当前位置：首页 > news >正文

2025美赛MCM数学建模A题：《石头台阶的“记忆”：如何用数学揭开历史的足迹》(全网最全思路+模型)

news 来源：原创 2025/5/21 10:49:33

✨个人主页欢迎您的访问 ✨期待您的三连 ✨

《石头台阶的“记忆”：如何用数学揭开历史的足迹》

《石头台阶的“记忆”：如何用数学揭开历史的足迹》

✨摘要✨

✨引言✨

1. 引言的结构

2. 撰写步骤

（1）研究背景

（2）问题描述

（3）文献综述

（4）研究贡献

（5）论文结构

3. 示例引言

4. 撰写建议

✨问题分析✨

1. 问题分析的结构

2. 撰写步骤

（1）问题描述

（2）问题分解

（3）关键因素

（4）假设条件

（5）解决思路

3. 示例问题分析

4. 撰写建议

✨模型建立✨

1. 模型建立的结构

2. 撰写步骤

（1）变量定义

（2）模型描述

（3）公式推导

引入新因素

（4）模型简化

3. 示例模型建立

4. 撰写建议

✨模型求解✨

1. 模型求解的结构

2. 撰写步骤

（1）求解方法

（2）计算过程

（3）结果展示

（4）结果解释

3. 示例模型求解

4. 撰写建议

✨结果分析✨

1. 结果分析的结构

2. 撰写步骤

（1）结果解释

（2）敏感性分析

（3）模型验证

（4）实际意义

3. 示例结果分析

4. 撰写建议

✨模型改进✨

1. 模型改进的结构

2. 撰写步骤

（1）局限性分析

（2）改进方向

（3）未来展望

3. 示例模型改进

4. 撰写建议

✨扩展问题分析✨

（1）台阶的年代

（2）修复历史

（3）材料来源

2. 具体解决方法

（1）台阶的年代

（2）修复历史

（3）材料来源

3. 示例分析

（1）台阶的年代

（2）修复历史

（3）材料来源

4. 撰写建议

✨结论✨

1. 结论的结构

2. 撰写步骤

（1）总结成果

（2）实际意义

（3）未来展望

3. 示例结论

4. 撰写建议

✨参考文献✨

✨附录✨

1. 附录的结构

2. 撰写步骤

（1）数据表格

（2）数学推导

（3）程序代码

（4）其他补充材料

3. 示例附录

✨摘要✨

本文针对石头台阶的磨损模式，建立了一个数学模型，用于推断台阶的使用频率、使用方向和使用人数。通过测量磨损深度和使用频率数据，结合环境因素和材料特性，模型能够准确预测台阶的使用模式。结果表明，台阶的磨损主要集中在左侧，表明主要使用方向为左侧。最后，本文提出了维护建议，并验证了模型的可靠性。

关键词：磨损模式、使用频率、使用方向、数学建模、考古学

✨引言✨

1. 引言的结构

引言通常包括以下几个部分：

研究背景：介绍问题的背景和重要性。
问题描述：明确研究的具体问题和目标。
文献综述：简要回顾相关领域的研究现状。
研究贡献：说明本文的创新点和贡献。
论文结构：概述论文的章节安排。

2. 撰写步骤

（1）研究背景

说明研究问题的背景，为什么这个问题值得研究。
强调问题的实际意义和应用价值。
示例：
- “石头台阶作为建筑的重要组成部分，其磨损模式不仅反映了材料的老化过程，还记录了历史使用习惯。研究台阶的磨损模式，可以为考古学家提供关于建筑使用频率、使用方向和使用人数的重要线索。”

（2）问题描述

明确研究的具体问题和目标。
说明问题的复杂性和挑战性。
示例：
- “然而，由于台阶的磨损受到多种因素（如使用频率、环境条件、材料特性）的影响，如何通过磨损模式准确推断使用情况仍然是一个具有挑战性的问题。本文旨在建立一个数学模型，通过分析台阶的磨损模式，推断其使用频率、使用方向和使用人数。”

（3）文献综述

简要回顾相关领域的研究现状，指出已有研究的不足之处。
说明本文的研究如何填补这些空白。
示例：
- “近年来，许多学者对建筑材料的磨损模式进行了研究。例如，Smith（2020）提出了基于使用频率的磨损模型，但未考虑环境因素的影响；Wang（2019）研究了石材的耐磨性，但未涉及使用方向的推断。本文结合使用频率、环境因素和材料特性，提出了一个综合性的磨损模型。”

（4）研究贡献

说明本文的创新点和贡献。
强调研究的独特性和实际应用价值。
示例：
- “本文的主要贡献包括：（1）提出了一个综合考虑使用频率、环境因素和材料特性的磨损模型；（2）通过数值模拟和实验验证，证明了模型的有效性；（3）为考古学家提供了一种推断台阶使用情况的新方法。”

（5）论文结构

简要说明论文的章节安排，帮助读者理解论文的结构。
示例：
- “本文的结构如下：第二部分介绍问题分析和假设；第三部分详细描述模型的建立过程；第四部分展示模型的求解和结果分析；第五部分讨论模型的局限性和改进方向；最后，第六部分总结全文并展望未来研究方向。”

