数据结构(三) 排序/并查集/图

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1. 排序

2.并查集

3.图

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1.排序:

1.1 概念:

        排序就是将数据按照某种规则进行排列, 具有某种顺序. 分为内排序和外排序.

内排序就是: 将数据放在内存中的排序; 外排序是: 数据太多无法在内存中排序的.

 1.2 插入排序:

        插入排序包含: 直接插入排序和希尔排序.

(1) 直接插入排序:

        (这里图是借用其他博主的), 直接插入排序就是将第i个数值进行和前i数值依次比较, i数值小就一直放到前面, 直到值比他更小或者比完. 时间复杂度是O(N^2). 稳定性: 稳定.

 

void InsertSort(int* a, int n)
{for(int i = 0; i < n - 1; i++){int end = i;int tmp = a[end+1];while(end >= 0){if(tmp < a[end]){a[end + 1] = a[end];end--;}else{break;}}a[end + 1] = tmp;}
}

 (2) 希尔排序:

        是采用gap进行分割前后数, 第i个数和i+gap个数进行比较如果a[i+gap]小于a[i]就交换.

gap算一趟, gap每次缩小1/2;  进行每趟调整. 时间复杂度是:O(NlogN); 稳定性: 不稳定.

void ShellSort(int* a, int n)
{int gap = n;while(gap > 1){gap = gap / 2;for(int i = 0; i < n - gap; i++){int end = i;int tmp = a[end + gap];while(end >= 0){if(tmp < a[end]){a[end + gap] = a[end];end -= gap; }else{break;}}a[end + gap] = tmp;}}
}

1.3 选择排序:

选择排序包括选择排序和堆排序:

(1) 选择排序:

                每趟找到比最小的数, 遍历全数列的那种, 然后进行交换i和最小数值的位置. 时间复杂度是O(N^2); 稳定性: 不稳定.

        还可以依次选两个数, 最大和最小, 放在左边和右边, 进行遍历选择.

void Swap(int* x, int* y)
{int tmp = *x;*x = *y;*y = tmp;
}void SelectSort(int* a, int n)
{for(int i = 0; i < n; i++){int start = i;int min = start;while(start < n){if(a[start] < a[min])min = start;start++;}Swap(&a[i], &a[min]);}
}void SelectSort(int* a, int n)
{int left = 0;int right = n - 1;while(left < right){int minIndex = left;int maxIndex = left;for(int i = left; i <= right; i++){if(a[i] < a[minIndex])minIndex = i;if(a[i] > a[maxIndex])maxIndex = i;}Swap(&a[minIndex], &a[left]);if(left == maxIndex){maxIndex = minIndex;}Swap(&a[maxIndex], &a[right]);left++;right--;}
}

(2) 堆排序:

        具体看上一篇博客:数据结构(二)

void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while(child < n){if(child + 1 < n && a[child + 1] < a[child]){child++;}if(a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}void StackSort(int* a, int n)
{for(int i = (n-1-1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(a, n, i);}int end = n - 1;while(end){Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);end--;}
}

 1.4 交换排序:

        交换排序包含冒泡排序和快速排序:

(1) 冒泡排序:

        相邻两个数进行比较, 大的就交换,这样到最后的就一定是最大的数, 下一次只要遍历到这个最大数前一个即可. 时间复杂度是: O(N^2) ; 稳定性: 稳定;

void BubbleSort(int* a, int n)
{int end = 0;for(end = n - 1; end >= 0; end--){int exchange = 0;for(int i = 0; i < end; i++){if(a[i] > a[i+1]){Swap(&a[i], &a[i+1]);exchange = 1;}}if(exchange = 0)break;}
}

 (2) 快速排序:

        时间复杂度就是O(NlogN), 稳定性: 不稳定.

 a.hoare版本

        最左边作为key进行比较的值, 其次就是left和right不断往中间走, right找到小于key的, left找到大于key的, 然后交换right和left; 将left和right相遇的点在进行分治法使用快速排序.

