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随机矩阵投影长度保持引理及其证明

news 来源：原创 2025/5/22 5:07:33

$\textbf{1. }$ 引理 $\textbf{1}$ (前提之一)

$\textbf{1.1. }$ 引理 $\textbf{1}$ 的内容

👉前提： $X\sim{}N(0,\sigma)$ 即 $f(x)\text{=}\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{–\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}$ ，且 $\forall{}\alpha{}\text{<}\cfrac{1}{2\sigma^{2}}$

👉结论： $\mathrm{E}\left[e^{\alpha{}X^{2}}\right]\text{=}\cfrac{1}{\sqrt{1–2\alpha{}\sigma^{2}}}$

$\textbf{2. }$ 引理 $\textbf{1}$ 的证明

↪ $\displaystyle{}\mathrm{E}\left[e^{\alpha{}X^2}\right]\text{=}\int_{–\infty}^{\infty}e^{\alpha{}x^2}f(x)dx\text{=}\int_{–\infty}^{\infty} e^{\alpha x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{–\frac{x^2}{2 \sigma^2}} d x\text{=}\int_{–\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{–\frac{x^2}{2 \sigma^2}\left(1–2 \alpha \sigma^2\right)} d x$

↪令 $\sigma^{\prime}=\cfrac{\sigma}{\sqrt{1–2 \alpha \sigma^2}}$ ，其中必定要求 $\alpha \sigma^2\text{>0}$ 即 $\alpha{}\text{<}\cfrac{1}{2\sigma^{2}}$

↪ $\displaystyle{}\mathrm{E}\left[e^{\alpha X^2}\right]\text{=}\int_{–\infty}^{\infty} \cfrac{\sqrt{1–2 \alpha \sigma^2}}{\sqrt{2 \pi} \sigma \sqrt{1–2 \alpha \sigma^2}} e^{–\frac{x^2}{2 \sigma^2}\left(1–2 \alpha \sigma^2\right)} d x\text{=}\cfrac{1}{\sqrt{1–2\alpha{}\sigma^{2}}}\int_{-\infty}^{\infty} \cfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma^{\prime}} e^{-\frac{x^2}{2 \sigma^{\prime 2}}} d x$

↪考虑到 $\displaystyle{}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma^{\prime}} e^{-\frac{x^2}{2 \sigma^{\prime 2}}} d x\text{=}1$ ，所以 $\mathrm{E}\left[e^{\alpha{}X^{2}}\right]\text{=}\cfrac{1}{\sqrt{1–2\alpha{}\sigma^{2}}}$

$\textbf{2. }$ 引理 $\textbf{2}$

$\textbf{2.1. }$ 引理 $\textbf{2}$ 的内容

👉前提 $1$ ：设一个随机矩阵 $S\text{=}(s_{ij})\text{∈}\mathbb{R}^{t\text{×}d}$ ，每个元素 $s_{ij}$ 独立同分布于 $N (0, 1)$

👉前提 $2$ ：对任意固定向量 $u\text{∈}\mathbb{R}^{d\text{×}1}$ (即 $u^{\prime}$ 不随机)，定义 $u^{\prime}\text{=}\cfrac{1}{\sqrt{t}}(Su)$

👉:结论 $1$ ： $\text{E}\left[\left\|u^{\prime}\right\|^2\right]\text{=}\|u\|^2$ ，即 $\left\|u^{\prime}\right\|^2$ 和 $u\|^2$ 在统计学上是相等的

👉结论 $2$ ： $\text{Pr}\left[\left\|u^{\prime}\right\|^2\notin{}(1\text{±}\varepsilon{})\|u\|^2\right]\text{≤}2e^{–\left(\varepsilon{}^2–\varepsilon{}^3\right)\frac{t}{4}}$ ，即 $\left\|u^{\prime}\right\|^2$ 和 $u\|^2$ 在实际值上偏差极小且可控