3. 示例引言

以下是一个完整的引言示例：

引言

石头台阶作为建筑的重要组成部分，其磨损模式不仅反映了材料的老化过程，还记录了历史使用习惯。研究台阶的磨损模式，可以为考古学家提供关于建筑使用频率、使用方向和使用人数的重要线索。然而，由于台阶的磨损受到多种因素（如使用频率、环境条件、材料特性）的影响，如何通过磨损模式准确推断使用情况仍然是一个具有挑战性的问题。本文旨在建立一个数学模型，通过分析台阶的磨损模式，推断其使用频率、使用方向和使用人数。

近年来，许多学者对建筑材料的磨损模式进行了研究。例如，Smith（2020）提出了基于使用频率的磨损模型，但未考虑环境因素的影响；Wang（2019）研究了石材的耐磨性，但未涉及使用方向的推断。本文结合使用频率、环境因素和材料特性，提出了一个综合性的磨损模型。本文的主要贡献包括：（1）提出了一个综合考虑使用频率、环境因素和材料特性的磨损模型；（2）通过数值模拟和实验验证，证明了模型的有效性；（3）为考古学家提供了一种推断台阶使用情况的新方法。

本文的结构如下：第二部分介绍问题分析和假设；第三部分详细描述模型的建立过程；第四部分展示模型的求解和结果分析；第五部分讨论模型的局限性和改进方向；最后，第六部分总结全文并展望未来研究方向。

4. 撰写建议

简洁明了：引言应简洁明了，避免过多的技术细节。
逻辑清晰：按照背景→问题→文献→贡献→结构的顺序展开。
突出创新点：明确说明本文的研究如何填补已有研究的空白。
吸引读者：通过强调问题的实际意义和应用价值，吸引读者的兴趣。

✨问题分析✨

1. 问题分析的结构

问题分析通常包括以下几个部分：

问题描述：明确研究的具体问题和目标。
问题分解：将复杂问题分解为若干子问题。
关键因素：识别影响问题的主要因素。
假设条件：列出建模过程中使用的假设。
解决思路：简要说明解决问题的总体思路。

2. 撰写步骤

（1）问题描述

明确研究的具体问题和目标。
说明问题的实际意义和挑战性。
示例：
- “本文研究的问题是：如何通过石头台阶的磨损模式，推断其使用频率、使用方向和使用人数。这一问题的解决对于考古学家理解历史建筑的使用习惯具有重要意义。”

（2）问题分解

将复杂问题分解为若干子问题，便于逐步解决。
示例：
- **“为了解决这一问题，我们将其分解为以下子问题：
  1. 如何量化台阶的磨损程度？
  2. 如何建立磨损程度与使用频率之间的关系？
  3. 如何通过磨损分布推断使用方向？
  4. 如何通过磨损模式推断使用人数？”**

（3）关键因素

识别影响问题的主要因素。
示例：
- **“影响台阶磨损的主要因素包括：
  1. 使用频率：人流量越大，磨损越严重。
  2. 使用方向：磨损集中在某一侧，表明主要使用方向。
  3. 环境因素：温度、湿度等环境条件可能加速磨损。
  4. 材料特性：石材的硬度、抗压强度等影响磨损速度。”**

（4）假设条件

列出建模过程中使用的假设，简化问题。
示例：
- **“为了简化问题，我们做出以下假设：
  1. 台阶的磨损深度与使用频率成正比。
  2. 环境因素对磨损的影响可以忽略。
  3. 台阶的材料特性均匀一致。”**

（5）解决思路

简要说明解决问题的总体思路。
示例：
- “本文的解决思路是：首先通过测量台阶的磨损深度，建立磨损程度与使用频率之间的关系；然后通过分析磨损分布，推断使用方向；最后通过磨损模式，推断使用人数。”

3. 示例问题分析

以下是一个完整的问题分析示例：

问题分析

本文研究的问题是：如何通过石头台阶的磨损模式，推断其使用频率、使用方向和使用人数。这一问题的解决对于考古学家理解历史建筑的使用习惯具有重要意义。为了系统地解决这一问题，我们将其分解为以下子问题：

如何量化台阶的磨损程度？
如何建立磨损程度与使用频率之间的关系？
如何通过磨损分布推断使用方向？
如何通过磨损模式推断使用人数？

影响台阶磨损的主要因素包括：

使用频率：人流量越大，磨损越严重。
使用方向：磨损集中在某一侧，表明主要使用方向。
环境因素：温度、湿度等环境条件可能加速磨损。
材料特性：石材的硬度、抗压强度等影响磨损速度。

为了简化问题，我们做出以下假设：

台阶的磨损深度与使用频率成正比。
环境因素对磨损的影响可以忽略。
台阶的材料特性均匀一致。

本文的解决思路是：首先通过测量台阶的磨损深度，建立磨损程度与使用频率之间的关系；然后通过分析磨损分布，推断使用方向；最后通过磨损模式，推断使用人数。

4. 撰写建议

逻辑清晰：按照问题描述→问题分解→关键因素→假设条件→解决思路的顺序展开。
重点突出：明确问题的关键点和难点。
简洁明了：避免过多的技术细节，确保读者能够快速理解问题。
结合实际：强调问题的实际意义和应用价值。

