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二叉树：堆的建立和应用

news 来源：原创 2025/7/15 12:46:29

在建立堆之前，我们要知道什么是树和二叉树

树

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>0）个结点组成的一个具有层次关系的集合，之所以把它叫做树，是因为它长得像一棵倒挂的树，也就是根在上面，叶子在下面

树形结构

树形结构的特性：

1、树里面有一个特殊的结点，叫做根结点，它没有前驱结点

2、除了根结点以外的结点又分为m（m>0）个集合，其中每一个集合又是一棵与树结构类似的子树，而且每棵子树的根结点都有一个且只有一个前驱结点，但可以有多个或0个后继结点

3、在树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

4、除了根结点，每个结点有且只有一个父结点

5、一棵n个结点的树有n-1条边

下面是一些与树相关的术语

⽗结点/双亲结点：若⼀个结点含有⼦结点，则这个结点称为其⼦结点的⽗结点

⼦结点/孩⼦结点：⼀个结点含有的⼦树的根结点称为该结点的⼦结点；

结点的度：⼀个结点有⼏个孩⼦，他的度就是多少；

树的度：⼀棵树中，最⼤的结点的度称为树的度；

叶⼦结点/终端结点：度为 0 的结点称为叶结点；

分⽀结点/⾮终端结点：度不为 0 的结点；

兄弟结点：具有相同⽗结点的结点互称为兄弟结点(亲兄弟)；

结点的层次：从根开始定义起，根为第 1 层，根的⼦结点为第 2 层，以此类推；

树的⾼度或深度：树中结点的最⼤层次；

结点的祖先：从根到该结点所经分⽀上的所有结点；

路径：⼀条从树中任意节点出发，沿⽗节点-⼦节点连接，达到任意节点的序列；

⼦孙：以某结点为根的⼦树中任⼀结点都称为该结点的⼦孙；

森林：由 m （ m>0 ）棵互不相交的树的集合称为森林；

非树形结构

树的表示

树的结构相比于线性表要复杂点，存储起来也会比较麻烦，又要保存值，又要保存结点与结点之间的关系

在这里我们用一种比较常用的表示方法：孩子兄弟表示法

struct TreeNode
{struct Node* child; // 左边开始的第⼀个孩⼦结点struct Node* brother; // 指向其右边的下⼀个兄弟结点int data; // 结点中的数据域
};

树形结构实际运用场景

⽂件系统是计算机存储和管理⽂件的⼀种⽅式，它利⽤树形结构来组织和管理⽂件和⽂件夹。在⽂件系统中，树结构被⼴泛应⽤，它通过⽗结点和⼦结点之间的关系来表⽰不同层级的⽂件和⽂件夹之间的关联。

二叉树

在树形结构中我们最常用的就是二叉树，一棵二叉树是结点的一个有限集合，这个集合是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的二叉树组成

二叉树的特点

1、二叉树不存在度大于2的结点；

2、二叉树的子树有左右之分，顺序不能颠倒，所以二叉树是一棵有序树

当然二叉树的结构不单单就上面一种情况

现实中也存在这种结构的树

特殊的二叉树：满二叉树、完全二叉树

满二叉树：一棵二叉树，如果每一层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树

比如一棵二叉树的层数为h，且它的结点总数是2^k-1,则它就是满二叉树

完全二叉树：完全二叉树就是除了最后一层，其他层数的结点数都达到最大的一种二叉树，满二叉树是一种特殊的完全二叉树，完全二叉树是一种效率很高的数据结构

二叉树的特性

1、当根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第h层上最多有2^(h-1)个结点

2、当根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的总结点数为2^h-1；

3、当根结点的层数为1，结点数为n的满二叉树的深度h=log2（n+1）（以2为底，n+1为对数）

二叉树的存储结构

二叉树可以使用两种结构存储：顺序存储、链式存储

我们在这里主要讲解二叉树的顺序结构存储，在前面数据结构的学习中我们得知顺序结构是使用数组来存储，而完全二叉树十分适用于顺序结构存储，因为这样不会有空间的浪费

而如果其他的二叉树使用顺序结构存储，就会造成空间的浪费

在数据结构中，我们通常把堆（一种二叉树）使用顺序结构的数组来存储，但要注意的是这里堆和操作系统中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中内存管理内存的一块区域分段

堆

概念

堆是一种特殊的二叉树，具有二叉树的特性的同时，还具备一些特性：堆分为大堆/大根堆、小堆/小根堆；我们把根结点最大的堆叫做大堆/大根堆；把根结点最小的堆叫做小堆/小根堆