        

void QuickSort1(int* a, int begin, int end)
{if(begin >= end)return;int left = begin;int right = end;int keyi = left;while(left < right){while(left < right && a[right] >= a[keyi]){right--;}while(left < right && a[left] <= a[keyi]){left++;}if(left < right){Swap(&a[left], &a[right]);}}int meeti = left;Swap(&a[keyi], &a[meeti]);QuickSort1(a, begin, meeti-1);QuickSort1(a,  meeti+1, end);
}

b.挖坑法:

        和上面差别就是把key下标的值取出来了, 但是过程还是和上面一样.

void QuickSort2(int* a, int begin, int end)
{if(begin >= end)return;int left = begin;int right = end;int key = a[left];while(left < right){while(left < right && a[right] >= key){right--;} a[left] = a[right];while(left < right && a[left] <= key){left++;}a[right] = a[left];}int meeti = left;a[meeti] = key;QuickSort2(a, begin, meeti - 1);QuickSort2(a, meeti + 1, end);
}

 c. 前后指针法:

//三数取中;
int GetMidIndex(int* a, int left, int right)
{int mid = left + (right - left) / 2;if(a[mid] > a[left]){if(a[mid] < a[right])return mid;else if(a[left] > a[right])return left;elsereturn right;}
}void QuickSort3(int* a, int begin, int end)
{if(begin >= end)return;int minIndex = GetMidIndex(a, begin, end);Swap(&a[begin], &a[minIndex]);int prev = begin;int cur = begin + 1;int keyi = begin;while(cur <= end){if(a[cur] < a[keyi] && ++prev != cur){Swap(&a[prev], &a[cur]);}cur++;}int meeti = prev;Swap(&a[keyi], &a[meeti]);QuickSort3(a, begin, meeti-1);QuickSort3(a, meeti + 1, end);
}

1.5 归并排序:

        归并排序是采用分治的方法, 将数据对半分开, 使用额外的空间进行收集对半开的数组之间的比较大小的数据. 时间复杂度是O(NlogN); 稳定性: 不稳定.

void _MergeSort(int* a, int left, int right, int* tmp)
{if(left >= right)return;int mid = left + (right - left) / 2;_MergeSort(a, left, mid, tmp);_MergeSort(a, mid+1, right, tmp);int begin1 = left, end1 = mid;int begin2 = mid + 1, end2 = right;int i = left;while(begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if(a[begin1] < a[begin2])tmp[i++] = a[begin1++];elsetmp[i++] = a[begin2++];}while(begin1 <= end1)tmp[i++] = a[begin1++];while(begin2 <= end2)tmp[i++] = a[begin2++];for(int j = left; j <= right; j++)a[j] = tmp[j];}void MergeSort(int* a, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);if(tmp == nullptr){printf("malloc fail\n");exit(-1);}_MergeSort(a, 0, n - 1, tmp);free(tmp);
}

 1.6 计数排序:

        采用计数每个元素出现的次数, 以及最小值和最大值记录, 利用额外空间记录每个元素出现次数, 然后再将原来数组进行额外数组的替换.

void CountSort(int* a, int n)
{int min = a[0];int max = a[0];for(int i = 0; i < n; i++){if(a[i] < min)min = a[i];if(a[i] > max)max = a[i];}int range = max - min + 1;int* count = (int*)calloc(range, sizeof(int));if(count == nullptr){printf("malloc fail!");exit(-1);}for(int i = 0; i < n; i++){count[a[i] - min]++;}int i = 0;for(int j = 0; j < range; j++){while(count[j]--){a[i++] = j + min;}}free(count);
}

2. 并查集:

2.1 概念:

        由于不同元素但是又属于某种集合的数据, 存储使用到并查集合. 元素属于某种集合是按照某种规则来分类的. 需要查询某个元素, 需要找到对应集合去寻找.

        下标对应的就是集合编号, 里面的值对应这个元素属于哪个集合里的. 如果值为负数代表这个集合|拥有的元素数目|-1.

 2.2 并查集实现:

(1) 并查集结构:

        就是采用数组即可.

private:vector<int> _ufs;

(2) 初始化并查集:

        刚开始每个元素都是-1, 为根结点.

 //初始化并查集:刚开始都是-1.UnionFindSet(int n):_ufs(n, -1){}

(3) 查找元素的集合结点:

        遍历到负数的结点就是集合结点. 返回下标即可.

//查找元素所在集合:int FindRoot(int x){int parent = x;//遍历到值为负数就是根结点.while(_ufs[parent] >= 0){//不停迭代下标查询.parent = _ufs[parent];}return parent;}//递归方法查找;int _FindRoot(int x){return _ufs[x] < 0 ? x : _FindRoot(_ufs[x]);}

(4) 检查两个元素是否在一个集合:

        只要检查两个结点是否是同一个集合结点即可.