通过以上步骤和示例，您可以撰写出一篇逻辑清晰、内容充实的问题分析部分，为后续的模型建立和求解奠定坚实的基础。

✨模型建立✨

1. 模型建立的结构

模型建立通常包括以下几个部分：

变量定义：明确模型中使用的变量和参数。
模型描述：详细描述模型的数学表达式和逻辑关系。
公式推导：展示模型的推导过程。
模型简化：说明如何通过假设简化模型。

2. 撰写步骤

（1）变量定义

列出模型中使用的所有变量和参数，并给出其含义和单位。
示例：
- **“定义以下变量：
  - W(t)：时间 t 时的磨损深度（单位：mm）。
  - F(t)：时间 t 时的使用频率（单位：人/小时）。
  - D：使用方向（D=1表示左侧，D=−1 表示右侧）。
  - N：使用人数。
  - k：磨损系数。”**

（2）模型描述

详细描述模型的数学表达式和逻辑关系。
示例：
- **“假设台阶的磨损深度 W(t) 与使用频率 F(t)、使用方向 D 和使用人数 N 的关系为：

其中 k 是磨损系数。”**

（3）公式推导

展示模型的推导过程，说明如何从实际问题中得出数学模型。
示例：
- **“根据假设，磨损深度与使用频率成正比，因此可以表示为：

引入新因素

根据识别的问题，引入新的变量或参数。
示例：
- **“引入环境因素 E(t)E(t)（如温度、湿度），修正模型为：

其中 α 是环境因素对磨损的影响系数。

（4）模型简化

说明如何通过假设简化模型，使其更易于求解。
示例：
- “为了简化模型，我们假设环境因素对磨损的影响可以忽略，且台阶的材料特性均匀一致。”

3. 示例模型建立

以下是一个完整的模型建立示例：

模型建立

为了建立台阶磨损的数学模型，我们首先定义以下变量：

W(t)：时间 t 时的磨损深度（单位：mm）。
F(t)：时间 t 时的使用频率（单位：人/小时）。
D：使用方向（D=1表示左侧，D=−1 表示右侧）。
N：使用人数。
k：磨损系数。

假设台阶的磨损深度 W(t)与使用频率 F(t)、使用方向 D 和使用人数 N 的关系为：

其中 k 是磨损系数。

根据假设，磨损深度与使用频率成正比，因此可以表示为：

考虑到使用方向和使用人数的影响，进一步修正模型为：

为了简化模型，我们假设环境因素对磨损的影响可以忽略，且台阶的材料特性均匀一致。

4. 撰写建议

逻辑清晰：按照变量定义→模型描述→公式推导→模型简化的顺序展开。
详细推导：展示模型的推导过程，确保读者能够理解模型的来源。
简洁明了：避免过多的技术细节，确保模型易于理解。
结合实际：强调模型的实际意义和应用价值。

✨模型求解✨

1. 模型求解的结构

模型求解通常包括以下几个部分：

求解方法：说明使用的数学工具和算法。
计算过程：展示具体的计算步骤。
结果展示：以图表或数据形式展示求解结果。
结果解释：对求解结果进行初步解释。

2. 撰写步骤

（1）求解方法

说明使用的数学工具和算法（如微分方程、优化算法、数值模拟等）。
示例：
- “本文使用数值模拟方法对模型进行求解。具体来说，我们采用欧拉法对微分方程进行离散化，并通过迭代计算得到磨损深度随时间的变化。”

（2）计算过程

展示具体的计算步骤，包括公式推导和算法实现。
示例：

（3）结果展示

以图表或数据形式展示求解结果。
示例：
- “通过数值模拟，得到了台阶磨损深度随时间的变化曲线（如图1所示）。从图中可以看出，磨损深度随时间逐渐增加，且增加速度逐渐加快。”

（4）结果解释

对求解结果进行初步解释，说明结果的意义。
示例：
- “结果表明，台阶的磨损深度随时间逐渐增加，且增加速度逐渐加快。这与实际观察到的现象一致，验证了模型的有效性。”

3. 示例模型求解

以下是一个完整的模型求解示例：

模型求解

本文使用数值模拟方法对模型进行求解。具体来说，我们采用欧拉法对微分方程进行离散化，并通过迭代计算得到磨损深度随时间的变化。

通过数值模拟，得到了台阶磨损深度随时间的变化曲线（如图1所示）。从图中可以看出，磨损深度随时间逐渐增加，且增加速度逐渐加快。

结果表明，台阶的磨损深度随时间逐渐增加，且增加速度逐渐加快。这与实际观察到的现象一致，验证了模型的有效性。

4. 撰写建议

逻辑清晰：按照求解方法→计算过程→结果展示→结果解释的顺序展开。
详细推导：展示具体的计算步骤，确保读者能够理解求解过程。
图表展示：使用图表直观展示求解结果。
结合实际：强调求解结果的实际意义和应用价值。

✨结果分析✨

1. 结果分析的结构

结果分析通常包括以下几个部分：

结果解释：对求解结果进行详细解释。
敏感性分析：分析模型对参数变化的敏感性。
模型验证：通过实验或历史数据验证模型的准确性。
实际意义：探讨结果的实际应用价值。

2. 撰写步骤

（1）结果解释

对求解结果进行详细解释，说明结果的意义。
示例：
- “从数值模拟结果可以看出，台阶的磨损深度随时间逐渐增加，且增加速度逐渐加快。这表明随着使用频率的增加，台阶的磨损程度也在加剧。”

（2）敏感性分析

分析模型对参数变化的敏感性，探讨参数的稳定性。
示例：
- “我们对磨损系数 kk 进行了敏感性分析，发现当 kk 增加10%时，磨损深度 W(t)W(t) 也相应增加约10%。这表明模型对 kk 的变化较为敏感。”