$\textbf{2.2. }$ 引理 $\textbf{2}$ 的证明

$\textbf{2.2.1. }$ 对结论 $\textbf{1}$ 的证明

↪对于 $s_{ij}\sim{}N(0,1)$ ，则有 $\displaystyle{}S_{\cdot{}j}u\text{=}\sum_{i=1}^{d}s_{ij}u_i\sim{}N(0,\|u\|^2)$

均值 $\displaystyle{}\text{E}\left[S_{\cdot{}j}u\right]\text{=}\text{E}\left[\sum_{i=1}^ds_{ij}u_i\right]\text{=}\sum_{i=1}^du_i\text{E}\left[s_{ij}\right]\text{=}0$
方差 $\displaystyle{}\text{Var}\left[S_{\cdot{}j}u\right]\text{=}\text{Var}\left[\sum_{i=1}^ds_{ij}u_i\right]\text{=}\sum_{i=1}^d\text{Var}[s_{ij}u_i]\text{=}\sum_{i=1}^du_i^2\text{Var}[s_{ij}]\text{=}\sum_{i=1}^du_i^2\text{=}\|u\|^2$

↪正态分布性质 $\text{E}[X^2]\text{=}\sigma{}^2$ ，所以 $\text{E}\left[\left(S_{\cdot{}j}u\right)^2\right]\text{=}\|u\|^2$

↪所以 $\displaystyle{}\text{E}\left[\|Su\|^2\right]\text{=}\text{E}\left[\sum_{j\text{=}1}^t\left(S_{\cdot{}j}u\right)^2\right]\text{=}\sum_{j=1}^t\text{E}\left[\left(S_{\cdot{}j}u\right)^2\right]\text{=}t\|u\|^2$

↪根据 $u^{\prime}\text{=}\cfrac{1}{\sqrt{t}}(Su)$ ，得到 $\left\|u^{\prime}\right\|^2\text{=}\cfrac{1}{t}\|Su\|^2$

↪所以 $\displaystyle{}\text{E}\left[\left\|u^{\prime}\right\|^2\right]\text{=}\text{E}\left[\cfrac{1}{t}\|Su\|^2\right]\text{=}\cfrac{1}{t}\text{E}\left[\|Su\|^2\right]\text{=}\cfrac{1}{t}\left(t\|u\|^2\right)\text{=}\|u\|^2$

$\textbf{2.2.2. }$ 对结论 $\textbf{2}$ 的证明(正半边)

↪考虑到 $\displaystyle{}S_{\cdot{}j}u\sim{}N(0,\|u\|^2)$ ，故将其归一化为 $X_j\text{=}\cfrac{S_{\cdot{}j}u}{\|u\|}\sim{}N(0,1)$

↪由此定义 $\displaystyle{}X\text{=}\sum_{j=1}^tX_j^2$ (自由度为 $t$ 的 $\chi^2$ 分布)，由此 $\displaystyle{}\left\|u^{\prime}\right\|^2\text{=}\cfrac{1}{t}\|Su\|^2\text{=}\cfrac{1}{t}\sum_{j=1}^t\left(S_{\cdot{}j}u\right)^2\text{=}\|u\|^2\cfrac{1}{t}\sum_{j=1}^tX_j^2\text{=}\cfrac{1}{t}\|u\|^2X$

↪由此 $\text{Pr}\left[\left\|u^{\prime}\right\|^2\text{≥}(1\text{+}\varepsilon)\|u\|^2\right]\text{=}\text{Pr}\left[X\text{≥}(1\text{+}\varepsilon{})t\right]$

↪考虑马可夫不等式的指数形式： $\text{Pr}\left[X\text{≥}(1\text{+}\varepsilon{})t\right]\text{=}\text{Pr}\left[e^{\alpha{}X}\text{≥}e^{\alpha{}(1\text{+}\varepsilon{})t}\right]\text{≤}\cfrac{\text{E}\left[e^{\alpha{}X}\right]}{e^{\alpha{}(1\text{+}\varepsilon{})t}}$