 //判断两个元素是否在同一个集合中.bool InSameSet(int x1, int x2){//检查两个元素根结点是否同一个即可.return FindRoot(x1)  == FindRoot(x2); }

(5) 两个结点合并:

        首先找到两个元素结点的集合结点, 如果在一个集合里面就不用插入了, 不是的话, 将parent1作为元素个数大的集合, parent2进行合并到parent1里面. 然后改变parent1值的个数以及parent2集合的新集合结点.

//合并两个元素所在集合.bool UnionSet(int x1, int x2){int parent1 = FindRoot(x1); int parent2 = FindRoot(x2);if(parent1 == parent2)return false;if(_ufs[parent1] > _ufs[parent2]){swap(parent1, parent2);}_ufs[parent1] += _ufs[parent2];_ufs[parent2] = parent1;return true;}

(6) 计算集合个数:

//查询集合里面的个数:int GetNum(){int count = 0;for(const int& val : _ufs){if(val < 0)count++;}return count;}

(7) 压缩路径:

        在查找数据的时候就进行压缩路径, 找到该元素的集合结点, 以及它的父结点, 然后进行将这个结点一条路的元素都直接插入到集合结点里面. 而且一般使用于数据量比较大的时候.

//查找元素所在集合://在查找集合结点的时候进行压缩.//+压缩路径:int FindRoot(int x){int root = x;//遍历到值为负数就是根结点.while(_ufs[root] >= 0){//不停迭代下标查询.root = _ufs[root];}while(_ufs[x] >= 0){int parent = _ufs[x];_ufs[x] = root;x = parent;}return root;}//递归方法查找 + 压缩;int _FindRoot(int x){//return _ufs[x] < 0 ? x : _FindRoot(_ufs[x]);int parent = x;if(_ufs[x] >= 0){parent = _FindRoot(_ufs[x]);_ufs[x] = parent;}}

(8) 元素编号和用户输入问题:

        用户一般不会输入数字编号, 可能会输入关键词, 这时候模板函数解决. 以及使用关键词和集合进行互相关联的方法, 就可以解决了.

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <utility>
#include <unordered_map>
using namespace std;
template<class T>
class UnionFindSet
{
public://初始化并查集:刚开始都是-1.UnionFindSet(const vector<T>& v):_ufs(v.size(), -1){for (int i = 0; i < v.size(); i++){_indexMap[v[i]] = i;}}//查找元素所在集合://在查找集合结点的时候进行压缩.//+压缩路径:int FindRoot(const T& x){int root = _indexMap[x];//遍历到值为负数就是根结点.while (_ufs[root] >= 0){//不停迭代下标查询.root = _ufs[root];}//一般数据量少不需要压缩.// while(_ufs[x] >= 0)// {//     int parent = _ufs[x];//     _ufs[x] = root;//     x = parent;// }return root;}//递归方法查找 + 压缩;// int _FindRoot(int x)// {//     //return _ufs[x] < 0 ? x : _FindRoot(_ufs[x]);//     int parent = x;//     if(_ufs[x] >= 0)//     {//         parent = _FindRoot(_ufs[x]);//         _ufs[x] = parent;//     }// }//判断两个元素是否在同一个集合中.bool InSameSet(const T& x1, const T& x2){//检查两个元素根结点是否同一个即可.return FindRoot(x1) == FindRoot(x2);}//合并两个元素所在集合.bool UnionSet(const T& x1, const T& x2){int parent1 = FindRoot(x1); int parent2 = FindRoot(x2);if (parent1 == parent2)return false;if (_ufs[parent1] > _ufs[parent2]){swap(parent1, parent2);}_ufs[parent1] += _ufs[parent2];_ufs[parent2] = parent1;return true;}//查询集合里面的个数:int GetNum(){int count = 0;for (const int& val : _ufs){if (val < 0)count++;}return count;}private:vector<int> _ufs;//原来标记数据T的处于哪个集合里面.unordered_map<T, int> _indexMap;
};int main() {vector<string> v = { "张三", "李四", "王五", "赵六", "田七", "周八", "吴九" };UnionFindSet<string> ufs(v);cout << ufs.GetNum() << endl; //7ufs.UnionSet("张三", "李四");ufs.UnionSet("王五", "赵六");cout << ufs.GetNum() << endl; //5ufs.UnionSet("张三", "赵六");cout << ufs.GetNum() << endl; //4return 0;
}

3. 图

3.1 概念:

        由顶点的集合与顶点之间的关系数据结构,  G = (V， E); V就是顶点集合, E是边的集合.