（3）模型验证

通过实验或历史数据验证模型的准确性。
示例：
- “我们将模型预测结果与实际测量数据进行了对比，发现两者吻合较好（如图2所示）。这表明模型能够准确预测台阶的磨损深度。”

（4）实际意义

探讨结果的实际应用价值。
示例：
- “本文的研究结果为考古学家提供了一种推断台阶使用情况的新方法。通过分析台阶的磨损模式，可以推测历史建筑的使用频率和使用方向，为考古学研究提供重要线索。”

3. 示例结果分析

以下是一个完整的结果分析示例：

结果分析

从数值模拟结果可以看出，台阶的磨损深度随时间逐渐增加，且增加速度逐渐加快。这表明随着使用频率的增加，台阶的磨损程度也在加剧。具体来说，磨损深度在前100小时内增加较慢，而在100小时后增加速度明显加快。这与实际观察到的现象一致，验证了模型的有效性。

我们对磨损系数 kk 进行了敏感性分析，发现当 kk 增加10%时，磨损深度 W(t)W(t) 也相应增加约10%。这表明模型对 kk 的变化较为敏感。因此，在实际应用中，需要准确估计 kk 的值，以确保模型的预测精度。

我们将模型预测结果与实际测量数据进行了对比，发现两者吻合较好（如图2所示）。具体来说，模型预测的磨损深度与实际测量值的平均误差小于5%。这表明模型能够准确预测台阶的磨损深度。

本文的研究结果为考古学家提供了一种推断台阶使用情况的新方法。通过分析台阶的磨损模式，可以推测历史建筑的使用频率和使用方向，为考古学研究提供重要线索。此外，本文的模型还可以应用于其他类似问题，如桥梁、道路等建筑结构的磨损分析。

4. 撰写建议

逻辑清晰：按照结果解释→敏感性分析→模型验证→实际意义的顺序展开。
详细解释：对求解结果进行详细解释，说明结果的意义。
图表展示：使用图表直观展示分析结果。
结合实际：强调结果的实际意义和应用价值。

✨模型改进✨

1. 模型改进的结构

模型改进通常包括以下几个部分：

局限性分析：指出模型的不足之处。
改进方向：提出可能的改进方法。
未来展望：探讨未来研究的方向。

2. 撰写步骤

（1）局限性分析

分析模型的不足之处，说明模型的局限性。
示例：
- “本文的模型假设环境因素对磨损的影响可以忽略，但实际数据显示，温度和湿度对磨损有显著影响。此外，模型未考虑材料疲劳和动态载荷的影响。”

（2）改进方向

提出可能的改进方法，解决模型的局限性。
示例：
- **“为了改进模型，可以考虑以下方向：
  1. 引入环境因素（如温度、湿度）作为模型的变量。
  2. 考虑材料疲劳和动态载荷的影响，建立更复杂的磨损模型。
  3. 使用机器学习方法（如回归分析、神经网络）提高模型的预测精度。”**

（3）未来展望

探讨未来研究的方向，说明改进模型的实际应用价值。
示例：
- “未来的研究可以进一步探索环境因素和材料疲劳对磨损的影响，并结合机器学习方法，建立更精确的磨损模型。此外，可以将模型应用于其他建筑结构的磨损分析，如桥梁、道路等。”

3. 示例模型改进

以下是一个完整的模型改进示例：

模型改进

本文的模型假设环境因素对磨损的影响可以忽略，但实际数据显示，温度和湿度对磨损有显著影响。此外，模型未考虑材料疲劳和动态载荷的影响。这些局限性可能导致模型的预测结果与实际情况存在偏差。

为了改进模型，可以考虑以下方向：

引入环境因素（如温度、湿度）作为模型的变量。
考虑材料疲劳和动态载荷的影响，建立更复杂的磨损模型。
使用机器学习方法（如回归分析、神经网络）提高模型的预测精度。

未来的研究可以进一步探索环境因素和材料疲劳对磨损的影响，并结合机器学习方法，建立更精确的磨损模型。此外，可以将模型应用于其他建筑结构的磨损分析，如桥梁、道路等。

4. 撰写建议

逻辑清晰：按照局限性分析→改进方向→未来展望的顺序展开。
详细分析：对模型的局限性进行详细分析，说明改进的必要性。
结合实际：强调改进模型的实际意义和应用价值。

✨扩展问题分析✨

（1）台阶的年代

目标：通过磨损深度 W 和使用频率 F，结合历史记录，推测台阶的使用年限 T。
方法：
1. 建立磨损深度与使用年限的关系模型。
2. 结合历史记录，估计使用频率 F。
3. 计算台阶的使用年限 T。
模型：

其中 k 是磨损系数。

（2）修复历史

目标：通过磨损模式的突变点（如磨损深度突然减小），判断台阶是否经过修复。
方法：
1. 分析磨损深度随时间的变化曲线。
2. 检测曲线中的突变点（如磨损深度突然减小）。
3. 结合历史记录，判断突变点是否对应修复事件。

（3）材料来源

目标：通过材料特性（如硬度、抗压强度）与已知采石场的材料进行对比，推测石材的来源。
方法：
1. 测量台阶材料的硬度、抗压强度等特性。
2. 与已知采石场的材料特性进行对比。
3. 推测石材的来源。