考虑到 $\displaystyle{}X\text{=}\sum_{j=1}^tX_j^2$ ，所以 $\displaystyle{}\text{E}\left[e^{\alpha{}X}\right]\text{=}\text{E}\left[e^{\alpha{}(X^2_1\text{+}X^2_2\text{+}\cdots\text{+}X^2_t)}\right]\text{=}\text{E}\left[e^{\alpha{}X^2_1}e^{\alpha{}X^2_2}\cdots{}e^{\alpha{}X^2_t}\right]\text{=}\text{E}\left[\prod_{j=1}^te^{\alpha{}X^2_j}\right]\text{=}\prod_{j=1}^t\text{E}\left[e^{\alpha{}X_j^2}\right]$
在引理 $1$ 中已经证明 $\text{E}\left[e^{\alpha{}X_j^{2}}\right]\text{=}\cfrac{1}{\sqrt{1–2\alpha{}\sigma^{2}}}(\alpha{}\text{<}\cfrac{1}{2\sigma^{2}})$ ，考虑到此处 $\sigma({X_j})\text{=}1$ 所以 $\text{E}\left[e^{\alpha{}X_j^{2}}\right]\text{=}\cfrac{1}{\sqrt{1–2\alpha{}}}(\alpha{}\text{<}\cfrac{1}{2})$
所以 $\displaystyle{}\text{E}\left[e^{\alpha{}X}\right]\text{=}\prod_{j=1}^t\left(\cfrac{1}{\sqrt{1–2\alpha{}}}\right)\text{=}\left(\cfrac{1}{\sqrt{1–2\alpha{}}}\right)^t\text{=}\cfrac{1}{(1–2\alpha)^{\frac{t}{2}}}$
代入原式得 $\text{Pr}\left[X\text{≥}(1\text{+}\varepsilon{})t\right]\text{≤}\cfrac{\text{E}\left[e^{\alpha{}X}\right]}{e^{\alpha{}(1\text{+}\varepsilon{})t}}\text{=}\cfrac{{(1–2\alpha)^{–\frac{t}{2}}}}{e^{\alpha{}(1\text{+}\varepsilon{})t}}\text{=}\left(\cfrac{e^{–2(1\text{+}\varepsilon)\alpha}}{1–2\alpha}\right)^{\frac{t}{2}}$

↪对于 $\text{Pr}\left[X\text{≥}(1\text{+}\varepsilon{})t\right]\text{≤}\left(\cfrac{e^{–2(1\text{+}\varepsilon)\alpha}}{1–2\alpha}\right)^{\frac{t}{2}}$ ，有必要在 $0\text{<}\alpha{}\text{<}\cfrac{1}{2}$ 的范围内确定 $f(\alpha)\text{=}\left(\cfrac{e^{–2(1\text{+}\varepsilon)\alpha}}{1–2\alpha}\right)^{\frac{t}{2}}$ 的最小值

对于 $\ln(f(\alpha))\text{=}\cfrac{t}{2}[–2(1\text{+}\varepsilon)\alpha–\ln(1–2\alpha)]$ ，令 $g(\alpha)\text{=}–2(1\text{+}\varepsilon)\alpha–\ln(1–2\alpha)$ ，如下图( $\varepsilon\text{=}3$ )

一阶导 $\cfrac{\text{d}g{(\alpha)}}{\text{d}\alpha}\text{=}\cfrac{2}{1–2\alpha}–2(1\text{+}\varepsilon)$ ，具有临界点 $\alpha^*\text{=}\cfrac{\varepsilon}{2(1\text{+}\varepsilon)}\text{∈}\left(0,\cfrac{1}{2}\right)$ ，故 $\varepsilon\text{>}0$