图分为有向图和无向图, 边是有方向的就是有向图.

概念:

       (1) 完全图: 无向完全图: 任意两个顶点之间有且只要一条边,  那么n个顶点就一共有

n*(n-1)/2; 有向完全图: 任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边, n个顶点就是n*(n-1)条边.

       (2) 领接顶点: 一条边的两个相关连的顶点. 

       (3) 顶点的度: 与顶点相连的边的个数. 包含有入度(指向顶点的边)和出度(指出顶点的边).

       (4) 路径: 从顶点i到顶点j的一组边的集合.

       (5) 路径的长度: 不带权重的就是边的个数, 带权重就是边的权重的总和.

       (6) 简单路径和回路: 路径的结点都不会重复就是简单路径, 回路就是第一个顶点和最后一个结点重合就是回路.

       (8) 子图: 顶点和边包含于原图:

        (9) 连通图: 在无向图中任意一个结点都是相连的.

        (10) 强连通图: 在有向图中, 如果顶点i到顶点j有一条路径, 那么j到i也有.

        (11) 生成树: 连通图的最小连接子图. n个顶点那么就有n-1条边.

 3.2 图的结构:

        图由于只要描述顶点以及顶点之间的边即可, 保持顶点用数组即可, 但是边就需要临界矩阵了.

 3.3 邻接矩阵:

        表示两个顶点是否相连, 用0/1表示的. 邻接矩阵是二维数组. 先用一个一维数组进行保存顶点, 然后用二维数组进行保存边. 可以发现无向图的邻接矩阵是对称边界线的. 但是有向图就是不一定是对称的. 如果边有权重就用权重代替, 没有就是无穷代表.

 3.4 邻接矩阵实现:

(1) 邻接矩阵结构:

        使用_vertexs数组填写顶点的集合, V代表结点的关键词(没有具体类型使用到模板),  _vIndexMap填写的是顶点映射的下标(方便进行边关系的处理), _matrix就是一个二维的邻接矩阵(0/1表示关系).

namespace Matrix
{//V是记录结点关键词, W是记录结点关系, 邻接矩阵边初始都是最大值. Direction标志有向无向.template<class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>class Graph{private:vector<V> _vertexs;//顶点集合;unordered_map<V, int> _vIndexMap; //顶点映射的下标;vector<vector<W>> _matrix; //邻界矩阵.};}

(2) 初始化:

        _vertexs初始化将传递来的顶点信息进行插入, _matrix是矩阵的大小的初始化. 以及_vIndexMap将顶点进行对应映射.

        Graph(const V* vertexs, int n)//初始化顶点集合以及邻接矩阵.:_vertexs(vertexs, vertexs + n),_matrix(n, vector<int>(n, MAX_W)){//建立顶点映射.sfor(int i = 0; i < n; i++){_vIndexMap[vertexs[i]] = i;}}

(3) 获取顶点下标:

        顶点的对应关系都是存储在_vIndexMap里面使用顶点关键词进行查询即可找到对应下标. 如果没有就是不存在这个结点.

        int getVertexIndex(const V& v){auto iter = _vIndexMap.find(v);if(iter != _vIndexMap.end()){return iter->second;}else{throw invalid_argument("不存在的结点");return -1;}}

(4) 连接顶点:

        首先要获得两个顶点的下标, 然后将这两个下标在_matrix邻接表中填写对应权重即可.

        //src和dest进行连接.void addEdge(const V& src, const V& dest, const W& weight){//先获取两个顶点的下标.int srci = getVertexIndex(src);int desti = getVertexIndex(dest);if(Direction == false){_matrix[desti][srci] = weight;}}

(5) 打印:

        首先打印顶点以及对应的下标信息, 其次就是打印邻接表_matrix的数据, 没有连接的用*表示, 连接打印其中权重.

        void print(){//记录结点数:int n = _vertexs.size();//先打印结点关键词对应映射关系:for(int i = 0; i < n; i++){cout << "[" << i "]->" << _vertexs[i] << endl;}cout << endl;cout << " ";for(int i = 0; i < 0; i++){printf("%4d", i);}cout << endl;for(int i = 0; i < n; i++){cout << i << " ";for(int j = 0; j < n; j++){//如果没有顶点相连接.打印*if(_matrix[i][j] == MAX_W){printf("%4c", '*');}else{//打印顶点之间的权重.printf("%4d", _matrix[i][j]);}}cout << endl;}cout << endl;}

(6) 邻接矩阵的优缺点:

        邻接矩阵可以很清楚看到两个顶点的连接情况, 但是不好统计一个顶的路径. 而且在边比较少的情况还有点浪费空间.

