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点云欧式聚类，条件欧式聚类算法原理及推导

news 来源：原创 2025/7/18 4:02:14

点云欧式聚类算法数学推导

点云欧式聚类（Euclidean Clustering for Point Clouds）是点云处理中常用的一种无监督聚类方法。它基于欧式距离将点云中的点划分为多个簇，常用于分割、目标检测等任务。以下是算法的数学推导和实现原理。

问题定义

给定一个点云数据集 ${p_1, p_2, \dots, p_N}$ ，每个点 $p_i$ 是 3D 空间中的点，具有坐标 $p_i = (x_i, y_i, z_i)$ 。目标是将这些点划分为 $K$ 个簇 ${C_1, C_2, \dots, C_K}$ ，使得：

同一个簇中的点彼此之间的欧式距离较小；
不同簇之间的点距离较远。

核心算法

点云欧式聚类通常使用 邻域搜索 和 区域生长 技术。其基本步骤如下：

1. 邻域搜索

点 $p_i$ 的邻域定义为欧式距离小于某阈值 $\epsilon$ 的点集：
$\mathcal{N}(p_i) = \{p_j \in P \mid \|p_i - p_j\| \leq \epsilon\},$
其中 $|\cdot|$ 表示欧式距离：
$\|p_i - p_j\| = \sqrt{(x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2 + (z_i - z_j)^2}.$

2. 聚类过程

使用区域生长法将点归为不同的簇：
1. 从点云中随机选择一个未分配的点 $p_i$ 作为种子点，初始化一个新簇 $C_k$ 。
2. 将种子点的邻域 $\mathcal{N}(p_i)$ 中的所有点加入簇 $C_k$ 。
3. 对每个新加入簇的点，继续搜索其邻域，重复步骤 2，直到没有符合条件的点。
4. 处理剩余未分配的点，直到所有点都被分配到某个簇或标记为噪声点。

3. 噪声点处理

如果某个点的邻域大小小于一个最小点数阈值 $n_{min}$ ，则将其标记为噪声点，不归属于任何簇。

目标函数

点云欧式聚类隐含地最小化了簇内点与簇中心的平均距离，并满足约束条件 $|p_i - p_j| \leq \epsilon$ ：
$\sum_{k=1}^K \sum_{p_i \in C_k} \|p_i - \mu_k\|^2,$
其中 $\mu_k$ 是簇 $C_k$ 的几何中心：
$\mu_k = \frac{1}{|C_k|} \sum_{p_i \in C_k} p_i.$
然而，点云欧式聚类的实现并不直接优化上述目标函数，而是基于邻域搜索和生长过程间接完成聚类。

算法伪代码

Input: 点云 P, 距离阈值 ε, 最小点数 n_min
Output: 聚类结果 C, 噪声点集合 N1. 初始化：C = {}, N = {}, 未访问点集 V = P
2. while V 非空:2.1 随机选择一个种子点 p_i ∈ V2.2 如果邻域点数 |𝒩(p_i)| < n_min:标记为噪声点，N = N ∪ {p_i}2.3 否则:初始化新簇 C_k = {}使用区域生长法将 p_i 和其邻域点加入 C_kC = C ∪ {C_k}2.4 从 V 中移除已分配的点
3. 返回 C 和 N

复杂度分析

邻域搜索：
- 基于 $k$ -d 树或其他空间分割数据结构，搜索单点邻域的复杂度为 $O(\log N)$ 。
聚类过程：
- 对每个点访问一次，总复杂度为 $\cdot \log N)$ 。