堆的特性

1、结点下标为i（i>0）的父结点下标为：(i-1)/2,i=0就表示为根结点，它没有父结点；

2、结点下标为i（i>0）的左孩子下标为：2*i+1；右孩子下标为：2*i+2,当它们的i下标超过总结点数，就不存在孩子结点

堆的实现

向上调整算法

堆的向上调整算法使用的前提是：在插入新元素之前，前面的元素就已经满足了堆的性质！！

它的本质思想（建小堆）：

1、将新元素插入到叶子节点；

2、与它的父结点进行比较，如果小于父结点的值，就交换；

3、把原本父结点下标当作子结点，在进行步骤2，与现在下标的父结点进行比较，重复该步骤

结束条件：结点到达根结点位置或者提前调整到合适的位置，满足了堆的特性

void Swap(int* x, int* y)
{int temp = *x;*x = *y;*y = temp;
}//向上调整算法
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{assert(a);int parent = (child - 1) / 2;while (child>0){if (a[child] < a[parent])//建小堆{Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}

向下调整算法

向下调整算法的前提是左右子树都符合堆的条件

它的本质思想（建小堆）：

1、从根结点开始，与它的左右结点中较小的进行比较，如果小于子结点的值就交换值；

注：要考虑两个子结点的大小的比较，而且右孩子结点的下标不能大于总结点数

2、交换后的子结点作为父结点重复上面步骤

直到孩子结点下标大于或等于总结点数

//向下调整算法
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{assert(a);int child = parent * 2 + 1;while (child<n){if (child+1 < n && a[child] > a[child + 1])//先找孩子结点{child++;}if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}

结构

堆是使用顺序结构存储的，所以它的结构和顺序表的结构相同

typedef int HPDataType;typedef struct Heap 
{HPDataType* arr;int size;int capacity;
}HP;

初始化和销毁

初始化和销毁也和顺序表一样

//初始化
void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->arr = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}//销毁
void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);if (php->arr){free(php->arr);}php->arr = NULL;php->capacity = php->size = 0;
}

插入

堆的插入是将数据插入到数组的尾部，然后再进行调整，使它满足堆的特性（大堆或小堆）

//堆的插⼊
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);if (php->size == php->capacity){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;HPDataType* temp=(HPDataType*)realloc(php->arr, sizeof(HPDataType) * newcapacity);if (temp == NULL){perror("realloc fail!\n");exit(1);}php->arr = temp;php->capacity = newcapacity;}php->arr[php->size] = x;AdjustUp(php->arr, php->size);php->size++;
}

所以，堆的插入就分为两步：先插入，再调整

删除

堆的删除是删除堆顶的数据，将堆顶的数据和最后一个结点的数据交换，这时堆顶数据就到了数组的尾部，直接删除数组的最后一个数据就行，删完了以后，就需要将现在的二叉树调整为堆结构

// 判空
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}
//堆的删除
void HPPop(HP* php)
{assert(php);assert(!HPEmpty(php));Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size-1]);php->size--;AdjustDown(php->arr, php->size, 0);
}

取堆顶元素和堆的数据个数

// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* php)
{assert(php);assert(!HeapEmpty(php));return php->arr[0];
}// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* php)
{assert(php);return php->size;
}

堆的应用

堆排序

堆排序是借助堆的算法思想，而不是直接使用堆的数据结构来实现

堆排序的时间复杂度为：O(nlogn)

堆排序的实现思想：

1、先将传入的数组建成堆（升序建大堆，降序建小堆）；

2、交换堆顶元素和堆尾元素；

3、对数组进行向下调整，使其保持堆的特性；

4、重复2和3的步骤，直到要调整的元素为1时结束，排序完成

在这里演示一个堆排序实现降序

这里的end一开始就为最后一个元素的下标，也是要调整元素个数，每次调整后要减减，也就是往前移

向下调整算法需要调整的就是元素的个数，所以是先调整，再end--

代码为

#include"HeapSort.h"void HeapSortUp(int* arr,int n)//向上调整算法建堆:时间复杂度O(nlogn)
{//排升序建大堆//排降序建小堆//先建堆for (int i = 0; i < n; ++i)//这里建的堆是大堆{AdJustUp(arr, i);}//再排序int end = n - 1;while (end > 0){Swap(&arr[0], &arr[end]);//交换堆顶和尾结点AdJustDown(arr, 0, end);end--;}}
void HeapSortDown(int* arr, int n)//向下调整算法建堆:时间复杂度O(n)
{//排升序建大堆//排降序建小堆//先建堆for (int i = (n - 1 - 1)/2; i >=0; i--){AdJustDown(arr, i, n);}//再排序int end = n - 1;while (end > 0){Swap(&arr[0], &arr[end]);//交换堆顶和尾结点AdJustDown(arr, 0, end);end--;}}void test()
{int arr[] = { 6,3,11,9,16,17 };int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);//HeapSortUp(arr, n);HeapSortDown(arr, n);for (int i = 0; i < n; ++i){printf("%d ", arr[i]);}}int main()
{test();return 0;
}

