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【Petri网导论学习笔记】Petri网导论入门学习（十） —— 3.2 关联矩阵与状态方程

news 来源：原创 2025/7/15 12:55:27

3.2 关联矩阵与状态方程

正如 Petri 网的一个标识可以表示成一个 $ m $ 维非负整数向量一样，Petri 网的结构也可以用一个矩阵来表示。这样，就可以引入线性代数的方法对 Petri 网的性质进行分析。

定义 3.3 关联矩阵

设 $\Sigma = (S, T; F, M)$ 为一个 Petri 网， $\{s_1, s_2, \ldots, s_m\}$ ， $\{t_1, t_2, \ldots, t_n\}$ ，则 Petri 网 $\Sigma$ 的结构 $(S, T; F)$ 可以用一个 $n$ 行 $m$ 列矩阵

$a_{ij}=a_{ij}^{+}-a_{ij}^{-},\quad i\in\{ 1,2,\cdots,n \}, j\in\{ 1,2,\cdots,m \}$

$a_{ij}^{+}=\left\{\begin{array}{ll}{1, \stackrel{.}{\textrm{若}}(t_{i},s_{j})\in F,}\\{0, \textrm{否则},}&{i\in\{ 1,2,\cdots,n \}, j\in\{ 1,2,\cdots,m \}}\\\end{array}\right.$

$\left.a_{ij}^{-}=\left\{\begin{array}{ll}{1, \text{若} (s_{j},t_{i})\in F,}\\{0, \text{否则},}&{i\in\{ 1,2,\cdots,n \}, j\in\{ 1,2,\cdots,m \}}\\\end{array}\right.\right.$

称 $A$ 为 $\Sigma$ （或网 $N = (S, T; F)$ ）的关联矩阵（incidence matrix）。

矩阵信息：行名是每个变迁，列名是每个库所，其中中间的值为当前需要消耗或者产生几个token

对 Petri 网的关联矩阵，不少文献采用另一种定义方式：把 $A$ 的转置矩阵定义为 $\Sigma$ 的关联矩阵，并记为 $C$ （见 [1, 6]）。也就是说一个有 $m$ 个库所和 $n$ 个变迁的 Petri 网的关联矩阵是一个 $\times n$ 行列 0/1 矩阵。

易知，在纯网范围内，关联矩阵和网结构之间存在着一一对应关系。这是因为对纯网来说，任一个变迁和任一个库所之间最多有一个弧，不会出现 $a^+_{ij}$ 和 $a^-_{ij}$ 相互抵消的情况。

今后我们用关联矩阵讨论 Petri 网的性质时，均假设所讨论的网为纯网。

为讨论方便，我们引入两个 $\times m$ 矩阵

$A^+ = [a^+_{ij}]_{n \times m}, \quad A^- = [a^-_{ij}]_{n \times m}$

并分别称它们为 $\Sigma$ 1（或网 $N = (S, T; F)$ ）的输出矩阵和输入矩阵。分别用 $A_{i*}$ , $A^+_{i*}$ 和 $A^-_{i*}$ 分别表示矩阵 $A$ , $A^+$ 和 $A^-$ 的第 $i$ 行形成的行向量，用 $A_{*j}$ , $A^+_{*j}$ 和 $A^-_{*j}$ 表示矩阵 $A$ , $A^+$ 和 $A^-$ 的第 $j$ 列形成的列向量。 $\Sigma$ 的标识 $M$ 仍用 $m$ 维非负整数向量来表示。不过在本节中，我们把 $M$ 表示成一个列向量，即

$[M(s_1), M(s_2), \ldots, M(s_m)]^T$

其中右上角的 T 为矩阵（向量）的转置。

+是输出，-是输入

i*表示第i行行向量

*j表示第j列列向量

$A^+ = [a^+_{ij}]_{n \times m}$ 表示整个图发生某一个变迁后他所需要增加token总信息表

$A^- = [a^-_{ij}]_{n \times m}$ 表示整个图发生某一个变迁后他所需要消耗的token总信息表

引理 3.4

设 $\Sigma = (S, T; F, M)$ 为一个 Petri 网， $A$ 为 $\Sigma$ 的关联矩阵， $t_i \in T$ ，则 $M[t_i \rangle$ 的充分必要条件是$ M \geq A^-_{i*} $

(3.12) 式是两个 $m$ 维向量的比较，它的含义是 $\geq a_{ij}, \, j=1, 2, \cdots, m$ 。

其中大于等于号表示只比较变迁i所需要消耗的，表明该状态token数不少于需要发生的 $t_i$ 所需要的token，所以可以发生

证明由定义 1.9 及本节关于 $A_{i*}$ 和 $M$ 的定义可得。 □

引理 3.5

设 $\Sigma = (S, T; F, M)$ 为一个 Petri 网， $A$ 为 $\Sigma$ 的关联矩阵。如果 $M[t_i > M'$

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3.2 关联矩阵与状态方程

定义 3.3 关联矩阵

引理 3.4

引理 3.5

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