代入原式即得 $\text{Pr}\left[X\text{≥}(1\text{+}\varepsilon{})t\right]\text{≤}\left(\cfrac{e^{–2(1\text{+}\varepsilon)\alpha}}{1–2\alpha}\right)^{\frac{t}{2}}\text{≤}\left((1\text{+}\varepsilon) e^{–\varepsilon}\right)^{\frac{t}{2}}$

↪进一步对 $h(\varepsilon)\text{=}\left((1\text{+}\varepsilon)e^{–\varepsilon}\right)^{\frac{t}{2}}$ 的分析

泰勒展开 $\ln{}(1\text{+}\varepsilon)\text{=}\varepsilon–\cfrac{\varepsilon^2}{2}\text{+}\cfrac{\varepsilon^3}{3}\text{+}O\left(\varepsilon^4\right)$ ，则 $\ln(1\text{+}\varepsilon)–\varepsilon\text{≤}–\cfrac{\varepsilon^2}{2}\text{+}\cfrac{\varepsilon^3}{3}\text{≤}–\cfrac{1}{2}\left(\varepsilon^2–\varepsilon^3\right)$
故在 $\ln(h(\varepsilon))\text{=}\cfrac{t}{2}(\ln(1\text{+}\varepsilon)–\varepsilon)\text{≤}–\cfrac{t}{4}\left(\varepsilon^2–\varepsilon^3\right)$ ，即 $h(\varepsilon)\text{≤}e^{–\frac{t}{4}\left(\varepsilon^2–\varepsilon^3\right)}$

↪最后 $\text{Pr}\left[\left\|u^{\prime}\right\|^2\text{≥}(1\text{+}\varepsilon)\|u\|^2\right]\text{=}\text{Pr}\left[X\text{≥}(1\text{+}\varepsilon{})t\right]\text{≤}\left(\cfrac{e^{–2(1\text{+}\varepsilon)\alpha}}{1–2\alpha}\right)^{\frac{t}{2}}\text{≤}\left((1\text{+}\varepsilon) e^{–\varepsilon}\right)^{\frac{t}{2}}\text{≤}e^{–\frac{t}{4}\left(\varepsilon^2–\varepsilon^3\right)}$

$\textbf{2.2.3. }$ 对结论 $\textbf{2}$ 的证明(负半边)

↪考虑到 $\displaystyle{}S_{\cdot{}j}u\sim{}N(0,\|u\|^2)$ ，故将其归一化为 $X_j\text{=}\cfrac{S_{\cdot{}j}u}{\|u\|}\sim{}N(0,1)$

↪由此定义 $\displaystyle{}X\text{=}\sum_{j=1}^tX_j^2$ (自由度为 $t$ 的 $\chi^2$ 分布)，由此 $\displaystyle{}\left\|u^{\prime}\right\|^2\text{=}\cfrac{1}{t}\|Su\|^2\text{=}\cfrac{1}{t}\sum_{j=1}^t\left(S_{\cdot{}j}u\right)^2\text{=}\|u\|^2\cfrac{1}{t}\sum_{j=1}^tX_j^2\text{=}\cfrac{1}{t}\|u\|^2X$

↪由此 $\text{Pr}\left[\left\|u^{\prime}\right\|^2\text{≤}(1\text{–}\varepsilon)\|u\|^2\right]\text{=}\text{Pr}\left[X\text{≤}(1\text{–}\varepsilon{})t\right]\text{=}\text{Pr}\left[–X\text{≥}–(1\text{–}\varepsilon{})t\right]$

↪考虑马可夫不等式的指数形式： $\text{Pr}\left[–X\text{≥}–(1\text{–}\varepsilon{})t\right]\text{=}\text{Pr}\left[e^{\alpha{}(–X)}\text{≥}e^{–\alpha{}(1\text{–}\varepsilon{})t}\right]\text{≤}\cfrac{\text{E}\left[e^{–\alpha{}X}\right]}{e^{–\alpha{}(1\text{–}\varepsilon{})t}}$