 3.5 邻接表:

        使用数组表示顶点集合, 链表表示边.

 3.6 邻接表实现:

(1) 结构:

        实现每个边需要存放目标顶点下标, 以及权重还有下个顶点指针. 图中包含顶点信息, 顶点映射, 以及邻接表(就是将顶点下标, 权重, 下一个顶点指针的指针数组).

namespace LinkTable
{template<class W>struct Edge{//int _srci; //源顶点下标;int _desti;//目标顶点下标.W _weight; //边权重;Edge<W>* _next; // 连接指针;Edge(int desti, const W& weight):_desti(desti),_weight(weight),_next(nullptr){}};template <class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>class Graph{typedef Edge<W> Edge;private:vector<V> _vertexs;unordered_map<V, int> _vIndexMap;vector<Edge*> _LinkTable;};
} 

 (2) 初始化:

        将顶点数据进行拷贝以及初始化邻接表, 以及对应顶点映射关系.

Graph(const V* vertexs, int n):_vertexs(vertexs, vertexs + n),_LinkTable(n, nullptr){for(int i = 0; i < n; i++){_vIndexMap[vertexs[i]] = i;}}

(3) 找到顶点的下标:

        和邻接矩阵查找方式一样.

        int getVertexIndex(const V &v){auto iter = _vIndexMap.find(v);if (iter != _vIndexMap.end()){return iter->second;}else{throw invalid_argument("不存在的结点");return -1;}}

(4) 顶点连接:

        首先找到两个顶点的下标, new一个新结点, 这个邻接表对应srci对应下标赋值给下标, 以及也要给邻接表挂结点. 如果是无向图还需要将目标顶点进行挂在对应邻接表中.

        int addEdge(const V& src, const V& dest, const W& weight){int srci = getVertexIndex(src);int desti = getVertexIndex(dest);Edge* sdEdge = new Edge(desti, weight);sdEdge->_next = _LinkTable[srci];_LinkTable[srci] = sdEdge;if(Direction == false){Edge* dsEdge = new Edge(srci, weight);dsEdge->_next = _LinkTable[desti];_LinkTable[desti] = dsEdge;}}

(5) 打印:

        先打印顶点下标和顶点, 然后取出邻接表的元素进行结点的遍历查询打印.

        void print(){int n = _vertexs.size();for (int i = 0; i < n; i++){cout << "[" << i << "]->" << _vertexs[i];cout << endl;}cout << endl << endl;for (int i = 0; i < n; i++){Edge* cur = _LinkTable[i];cout << "[" << i << ":" << _vertexs[i] << "]->";while (cur){//先打印目标顶点下标, 目标顶点, 还有权重. cout << "[" << cur->_desti << ":" << _vertexs[cur->_desti] << ":" << cur->_weight << "]->";cur = cur->_next;}cout << "nullptr";cout << endl;}}

 3.7 图的遍历:

(1) 广度优先遍历:

        根据图的一层层进行遍历查询.

        先找到对应顶点的下标, 创建队列, 和数组标记遍历的顶点, 然后遍历顶点队列, 如果邻接矩阵相连并且没有遍历过就进行查询.

        void bfs(const V& src){//先找到对应的下标;int srci = getVertexIndex(src);queue<int> q;//原来标记是否遍历过的顶点.vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);q.push(srci);visited[srci] = true;while(!q.empty()){int front = q.front();q.pop();cout << _vertexs[front] << " ";for(int i = 0; i < _vertexs.size(); i++){//判断相连并且没有遍历过.if(_matrix[front][i] != MAX_W && visited[i] == false){q.push(i);visited[i] = true;}}cout << endl;}}

 (2) 深度优先遍历:

        

        void _dfs(int srci, vector<bool>& visited){cout << _vertexs[srci] << " ";visited[srci] = true;for(int i = 0; i < _vertexs.size(); i++){if(_matrix[srci][i] != MAX_W && visited[i]== false){_dfs(i, visited);}}}void dfs(const V& src){int srci = getVertexIndex(src);vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);_dfs(srci, visited);cout << endl;}

3.8 最小生成树:

        1. 只能使用图中的边来构造最小生成树 2. 只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点 3. 选用的n-1条边不能构成回路;

(1) Kruskal算法（克鲁斯卡尔算法)

        使用贪心算法, 先选择最短的路径进行连接顶点, 然后也要判断不能成环.

        记录边使用Edge来记录源顶点和目的顶点, 然后就是使用优先级队列将所有边插入, 进行建立小堆. 还要借助并查集进行检查是否为环, 首先两个边不在同一个集合, 其次将边顶点进行合并, 增加最小生成树的边, 以及最后是否选择边为n-1来判断可以成最小生成树不.

        struct Edge{int _srci;int _desti;W _weight;Edge(int srci, int desti, const W& weight):_srci(srci),_desti(desti),_weight(weight){}bool operator>(const Edge& edge) const{return _weight > edge._weight;}};//强制生成默认构造;Graph() = default;//最小生成树, 最后返回权重.W Kruskal(Graph<V, W, MAX_W, Direction>& minTree){int n = _vertexs.size();//设置最小生成树的顶点集合;minTree._vertexs = _vertexs;//设置最小生成树的顶点映射;minTree._vIndexMap = _vIndexMap;//设置最小生成树邻接矩阵的大小.minTree._matrix.resize(n, vector<W>(n, MAX_W));priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minHeap;//将所有边放到优先级队列中;for(int i = 0; i < n; i++){//只用遍历一般矩阵, 因为无向图的对称.for(int j = 0; j < i; j++){if(_matrix[i][j] != MAX_W){minHeap.push(Edge(i, j, _matrix[i][j]));}}}n个顶点的并查集;UnionFindSet ufs(n);int count = 0;//选择边的个数;W totalWeight = W();//总权重;while(!minHeap.empty() && count < n-1){//取出优先级队列的最小的边;Edge minEdge = minHeap.top();minHeap.pop();int srci = minEdge._srci;int desti = minEdge._desti;W weight = minEdge._weight;//两个边不属于一个集合.if(!ufs.InSameSet(srci, desti)){minTree.addEdge(srci, desti, weight);//合并两个顶点.ufs.UnionSet(srci, desti);count++;totalWeight += weight;cout << "选边: " << _vertexs[srci] << "->" << _vertexs[desti] << ":" << weight << endl;}else{cout << "成环: " << _vertexs[srci] << "->" << _vertexs[desti] << ":" << weight << endl;}}if(count == n - 1){cout << "构建最小生成树成功" << endl;return totalWeight;}else{cout << "无法构成最小生成树" << endl;return W();}}

 (2) Prim算法（普里姆算法）

        先选顶点在进行贪心遍历.

        首先设置最小生成树的顶点集合, 顶点映射, 邻接矩阵. 找到开始start顶点的下标, 使用forest进行记录顶点使用情况, 优先级队列minheap进行记录边的使用, 将所有边插入minHeap; 遍历优先级队列的边, 以及将顶点srci和desti进行连接, 标志一下这个位置以及选过了,, 接着就是判断是否进行使用n-1条边.

        W Prim(Graph<V, W, MAX_W, Direction>& minTree, const V& start){int n = _vertexs.size();//设置最小生成树的顶点集合;minTree._vertexs = _vertexs;//设置最小生成树的顶点映射;minTree._vIndexMap = _vIndexMap;//设置最小生成树邻接矩阵的大小.minTree._matrix.resize(n, vector<W>(n, MAX_W));int starti = getVertexIndex(start);vector<bool> forest(n, false);forest[starti] = true;priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minHeap;for(int i = 0; i < n; i++){if(_matrix[starti][i] != MAX_W){minHeap.push(Edge(starti, i, _matrix[starti][i]));}}int count = 0;W totalWeight = W();while(!minHeap.empty() && count < n - 1){Edge minEdge = minEdge.top();minHeap.pop();int srci = minEdge._srci, desti = minEdge._desti;W weight = minEdge._weight;if(forest[desti] == false){for(int i = 0; i < n; i++){if(_matrix[desti][i] != MAX_W && forest[i] == false){minHeap.push(Edge(desti, i, _matrix[desti][i]));}}minTree._addEdge(srci, desti, weight);forest[desti] = true;totalWeight += weight;cout << "选边: " << _vertexs[srci] << "->" << _vertexs[desti] << ":" << weight << endl;}else{cout << "成环" << _vertexs[srci] << "->" << _vertexs[desti] << ":" << weight << endl;}}if(count == n - 1){cout << "构建最小生成树成功" << endl;return totalWeight;}else{cout << "无法构建最小生成树" << endl;return W();}}