2. 具体解决方法

（1）台阶的年代

数据需求：
- 磨损深度 W。
- 使用频率 F。
- 磨损系数 k。
步骤：
1. 测量台阶的磨损深度 W。
2. 估计使用频率 F（如通过历史记录或模拟实验）。
3. 计算使用年限 T：

（2）修复历史

数据需求：
- 磨损深度随时间的变化曲线。
- 历史修复记录。
步骤：
1. 绘制磨损深度随时间的变化曲线。
2. 检测曲线中的突变点（如磨损深度突然减小）。
3. 结合历史记录，判断突变点是否对应修复事件。

（3）材料来源

数据需求：
- 台阶材料的硬度、抗压强度等特性。
- 已知采石场的材料特性。
步骤：
1. 测量台阶材料的硬度、抗压强度等特性。
2. 与已知采石场的材料特性进行对比。
3. 推测石材的来源。

3. 示例分析

（1）台阶的年代

示例：
- 测量结果：W=10 mm
- 估计使用频率：F=100 人/天
- 磨损系数：k=0.01
- 计算使用年限：

（2）修复历史

示例：
- 磨损深度随时间的变化曲线如图3所示。
- 检测到突变点：t=5 年时，磨损深度突然减小。
- 结合历史记录，判断 t=5 年时台阶经过修复。

（3）材料来源

示例：
- 测量结果：台阶材料的硬度为 6.5，抗压强度为 150 MPa。
- 已知采石场A的材料特性：硬度为 6.5，抗压强度为 150 MPa。
- 推测石材来源：采石场A。

4. 撰写建议

逻辑清晰：按照目标→方法→步骤→结果的顺序展开。
详细推导：展示模型的推导过程，确保读者能够理解。
结合实际：强调扩展问题的实际意义和应用价值。

✨结论✨

1. 结论的结构

结论通常包括以下几个部分：

总结成果：简要总结研究的主要成果。
实际意义：说明研究的实际应用价值。
未来展望：提出未来的研究方向。

2. 撰写步骤

（1）总结成果

简要总结研究的主要成果，突出研究的创新点。
示例：
- “本文通过建立数学模型，分析了石头台阶的磨损模式，推断出其使用频率、使用方向和使用人数。研究结果表明，台阶的磨损主要集中在左侧，表明主要使用方向为左侧。此外，模型预测结果与实际数据吻合较好，验证了模型的有效性。”

（2）实际意义

说明研究的实际应用价值。
示例：
- “本文的研究结果为考古学家提供了一种推断台阶使用情况的新方法。通过分析台阶的磨损模式，可以推测历史建筑的使用频率和使用方向，为考古学研究提供重要线索。”

（3）未来展望

提出未来的研究方向，说明研究的潜在价值。
示例：
- “未来的研究可以进一步探索环境因素和材料疲劳对磨损的影响，并结合机器学习方法，建立更精确的磨损模型。此外，可以将模型应用于其他建筑结构的磨损分析，如桥梁、道路等。”

3. 示例结论

以下是一个完整的结论示例：

结论

本文通过建立数学模型，分析了石头台阶的磨损模式，推断出其使用频率、使用方向和使用人数。研究结果表明，台阶的磨损主要集中在左侧，表明主要使用方向为左侧。此外，模型预测结果与实际数据吻合较好，验证了模型的有效性。

本文的研究结果为考古学家提供了一种推断台阶使用情况的新方法。通过分析台阶的磨损模式，可以推测历史建筑的使用频率和使用方向，为考古学研究提供重要线索。

4. 撰写建议

逻辑清晰：按照总结成果→实际意义→未来展望的顺序展开。
简洁明了：用简短的段落总结研究的主要成果。
突出创新点：强调研究的创新性和实际应用价值。
展望未来：提出未来的研究方向，说明研究的潜在价值。

✨参考文献✨

✨附录✨

1. 附录的结构

附录通常包括以下几个部分：

数据表格：详细的数据表格。
数学推导：复杂的数学推导过程。
程序代码：程序代码（如Python、MATLAB代码）。
其他补充材料：其他对论文有帮助但不适合放在正文中的内容。

2. 撰写步骤

（1）数据表格

列出详细的数据表格，便于读者查阅。
示例：
- “附录A：磨损深度测量数据表”

（2）数学推导

展示复杂的数学推导过程，便于读者理解。
示例：
- “附录B：磨损模型的数学推导”

（3）程序代码

提供程序代码，便于读者复现结果。
示例：
- “附录C：Python代码实现”

（4）其他补充材料

提供其他对论文有帮助但不适合放在正文中的内容。
示例：
- “附录D：实验设备照片”

3. 示例附录

以下是一个完整的附录示例：

附录

附录A：磨损深度测量数据表

时间戳	人流量（人/小时）	磨损深度（mm）	温度（℃）	湿度（%）	光照强度（lux）
2023-10-01 08:00	120	0.1	25	60	500
2023-10-01 09:00	150	0.12	26	58	600
2023-10-01 10:00	200	0.15	27	55	700

附录B：磨损模型的数学推导

假设磨损深度 W(t)与使用频率 F(t) 的关系为：

考虑到使用方向和使用人数的影响，进一步修正模型为：

附录C：Python代码实现

2025美赛MCM数学建模A题：《石头台阶的“记忆”：如何用数学揭开历史的足迹》(全网最全思路+模型)

✨个人主页欢迎您的访问 ✨期待您的三连 ✨ 《石头台阶的“记忆”：如何用数学揭开历史的足迹》目录《石头台阶的“记忆”：如何用数学揭开历史的足迹》 ✨摘要✨ ✨引言✨ 1. 引言的结构 2. 撰写步骤 （1）研究背景 &#…...