考虑到 $\displaystyle{}X\text{=}\sum_{j=1}^tX_j^2$ ，所以 $\displaystyle{}\text{E}\left[e^{–\alpha{}X}\right]\text{=}\text{E}\left[e^{–\alpha{}(X^2_1\text{+}X^2_2\text{+}\cdots\text{+}X^2_t)}\right]\text{=}\text{E}\left[e^{–\alpha{}X^2_1}e^{–\alpha{}X^2_2}\cdots{}e^{–\alpha{}X^2_t}\right]\text{=}\text{E}\left[\prod_{j=1}^te^{–\alpha{}X_j^2}\right]\text{=}\prod_{j=1}^t\text{E}\left[e^{–\alpha{}X_j^2}\right]$
在引理 $1$ 中已经证明 $\text{E}\left[e^{–\alpha{}X_j^{2}}\right]\text{=}\cfrac{1}{\sqrt{1\text{+}2\alpha{}\sigma^{2}}}(\alpha{}\text{>}–\cfrac{1}{2\sigma^{2}})$ ，考虑到此处 $\sigma({X_j})\text{=}1$ 所以 $\text{E}\left[e^{–\alpha{}X_j^{2}}\right]\text{=}\cfrac{1}{\sqrt{1\text{+}2\alpha{}}}(\alpha{}\text{>}–\cfrac{1}{2})$
所以 $\displaystyle{}\text{E}\left[e^{–\alpha{}X}\right]\text{=}\prod_{j=1}^t\left(\cfrac{1}{\sqrt{1\text{+}2\alpha{}}}\right)\text{=}\left(\cfrac{1}{\sqrt{1\text{+}2\alpha{}}}\right)^t\text{=}\cfrac{1}{(1\text{+}2\alpha)^{\frac{t}{2}}}$
代入原式得 $\text{Pr}\left[–X\text{≥}–(1\text{–}\varepsilon{})t\right]\text{≤}\cfrac{\text{E}\left[e^{–\alpha{}X}\right]}{e^{–\alpha{}(1–\varepsilon{})t}}\text{=}\cfrac{{(1\text{+}2\alpha)^{–\frac{t}{2}}}}{e^{–\alpha{}(1–\varepsilon{})t}}\text{=}\left(\cfrac{e^{2(1–\varepsilon)\alpha}}{1\text{+}2\alpha}\right)^{\frac{t}{2}}$

↪对于 $\text{Pr}\left[–X\text{≥}–(1\text{–}\varepsilon{})t\right]\text{≤}\left(\cfrac{e^{2(1–\varepsilon)\alpha}}{1\text{+}2\alpha}\right)^{\frac{t}{2}}$ ，有必要在 $\alpha{}\text{>}–\cfrac{1}{2}$ 的范围内确定 $f(\alpha)\text{=}\left(\cfrac{e^{2(1–\varepsilon)\alpha}}{1\text{+}2\alpha}\right)^{\frac{t}{2}}$ 的最小值

对于 $\ln(f(\alpha))\text{=}\cfrac{t}{2}[2(1–\varepsilon)\alpha–\ln(1\text{+}2\alpha)]$ ，令 $g(\alpha)\text{=}[2(1–\varepsilon)\alpha–\ln(1\text{+}2\alpha)]$ ，如下图( $\varepsilon\text{=}–\cfrac{1}{3}$ )