优缺点

优点

简单直观，直接基于几何距离。
对无规则点云分布效果较好。
可通过调整参数 $\epsilon$ 和 $n_{min}$ 控制聚类结果。

缺点

对参数敏感， $\epsilon$ 和 $n_{min}$ 需要根据点云密度调整。
对于稀疏或密度变化大的点云可能效果不佳。

实际应用

点云欧式聚类广泛应用于：

3D 点云分割：如分离不同物体表面。
目标检测与跟踪：在点云中检测独立目标。
场景重建：划分不同的地形、建筑或物体。

在实践中，常用工具如 PCL（Point Cloud Library） 提供了高效的点云欧式聚类实现，函数为 pcl::EuclideanClusterExtraction。

条件欧式聚类算法推导

条件欧式聚类（Conditioned Euclidean Clustering）在传统欧式距离聚类的基础上加入约束条件，解决了一些先验信息明确的问题。以下是算法的推导过程：

基础聚类模型

给定一个数据集 ${x_1, x_2, \dots, x_N}$ ，希望将其划分为 $K$ 个簇 ${C_1, C_2, \dots, C_K}$ ，使得每个簇的紧密性（Intra-Cluster Compactness）最小化：
$\sum_{k=1}^K \sum_{x_i \in C_k} \|x_i - \mu_k\|^2,$
其中：

$\mu_k$ 是簇 $C_k$ 的中心： $\mu_k = \frac{1}{|C_k|} \sum_{x_i \in C_k} x_i.$

条件约束引入

引入两种常见约束条件：

Must-Link Constraint:
- 如果 $x_i$ 和 $x_j$ 有必须链接关系，则它们必须属于同一个簇： $x_i \in C_k \iff x_j \in C_k.$
Cannot-Link Constraint:
- 如果 $x_i$ 和 $x_j$ 有不能链接关系，则它们必须属于不同的簇： $x_i \in C_k \implies x_j \notin C_k.$

为了考虑这些约束条件，可以引入一个惩罚项到目标函数中：
$\sum_{k=1}^K \sum_{x_i \in C_k} \|x_i - \mu_k\|^2 + \lambda \cdot P(C),$
其中：

$P (C)$ 是惩罚函数，定义为违反 Must-Link 和 Cannot-Link 条件的代价。
$\lambda$ 是权重因子，控制约束的重要性。

惩罚函数 $P (C)$ 定义：
$\sum_{\text{Must-Link}} \delta(x_i, x_j) + \sum_{\text{Cannot-Link}} (1 - \delta(x_i, x_j)),$
其中 $\delta(x_i, x_j) = 1$ 表示 $x_i$ 和 $x_j$ 属于同一簇，否则 $\delta(x_i, x_j) = 0$ 。

算法推导

1. 初始化

随机初始化 $K$ 个簇的中心点 $\mu_k$ 。
确定 Must-Link 和 Cannot-Link 的约束矩阵。

2. 分配数据点

对于每个数据点 $x_i$ ：

计算其到所有簇中心的距离：
$d_k(x_i) = \|x_i - \mu_k\|^2.$
考虑约束条件修正距离：
- 如果 Must-Link 约束要求 $x_i$ 和 $x_j$ 必须在同一簇，则将 $d_k(x_i)$ 加权调整，使 $x_i$ 更倾向于聚类到包含 $x_j$ 的簇。
- 如果 Cannot-Link 约束要求 $x_i$ 和 $x_j$ 不在同一簇，则对 $d_k(x_i)$ 增加惩罚，使其远离包含 $x_j$ 的簇。

修正公式为：
$\tilde{d}_k(x_i) = d_k(x_i) + \lambda \cdot \Delta_{constraints},$
其中 $\Delta_{constraints}$ 表示违反 Must-Link 或 Cannot-Link 的代价。

3. 更新聚类中心

更新每个簇的中心：
$\mu_k = \frac{1}{|C_k|} \sum_{x_i \in C_k} x_i.$

4. 迭代

重复步骤 2 和 3，直到满足以下条件之一：

聚类结果不再变化；
最大迭代次数达到。

实现注意事项

复杂度控制：
- 计算 Must-Link 和 Cannot-Link 的代价矩阵可能较耗时，需要优化数据结构或使用稀疏矩阵存储。
距离度量调整：
- 如果数据分布非球形，可以使用 Mahalanobis 距离或其他非欧式度量。
惩罚权重 $\lambda$ 的调节：
- 根据问题的实际需求，调整 $\lambda$ 的值以平衡距离优化与约束满足。

