极大值抑制：

将宽的“边缘”细化至单个像素宽度

4.连接与國值（滞后）：

定义两个阈值：低和高
使用高阈值开始边缘曲线,使用低阀值继续边缘曲线

机器学习9-卷积和卷积核2

卷积与边缘提取

边缘的种类

边缘检测

图像求导

解析

示例

图像求导公式：

解析

总结

图像梯度

噪声的影响

边缘检测目标

非极大值抑制

总结

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