一阶导 $\cfrac{\text{d}g{(\alpha)}}{\text{d}\alpha}\text{=}–\cfrac{2}{1\text{+}2\alpha}\text{+}2(1\text{+}\varepsilon)$ ，具有临界点 $\alpha^*\text{=}\cfrac{\varepsilon}{2(1–\varepsilon)}\text{∈}\left(–\cfrac{1}{2},\text{+∞}\right)$ ，故 $–1\text{<}\varepsilon\text{<}1$ (由于前提限制故截取为 $0\text{<}\varepsilon\text{<}1$ )
代入原式即得 $\text{Pr}\left[–X\text{≥}–(1\text{–}\varepsilon{})t\right]\text{≤}\left(\cfrac{e^{2(1–\varepsilon)\alpha}}{1\text{+}2\alpha}\right)^{\frac{t}{2}}\text{≤}\left((1–\varepsilon) e^{\varepsilon}\right)^{\frac{t}{2}}$

↪进一步对 $h(\varepsilon)\text{=}\left((1–\varepsilon) e^{\varepsilon}\right)^{\frac{t}{2}}$ 的分析

泰勒展开 $\ln{}(1–\varepsilon)\text{=}–\varepsilon–\cfrac{\varepsilon^2}{2}–\cfrac{\varepsilon^3}{3}\text{+}O\left(\varepsilon^4\right)$ ，则 $\ln(1–\varepsilon)\text{+}\varepsilon\text{≤}–\cfrac{\varepsilon^2}{2}–\cfrac{\varepsilon^3}{3}\text{≤}–\cfrac{1}{2}\left(\varepsilon^2–\varepsilon^3\right)$
故在 $\ln(h(\varepsilon))\text{=}\cfrac{t}{2}(\ln(1–\varepsilon)\text{+}\varepsilon)\text{≤}–\cfrac{t}{4}\left(\varepsilon^2–\varepsilon^3\right)$ ，即 $h(\varepsilon)\text{≤}e^{–\frac{t}{4}\left(\varepsilon^2–\varepsilon^3\right)}$

↪最后 $\text{Pr}\left[\left\|u^{\prime}\right\|^2\text{≤}(1\text{–}\varepsilon)\|u\|^2\right]\text{=}\text{Pr}\left[–X\text{≥}–(1\text{–}\varepsilon{})t\right]\text{≤}\left(\cfrac{e^{2(1–\varepsilon)\alpha}}{1\text{+}2\alpha}\right)^{\frac{t}{2}}\text{≤}\left((1–\varepsilon) e^{\varepsilon}\right)^{\frac{t}{2}}\text{≤}e^{–\frac{t}{4}\left(\varepsilon^2–\varepsilon^3\right)}$

原论文中的引理 2 \textbf{2} 2 1. \textbf{1. } 1. 引理 1 \textbf{1} 1(前提之一) 1.1. \textbf{1.1. } 1.1. 引理 1 \textbf{1} 1的内容 👉前提： X ∼ N ( 0 , σ ) X\sim{}N(0,\sigma) X∼N(0,σ)即 f ( x ) 1 2 π σ e – x 2 2 σ 2 f(x)\text{}…...

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这是一些非常奇怪的单词： screw n.螺丝；螺丝钉 screwdriver n.起子，螺丝刀，改锥 copulation n.连接 copulate a.配合的 bonk n.撞击；猛击 v.轻击；碰撞ebony n.黑檀couple n.夫妇blonde n.金发女郎intimacy…...

编程日记 2025/5/21 18:07:08

three.js+WebGL踩坑经验合集(4.1):THREE.Line2的射线检测问题（注意本篇说的是Line2，同样也不是阈值方面的问题）

上篇大家消化得如何了？ 笔者说过，1级编号不同的两篇博文相对独立，所以这里笔者还是先给出完整代码，哪怕跟（3）没有太大区别。这里我们把线的粗细调成5（排除难选中的因素）&#xff…...

编程日记 2025/5/22 2:56:29

postgresql根据主键ID字段分批删除表数据

生产环境针对大表的处理相对比较麻烦。方案1、直接truncate，可能会遇到系统卡主的情况，因为truncate的过程中会对表进行加锁，会导致数据不能正常的写入方案2、创建一个同结构的表结构，rename旧表，不停业务rename表担…...