编程日记 2025/5/21 10:49:33

python远程获取数据库中的相关数据并存储至json文件

1. conn中的5个变量的含义： ① Driver：数据库驱动程序，我使用的是SQL Server数据库。 ② Server：数据库所在的服务器地址。 ③ Database：要连接的数据库的名称。 ④ UID：登录 SQL Server 数据库的用户名…...

编程日记 2025/5/20 14:23:57

DeepSeek-R1解读：纯强化学习，模型推理能力提升的新范式？

DeepSeek-R1解读：纯强化学习，模型推理能力提升的新范式？ 1. Impressive Points2. 纯强化学习，LLM推理能力提升新范式？2.1 DeepSeek-R1-Zero2.2 DeepSeek-R1 3. 端侧模型能力提升：蒸馏>强化学习 1. Impre…...

编程日记 2025/5/21 11:00:50

系统安全及应用

一：账号安全控制 1.1 系统账号清理 1.1.1 将非登陆用户的Shell 设置为 /sbin/nologin (设置为这个解释器，禁止用户登陆） [rootlocalhost ~]# usermod -s /sbin/nologin zhangsan #将用户zhangsan 的登录解释器设置为 /sbin/n…...

编程日记 2025/5/21 10:44:50

ubuntu解决普通用户无法进入root

项目场景： 在RK3566上移植Ubuntu20.04之后普通用户无法进入管理员模式问题描述在普通用户使用sudo su试图进入管理员模式的时候报错解决方案： 1.使用 cat /etc/passwd 查看所有用户.最后一行是若无用户，则使用 sudo useradd -r -m -s /…...

编程日记 2025/5/21 10:59:29

Mac m1,m2,m3芯片使用nvm安装node14报错

使用nvm安装了node 12/16/18都没有问题，到14就报错了。第一次看到这个报错有点懵，查询资料发现是Mac芯片的问题。 Issue上提供了两个方案： 1、为了在arm64的Mac上安装node 14，需要使用Rosseta，可以通过以下命令安装 …...

编程日记 2025/5/21 11:38:23

IDEA工具下载、配置和Tomcat配置

1. IDEA工具下载、配置 1.1. IDEA工具下载 1.1.1. 下载方式一官方地址下载 1.1.2. 下载方式二官方地址下载：https://www.jetbrains.com/idea/ 1.1.3. 注册账户官网地址：https://account.jetbrains.com/login 1.1.4. JetBrains官方账号注册…...

编程日记 2025/5/20 13:56:09

实战网络安全：渗透测试与防御指南

📝个人主页🌹：一ge科研小菜鸡-CSDN博客 🌹🌹期待您的关注 🌹🌹 引言在数字化时代，网络安全已成为企业和个人不可忽视的重要课题。网络攻击的复杂性与日俱增，从数据泄露…...

编程日记 2025/5/21 11:02:15

Vue 3 中的 toRef 与 toRefs：使用与案例解析

在 Vue 3 的响应式系统中，toRef 和 toRefs 是两个非常实用的工具函数。它们主要用于将响应式对象的属性转换为单独的 ref，以便在模板或逻辑中更方便地使用。本文将详细介绍 toRef 和 toRefs 的用法，并通过一个老师信息的案例来演示它们的实际…...

编程日记 2025/5/21 11:24:54

如何让Dev-C++支持C++11及以上标准

目录问题描述解决方案步骤1：打开编译选项问题描述在Dev-C中使用C11/17/20新特性（如pop_back()等）时，可能出现编译错误： #include <iostream> #include<string> using namespace std; int main() {str…...

编程日记 2025/5/20 13:19:43

java8-日期时间Api

目录 LocalDate更新时间LocalTimeLocalDateTimeInstantPeriod Duration格式化、解析日期-时间对象时区 java.util.Date java.util.Calendar 不支持时区线程不安全月份从0起线程不安全，只有包裹在ThreadLocal中才安全 java.text.DateFormat java.text.SimpleDateFo…...

编程日记 2025/5/21 10:34:50

电脑无法开机，重装系统后没有驱动且驱动安装失败

电脑无法开机，重装系统后没有驱动且驱动安装失败前几天电脑突然坏了，电脑卡住后，强制关机，再开机后开机马上就关机。尝试无数次开机后失败，进入BIOS界面，发现已经没有Windows系统了。重新安装系统后&…...

编程日记 2025/5/20 13:28:54

Vue.js 传递路由参数和查询参数

Vue.js 传递路由参数和查询参数在 Vue.js 开发中，Vue Router 提供了灵活的方式来处理路由参数和查询参数，使得组件能够根据不同的路径或查询条件渲染相应的内容。路由参数路由参数（也称为路径参数）是 URL 路径的一部分&…...

编程日记 2025/5/21 7:01:46

Java 反射机制介绍

Java学习资料 Java学习资料 Java学习资料一、引言在 Java 编程里，反射机制是一项强大且独特的特性。它赋予程序在运行时动态地获取类的信息，并且可以操作类或对象的属性、方法和构造函数等。借助反射机制，程序的灵活性和可扩展性得到显著…...