在我写的堆排序有两种建堆方法，那哪一种建堆更加高效呢？

来让我们探究它们的复杂度

向上调整算法建堆

由该推算可得向上调整算法建堆的时间复杂度为O(nlogn)

根据图所示可知：

随着结点个数的逐渐增多，结点向上调整的次数也逐渐增多

向下调整算法建堆

由该推算可得向下调整算法建堆的时间复杂度为O(n)

根据图所示可知：

随着结点个数的逐渐增多，结点向下调整的次数也逐渐减少

ss所以在堆排序中最好使用向下调整算法建堆！！！

TOP-K问题

TOP-K问题是指在一堆数据中求前K个最大元素或最小元素，而一般情况下都是在数据量很大的情况下求解的一类问题

题目类型由：专业前10名、世界前500强、游戏中100的活跃玩家等

对于这类型的问题，能想到最简单的解法就是排序，但是在数据量很大的情况下，排序就不能实现不了，因为数据可能无法同时都存储在内存中

最佳的解决方法就是使用堆来解决

思路就是：

1、取N个数据的前K个元素，建堆（求前K个最大元素，建小堆；求前K个最小值，建大堆）

2、用剩余N-K个元素依次和堆顶元素进行比较，

求前K个最大元素：如果大于堆顶元素就和堆顶元素交换（也就是入堆）；

求前K个最小元素：如果大于堆顶元素就和堆顶元素交换（也就是入堆），

然后再将这K个元素进行调整使它们保持为堆

当N-K个元素比完了，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最大元素或最大元素

代码为：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"HeapSort.h"void CreateNDate()
{// 造数据int n = 100000;srand(time(0));const char* file = "data.txt";FILE* fin = fopen(file, "w");if (fin == NULL){perror("fopen error");return;}for (int i = 0; i < n; ++i){int x = (rand() + i) % 1000000;fprintf(fin, "%d\n", x);}fclose(fin);
}void TopK()
{int k = 0;printf("请输入K：");scanf("%d", &k);const char* file = "data.txt";FILE* fout = fopen(file, "r");if (fout == NULL){perror("fopen error");exit(1);}//找最小的前K个数，建大堆int* minHeap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);if (minHeap == NULL){perror("malloc fail!");exit(2);}//读取文件中前K个数据建堆for (int i = 0; i < k; i++){fscanf(fout, "%d", &minHeap[i]);}//建堆for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdJustDown(minHeap, i, k);}//遍历剩下的n-k个数据，跟堆顶比较，谁小谁入堆//调整堆int x = 0;while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF){if (x < minHeap[0]){minHeap[0] = x;AdJustDown(minHeap, 0, k);}}for (int i = 0; i < k; i++){printf("%d ", minHeap[i]);}fclose(fout);fout = NULL;
}int main()
{TopK();//CreateNDate();return 0;
}

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行为型模式-状态模式

状态模式（State Pattern）是行为型设计模式之一，用于允许一个对象在其内部状态改变时改变其行为。状态模式可以有效避免在对象中使用大量的条件语句，通过将状态的逻辑转移到独立的状态类中，实现状态与行为的分离。核心…...

编程日记 2025/7/13 7:19:49

字节跳动青训营刷题笔记19

问题描述小R正在组织一个比赛，比赛中有 n 支队伍参赛。比赛遵循以下独特的赛制： 如果当前队伍数为偶数，那么每支队伍都会与另一支队伍配对。总共进行 n / 2 场比赛，且产生 n / 2 支队伍进入下一轮。如果当前队伍数为奇数&…...

编程日记 2025/7/15 8:42:17

【MATLAB源码-第225期】基于matlab的计算器GUI设计仿真，能够实现基础运算，三角函数以及幂运算。

操作环境： MATLAB 2022a 1、算法描述界面布局计算器界面的主要元素分为几大部分：显示屏、功能按钮、数字按钮和操作符按钮。显示屏显示屏（Edit Text）：位于界面顶部中央，用于显示用户输入的表达式和…...