编程日记 2025/5/22 2:48:22

NIO 和 Netty 在 Spring Boot 中的集成与使用

Netty到底是个啥，有啥子作用 1. Netty 的本质：对 NIO 的封装 NIO 的原生问题： Java 的 NIO 提供了非阻塞 I/O 和多路复用机制，但其使用较为复杂（如 Selector、Channel、Buffer 的配置和管理）。开发者需要自…...

编程日记 2025/5/21 10:23:40

【AI论文】Sigma：对查询、键和值进行差分缩放，以实现高效语言模型

摘要：我们推出了Sigma，这是一个专为系统领域设计的高效大型语言模型，其独特之处在于采用了包括DiffQKV注意力机制在内的新型架构，并在我们精心收集的系统领域数据上进行了预训练。DiffQKV注意力机制通过根据查询（Q&…...

编程日记 2025/5/21 22:46:34

ThinkPHP 8请求处理-获取请求对象与请求上下文

【图书介绍】《ThinkPHP 8高效构建Web应用》-CSDN博客《2025新书 ThinkPHP 8高效构建Web应用编程与应用开发丛书夏磊清华大学出版社教材书籍 9787302678236 ThinkPHP 8高效构建Web应用》【摘要书评试读】- 京东图书使用Composer初始化ThinkPHP 8应用_thinkphp8 compos…...

编程日记 2025/5/22 5:02:05

【设计模式】JAVA 策略工厂模式彻底告别switch if 等

【设计模式】JAVA 策略工厂模式彻底告别switch if 等目录【设计模式】JAVA 策略工厂模式彻底告别switch if 等优势适用场景项目结构关键代码优势消除 switch：将分支逻辑分散到独立的策略类中。开闭原则：新增类型只需添加新的 TypeHa…...

编程日记 2025/5/22 4:58:58

Pyecharts之词云图、面积图与堆叠面积图

在数据可视化的精彩世界里，我们可以运用各种各样的图表来展现数据的魅力，帮助我们更好地理解和分析数据。Pyecharts 作为一款功能强大的数据可视化工具，为我们提供了丰富的图表类型，今天我们将深入探讨词云图、面积图和堆叠面积图…...

编程日记 2025/5/15 17:23:31

SpringBoot3+Vue3开发学生选课管理系统

功能介绍分三个角色登录：学生登录，老师登录，教务管理员登录，不同用户功能不同！ 1.学生用户功能选课记录，查看选课记录，退选。选课管理，进行选课。通知管理，查看通知消…...

编程日记 2025/5/22 4:21:56

71.在 Vue 3 中使用 OpenLayers 实现按住 Shift 拖拽、旋转和缩放效果

前言在前端开发中，地图功能是一个常见的需求。OpenLayers 是一个强大的开源地图库，支持多种地图源和交互操作。本文将介绍如何在 Vue 3 中集成 OpenLayers，并实现按住 Shift 键拖拽、旋转和缩放地图的效果。实现效果按住 Shift 键&#…...

编程日记 2025/5/22 3:21:51

Mybatis——sql映射文件中的增删查改

映射文件内的增删查改准备工作准备一张数据表，用于进行数据库的相关操作。新建maven工程， 导入mysql-connector-java和mybatis依赖。新建一个实体类，类的字段要和数据表的数据对应编写接口编写mybatis主配置文件 public class User {priva…...

编程日记 2025/5/19 18:04:12

Git进阶笔记系列(01)Git核心架构原理 | 常用命令实战集合

读书笔记：卓越强迫症强大恐惧症，在亲子家庭、职场关系里尤其是纵向关系模型里，这两种状态很容易无缝衔接。尤其父母对子女、领导对下属，都有望子成龙、强将无弱兵的期望，然而在你的面前，他们才是永远强大的…...