编程日记 2025/5/17 12:58:10

Final2x--开源AI图片放大工具

Final2x--开源AI图片放大工具链接：https://pan.xunlei.com/s/VOHSklukQAquUn3GE7eHJXfOA1?pwdr3r3#...

编程日记 2025/5/21 1:39:58

TCP全连接队列

1. 理解 int listen(int sockfd, int backlog) 第二个参数的作用 backlog：表示tcp全连接队列的连接个数1。如果连接个数等于backlog1，后续连接就会失败，假设tcp连接个数为0，最大连接个数就为1，并且不accept获取连接…...

编程日记 2025/5/17 22:54:38

前端力扣刷题 | 4：hot100之子串

560. 和为K的子数组给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，请你统计并返回该数组中和为 k 的子数组的个数。子数组是数组中元素的连续非空序列。示例： 输入：nums [1,1,1], k 2 输出：2 法一：暴力法 var subar…...

编程日记 2025/5/18 0:41:15

【精选】基于数据挖掘的招聘信息分析与市场需求预测系统职位分析、求职者趋势分析职位匹配、人才趋势、市场需求分析数据挖掘技术职位需求分析、人才市场趋势预测

博主介绍： ✌我是阿龙，一名专注于Java技术领域的程序员，全网拥有10W粉丝。作为CSDN特邀作者、博客专家、新星计划导师，我在计算机毕业设计开发方面积累了丰富的经验。同时，我也是掘金、华为云、阿里云、InfoQ等平台…...

编程日记 2025/5/17 11:26:12

字节跳动发布UI-TARS，超越GPT-4o和Claude，能接管电脑完成复杂任务

每周跟踪AI热点新闻动向和震撼发展想要探索生成式人工智能的前沿进展吗？订阅我们的简报，深入解析最新的技术突破、实际应用案例和未来的趋势。与全球数同行一同，从行业内部的深度分析和实用指南中受益。不要错过这个机会，成为AI领…...

编程日记 2025/5/18 6:57:01

2025课题推荐——USBL和DVL的误差建模与补偿

在海洋探测与研究中，定位技术的准确性至关重要。超短基线（USBL）和多普勒速度计（DVL）是两种广泛应用于水下定位和导航的技术，它们在深海探测、海洋工程和水下机器人等领域发挥着重要作用。然而，这…...

编程日记 2025/5/16 10:40:15

mysql_use_result的概念和使用案例

mysql_use_result 是 MySQL C API 中的一个函数，它用于检索一个结果集，并且不同于 mysql_store_result，它不会立即将整个结果集读入客户端。相反，它会初始化一个结果集，客户端随后可以通过调用 mysql_fetch_row 来逐行…...

编程日记 2025/5/19 1:26:37

微信小程序date picker的一些说明

微信小程序的picker是一个功能强大的组件，它可以是一个普通选择器，也可以是多项选择器，也可以是时间、日期、省市区选择器。官方文档在这里这里讲一下date picker的用法。 <view class"section"><view class"se…...

编程日记 2025/5/17 5:04:07

FLTK - FLTK1.4.1 - demo - adjuster.exe

文章目录 FLTK - FLTK1.4.1 - demo - adjuster.exe概述笔记根据代码，用fluid重建一个adjuster.fl 备注 - fluid生成的代码作为参考代码好了修改后可用的代码END FLTK - FLTK1.4.1 - demo - adjuster.exe 概述想过一遍 FLTK1.4.1的demo和测试工程，工程…...

编程日记 2025/5/21 7:15:15

神经网络入门：从感知机到激活函数

什么是神经网络神经网络（Neural Network） 是一种模拟生物神经系统工作方式的计算模型，是机器学习和深度学习的核心组成部分。它的设计灵感来源于人脑中神经元之间的连接和信息传递方式。神经网络通过模拟这种结构，能够从数据中学…...

编程日记 2025/5/16 17:41:16

第04章 13 管道信息对象分类说明

在VTK（Visualization Toolkit）中，管道信息（Pipeline Information）是一个重要的概念，它允许管道中的不同对象之间传递元数据和执行策略。这些信息对象帮助协调管道中各个组件的操作，确保数据在传…...

编程日记 2025/5/18 8:31:41

AI 发展是否正在放缓？AI 发展将驶向何方？

编者按： 人工智能真的已经遇到发展瓶颈了吗？随着 OpenAI、Google 和 Anthropic 等顶级 AI 公司纷纷表示新模型开发收益在减少，这个问题引发了整个行业的深度思考。我们今天为大家带来的这篇文章，作者的核心观点是：虽然…...

编程日记 2025/5/16 12:56:26

一个简单的自适应html5导航模板

一个简单的 HTML 导航模板示例，它包含基本的导航栏结构，同时使用了 CSS 进行样式美化，让导航栏看起来更美观。另外，还添加了一些 JavaScript 代码，用于在移动端实现导航菜单的展开和收起功能。 PHP <!DOCTYPE htm…...

编程日记 2025/5/19 6:38:54

CrypTen——基于pytorch的隐私保护机器学习框架

目录一、CrypTen概述二、应用场景三、CrypTen优势四、CrypTen技术解析 1.基于pytorch的构建基础 2.核心密码学原语 3.加密模型训练流程五、传统隐私保护技术与CrypTen的对比 1.传统隐私保护技术介绍 2.CrypTen与传统隐私保护技术的区别六、CrypTen的环境配置…...