编程日记 2025/7/14 1:54:52

C++学习日记---第14天(蓝桥杯备赛)

笔记复习 1.对象的初始化和清理对象的初始化和清理是两个非常重要的安全问题，一个对象或者变量没有初始状态，对其使用后果是未知，同样的使用完一个对象或者变量，没有及时清理，也会造成一定的安全问题构造函数&…...

编程日记 2025/7/13 8:56:26

windows C#-定义和读取自定义特性

使用特性，可以声明的方式将信息与代码相关联。特性还可以提供能够应用于各种目标的可重用元素。考虑 ObsoleteAttribute。它可以应用于类、结构、方法、构造函数等。用于声明元素已过时。然后，由 C# 编译器负责查找此特性，并执行某响应操…...

编程日记 2025/7/15 5:45:35

一个vue项目如何运行在docker

将 Vue.js 应用程序通过 Docker 发布是一个非常常见的做法，它可以帮助你轻松地部署应用到不同的环境中。下面是一个简单的指南，介绍如何为 Vue.js 项目创建 Dockerfile 并进行构建和运行。第一步：安装 Docker 确保你的开发机器上已经安装了…...

编程日记 2025/7/13 10:37:48

重读《人月神话》（15）-祸起萧墙（Hatching a Catastrophe

增加更多的人手到一个已经延期的项目中往往不会加快项目的进度，反而可能使情况变得更糟。项目进度的细微延迟往往难以察觉，但它们却能悄无声息地累积起来，最终对整个项目的完成时间造成重大影响。昨天，一位关键成员因突发疾病未…...

编程日记 2025/7/14 17:11:30

【大数据学习 | Spark-Core】广播变量和累加器

1. 共享变量 Spark两种共享变量：广播变量（broadcast variable）与累加器（accumulator）。累加器用来对信息进行聚合，相当于mapreduce中的counter；而广播变量用来高效分发较大的对象&#xff0c…...

编程日记 2025/7/14 21:29:52

C/C++基础知识复习（30）

1) 什么是 C 中的 Lambda 表达式？它的作用是什么？ Lambda 表达式： 在 C 中，Lambda 表达式是一种可以定义匿名函数的机制，可以在代码中快速创建一个内联的函数对象，而不需要显式地定义一个函数。Lambda 表…...

编程日记 2025/7/11 18:15:03

【Spring MVC】如何获取cookie/session以及响应@RestController的理解，Header的设置

前言 🌟🌟本期讲解关于SpringMVC的编程之参数传递~~~ 🌈感兴趣的小伙伴看一看小编主页：GGBondlctrl-CSDN博客 🔥 你的点赞就是小编不断更新的最大动力 🎆那么废…...

编程日记 2025/7/14 5:21:05

Could not locate device support files.

报错信息：Failure Reason: The device may be running a version of iOS (13.6.1 17G80) that is not supported by this version of Xcode.[missing string: 869a8e318f07f3e2f42e11d435502286094f76de] 问题：xcode15升级到xcode16之后，13.…...

编程日记 2025/7/14 5:45:23

Kafka日志索引详解以及生产常见问题分析与总结

文章目录一、Kafka的Log日志梳理1.1、Topic下的消息如何存储1.1.1、log文件追加记录所有消息1.1.2、index和timeindex加速读取log消息日志 1.2、文件清理机制1.2.1、如何判断哪些日志文件过期了1.2.2、过期的日志文件如何处理 1.3、Kafka的文件高效读写机制1.3.1、Kafka的文件…...

编程日记 2025/7/9 16:36:10

Qt中QGraphics绘图类相关解释

Item(图元)坐标系、Scene(场景)坐标系、View(视图)坐标系，三者均为：x轴正方向向右，y轴正方向向下 1、Item(图元)：坐标属于局部坐标，通常以图元中心为原点(中心对称)。场景坐标系统描述了顶层的图元，每个图…...

编程日记 2025/7/13 7:51:17

@Pattern （用于校验字符串是否符合特定正则表达式）

Pattern 是一个用于校验字符串是否符合特定正则表达式的注解，它在 Java 中常用于验证输入数据的格式。以下是 Pattern 注解的详解和使用方法： 含义 Pattern 注解用于在 Java 中对字段进行注解，以确保其值与指定的正则表达式匹配。这个注解可…...

编程日记 2025/7/12 20:30:09

树