总结

条件欧式聚类通过引入先验约束条件，对传统的聚类方法进行改进，目标函数变为：
$\sum_{k=1}^K \sum_{x_i \in C_k} \|x_i - \mu_k\|^2 + \lambda \cdot P(C),$
有效结合了数据点的几何分布和先验关系，适用于需要结合规则优化的聚类问题。

具体案例

在条件聚类中，如果一个数据点 $x_i$ 与 $x_j$ 和 $x_k$ 存在 Must-Link 关系，但 $x_j$ 和 $x_k$ 与 $x_i$ 被分配到不同的簇，那么在计算 $x_i$ 的距离（如修正后的欧式距离 $\tilde{d}_k(x_i)$ ）时，需要根据 Must-Link 约束的违反程度对标准的欧式距离进行修正。

计算修正后的距离

修正距离的公式为：
$\tilde{d}_k(x_i) = d_k(x_i) + \lambda \cdot \Delta_{constraints},$
其中：

$d_k(x_i)$ ： $x_i$ 到簇 $C_k$ 的标准欧式距离；
$\Delta_{constraints}$ ：约束代价值（表示违反 Must-Link 和 Cannot-Link 的代价）；
$\lambda$ ：权重因子，决定约束代价的影响程度。

Must-Link 约束的违反代价

对于 Must-Link 约束 $x_i, x_j)$ 和 $x_i, x_k)$ ，如果 $x_j$ 和 $x_k$ 被分配到不同的簇：

如果 $x_i$ 不与 $x_j$ 或 $x_k$ 同簇，违反 Must-Link 的代价为：
$\Delta_{ML}(x_i, x_j) = 1, \quad \Delta_{ML}(x_i, x_k) = 1.$
总代价为 $\Delta_{ML} = \Delta_{ML}(x_i, x_j) + \Delta_{ML}(x_i, x_k) = 2$ 。
代价 $\Delta_{constraints}$ 仅累计与 $x_i$ 有 Must-Link 的点中实际违反约束的点。例如：
$\Delta_{constraints} = \sum_{(x_i, x_j) \in ML} \Delta_{ML}(x_i, x_j).$

修正距离的最终值

假设 $x_i$ 的标准欧式距离为 $d_k(x_i)$ ，修正后的距离为： $\tilde{d}_k(x_i) = d_k(x_i) + \lambda \cdot \Delta_{constraints}$ .
如果 Must-Link 约束全部被违反， $\Delta_{constraints}$ 将显著增大，使得 $x_i$ 不倾向于分配到当前的簇 $C_k$ 。

具体情况的示例

假设 $x_i$ 在一个二维空间内，标准欧式距离为：
$d_k(x_i) = \sqrt{(x_i^{(1)} - \mu_k^{(1)})^2 + (x_i^{(2)} - \mu_k^{(2)})^2},$
其中 $\mu_k$ 是簇 $C_k$ 的质心。

如果 $x_j$ 和 $x_k$ 必须与 $x_i$ 同簇，但 $x_j$ 和 $x_k$ 不在 $C_k$ 中，那么修正项为：
$\tilde{d}_k(x_i) = d_k(x_i) + \lambda \cdot 2,$
表示每违反一个 Must-Link 约束，距离增加一个固定量。

总结

在条件聚类中， $x_i$ 的修正距离结合了标准的欧式距离和约束代价。如果 Must-Link 约束被严重违反（如多个相关点被分配到不同簇），那么修正后的距离会显著增大，从而降低 $x_i$ 分配到当前簇的概率。这种方法有效地将约束融入聚类过程。