编程日记 2025/5/20 17:45:54

日志模块升级，采用sleuth实现日志链路追踪

文章目录 1.common-log4j2-starter1.目录结构2.pom.xml 引入sleuth3.application.yml 开启Sleuth4.log4j2-spring.xml xiugai 日志输出格式5.TraceIdFilter.java 输出带有TraceId的箭头6.LogAspect.java 更改AOP的范围（因为后面出现了栈溢出问题）7.pom.x…...

编程日记 2025/5/21 10:25:48

84，【8】BUUCTF WEB [羊城杯 2020]Blackcat

进入靶场音乐硬控我3分钟回去看源码 <?php // 检查 POST 请求中是否包含 Black-Cat-Sheriff 和 One-ear 字段 // 如果任意一个字段为空，则输出错误信息并终止脚本执行 if(empty($_POST[Black-Cat-Sheriff]) || empty($_POST[One-ear])){die(请提供 Black-C…...

编程日记 2025/5/17 4:49:55

中信证券、安我保险-安我股保联合策略

中信证券2025年资本市场年会在深圳开幕,会议以“站上起跑线”为主题,对2025年全球金融市场、宏观经济与政策、A股市场投资策略、大类资产配置、资本市场新格局下的各经济领域发展趋势进行了全面展望。据悉,中信证券2025年资本市场年会,现场邀请了百余位顶尖学者、产业专家、企…...

编程日记 2025/5/16 17:33:06

WPF实战案例 | C# WPF实现大学选课系统

WPF实战案例 | C# WPF实现大学选课系统一、设计来源1.1 主界面1.2 登录界面1.3 新增课程界面1.4 修改密码界面二、效果和源码2.1 界面设计（XAML）2.2 代码逻辑（C#） 源码下载更多优质源码分享作者：xcLeigh 文章地址&a…...

编程日记 2025/5/21 3:26:30

如何在Spring Boot项目中高效集成Spring Security

1 Spring Security 介绍 Spring Security 是一个功能强大且高度可定制的安全框架，专为保护基于Java的应用程序而设计。它不仅提供了认证（Authentication）和授权（Authorization）的功能，还支持防止各种常见的安全攻击模式。本文将详细介绍Spring Security的主要特点、功能…...

编程日记 2025/5/9 6:29:27

浅谈Unity中Canvas的三种渲染模式

Overview UGUI通过 Canvas 组件渲染和管理UI元素。Canvas 是 UI 元素的容器，它决定了 UI 元素的渲染方式以及它们在屏幕上的显示效果。Canvas 有三种主要的渲染模式，每种模式有不同的用途和特点。本文将介绍这三种渲染模式 1. Screen Space - Overlay 模…...

编程日记 2025/5/20 9:06:47

组件中的emit

我们从页面向子组件传递参数时，我们可以使用props；我们从页面向子组件传递模板片段时，可以使用slots；当我们需要子组件传递参数给调用它的页面时，我们可以使用emit进行参数传递。例如： <template>…...

编程日记 2025/5/18 11:12:49

java发送邮件

文章目录需要的依赖发送邮件准备申请授权码配置文件测试代码遇到的问题需要的依赖 <dependency><groupId>org.springframework.boot</groupId><artifactId>spring-boot-starter-web</artifactId></dependency><dependency><…...

编程日记 2025/5/18 17:50:47

网络安全 | F5-Attack Signatures-Set详解

关注：CodingTechWork 创建和分配攻击签名集可以通过两种方式创建攻击签名集：使用过滤器或手动选择要包含的签名。基于过滤器的签名集仅基于在签名过滤器中定义的标准。基于过滤器的签名集的优点在于，可以专注于定义用户感兴趣的攻击签名…...

编程日记 2025/5/11 5:45:13

左右互搏03-so调用java md5-android开发

依然走动态注册新建一个java类 package com.koohai.encutils;import android.content.Context; import android.content.pm.PackageInfo; import android.content.pm.PackageManager; import android.util.Log;import java.security.MessageDigest; import java.util.List; …...

编程日记 2025/5/20 1:20:54

性能测试丨JVM 性能数据采集

什么是JVM性能数据采集？ JVM性能数据采集是指通过一些工具和技术采集与Java虚拟机相关的性能数据。这些数据包括但不限于内存使用、CPU使用、垃圾回收（GC）行为、线程活动等。合理地分析这些数据，可以帮助我们找出系统的瓶颈&…...

编程日记 2025/5/16 17:41:12

MySQL 基础学习(3)：排序查询和条件查询

MySQL 查询与条件操作：详解与技巧在本文中，我们将探讨 MySQL 中的查询操作及其相关功能，包括别名、去重、排序查询和条件查询等，并总结一些最佳实践和注意事项。一、使用别名（AS） 在查询中&#xff0c…...

编程日记 2025/5/20 23:01:35

Autogen_core: Quickstart

代码 from dataclasses import dataclass from typing import Callablefrom autogen_core import DefaultTopicId, MessageContext, RoutedAgent, default_subscription, message_handlerdataclass class Message:content: intdefault_subscription class Modifier(RoutedAgen…...

编程日记 2025/5/18 18:03:39