编程日记 2025/5/21 14:33:23

立创开发板入门ESP32C3第八课修改AI大模型接口为deepseek3接口

#原代码用的AI模型是minimax的API接口，现在试着改成最热门的deepseek3接口。# 首先按理解所得，在main文件夹下，有minimax.c和minimax.h, 它们是这个API接口的头文件和实现文件，然后在main.c中被调用。所以我们一步步更改。申请…...

编程日记 2025/5/17 16:37:02

【云安全】云原生-Docker（五）容器逃逸之漏洞利用

漏洞利用逃逸通过漏洞利用实现逃逸，主要分为以下两种方式： 1、操作系统层面的内核漏洞这是利用宿主机操作系统内核中的安全漏洞，直接突破容器的隔离机制，获得宿主机的权限。攻击原理：容器本质上是通过 Linux 的…...

编程日记 2025/5/18 4:50:11

为什么IDEA提示不推荐@Autowired❓️如果使用@Resource呢❓️

前言在使用 Spring 框架时，依赖注入（DI）是一个非常重要的概念。通过注解，我们可以方便地将类的实例注入到其他类中，提升开发效率。Autowired又是被大家最为熟知的方式，但很多开发者在使用 IntelliJ IDEA …...

编程日记 2025/5/19 20:08:10

PHP：动态网站开发的强大引擎

在互联网技术日新月异的今天，PHP（Hypertext Preprocessor，超文本预处理器）作为一种开源的服务器端脚本语言，凭借其灵活性和易用性，依然是构建动态网站和Web应用程序的首选之一。从简单的个人博客到复杂的企…...

编程日记 2025/5/17 0:43:17

Linux 目录操作详解

Linux目录操作详解 1. 获取当前工作目录1.1 getcwd()1.2 get_current_dir_name() 2. 切换工作目录2.1 chdir() 3. 创建和删除目录3.1 mkdir()3.2 rmdir() 4. 获取目录中的文件列表4.1 opendir() 打开目录4.2 readdir() 读取目录内容4.3 closedir() 关闭目录 5. dirent 结构体6.…...

编程日记 2025/5/17 17:40:54

IMX6ull项目环境配置

文件解压缩： .tar.gz 格式解压为 tar -zxvf .tar.bz2 格式解压为 tar -jxvf 2.4版本后的U-boot.bin移植进SD卡后，通过串口启动配置开发板和虚拟机网络。 setenv ipaddr 192.168.2.230 setenv ethaddr 00:04:9f:…...

编程日记 2025/5/20 23:18:59

redis实现lamp架构缓存

redis服务器环境下mysql实现lamp架构缓存 ip角色环境192.168.242.49缓存服务器Redis2.2.7192.168.242.50mysql服务器mysql192.168.242.51web端php ***默认已安装好redis，mysql 三台服务器时间同步（非常重要） # 下载ntpdate yum -y install…...

编程日记 2025/5/20 20:39:38

与机器学习相关的概率论重要概念的介绍和说明

概率论一些重要概念的介绍和说明 1、试验 （1）试验是指在特定条件下，对某种方法、技术、设备或产品（即，事物）进行测试或验证的过程。 （2）易混淆的概念是，实验。实验&…...

编程日记 2025/5/21 19:29:46

深度学习 Pytorch 单层神经网络

神经网络是模仿人类大脑结构所构建的算法，在人脑里，我们有轴突连接神经元，在算法中，我们用圆表示神经元，用线表示神经元之间的连接，数据从神经网络的左侧输入，让神经元处理之后，从右…...

编程日记 2025/5/13 17:43:59

常用集合-数据结构-MySql

目录 java核心： 常用集合与数据结构: 单例集合: 双列集合: 线程安全的集合: ConcurrentHashMap集合: HashTable集合: CopyOnWriteArrayList集合: CopyOnWriteArraySet集合: ConcurrentLinkedQueue队列: ConcurrentSkipListMap和ConcurrentSkipListSet&…...

编程日记 2025/5/18 7:12:10