3.9 最短路径:

(1) Dijkstra算法（迪杰斯特拉算法）

 

         void Dijkstra(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& parentPath){int n = _vertexs.size();int srci = getVertexIndex(src);//各个顶点权重初始化;dist.resize(n, MAX_W);//顶点的前驱初始值.parentPath.resize(n, -1);dist[srci] = W();//源顶点权重设置;vector<bool> S(n, false);//使用过顶点数组;for(int i = 0; i < n; i++){//最小权重;W minW = MAX_W;//最小权重的顶点;int u = -1;for(int j = 0; j < n; j++){//顶点没有使用过并且它的权重小于最小权重;if(S[j] == false && dist[j] < minW){//改变最小权重和最小权重的结点;minW = dist[j];u = j;}}S[u] = true;//对连接出去的顶点进行松弛更新;for(int b = 0; v < n; v++){//如果u顶点到v顶点相连, 并且v顶点没有使用过, 其次就是最小权重数组dist的u顶点+权重u到v小于最小权重dist的v顶点;//就改变dist的v顶点的最小权重, 并且建立一下上一个顶点.if(S[v] == false && _matrix[u][v] != MAX_W && dist[u] + _matrix[u][v] < dist[v]){dist[v] = dist[u] + _matrix[u][v];parentPath[v] = u;}}}}void printShortPath(const V& src, const vector<W>& dist, const vector<int>& parentPath){int n = _vertexs.size();int srci = getVertexIndex(src);for(int i = 0; i < n; i++){vector<int> path;int cur = i;//cur从结点开始向前遍历找上一个顶点.while(cur != -1){path.push_back(cur);cur = parentPath[cur];}revese(path.begin(), path.end());//打印顶点元素, 以及路径的权重.for(int j = 0; j < path.size(); j++){cout << _vertexs[path[j]] << "->";}cout << "路径的权重: " << dist[i] << " " <<endl;}}

(2) Bellman-Ford算法（贝尔曼福特算法）

        先获得src顶点的下标, 将权重数组dist以及前结点数组parentpath进行初始化. 如果顶点i与顶点i和j之间的权重之和小于dist[i,j]就更新权重数组.以及前结点数组. 如果继续更新还可以找到最小路径就是负权重, 无法进行计算最小路径.

        void BellmanFord(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& parentPath){int n = _vertexs.size();int srci = getVertexIndex(src);dist.resize(n, MAX_W);parentPath.resize(n, -1);dist[srci] = W();for(int k = 0; k < n - 1; k++){bool update = false;for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < n; j++){if(_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j]){dist[j] = dist[i] + _matrix[i][j];parentPath[j] = i;update = true;}}}if(update == false){break;}}//如果n-1轮还可以更新就是带有负权重.for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < n; j++){if(_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j]){//带负权重无法计算出最小路径.return false;}}}return true;}

(3) Floyd-Warshall算法（弗洛伊德算法）

        vvDist进行顶点i到顶点j的二维数组, vvparentPath记录前一个顶点. 首先将顶点相连的权重全部插入vvDist里面, 其次就是当i==j就是顶点到自己的. 然后如果顶点i到顶点k以及顶点k到顶点j的权重小于顶点i到j就进行更新vvDist以及vvparentPath.

        void FloydWarshall(vector<vector<W>>& vvDist, vector<vector<int>>& vvparentPath){int n = _vertexs.size();vvDist.resize(n, vector<W>(n, MAX_W));vvparentPath.resize(n, vector<int>(n, -1));for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < n; j++){if(_matrix[i][j] != MAX_W){vvDist[i][j] = _matrix[i][j];vvparentPath[i][j] = i;}if(i == j){vvDist[i][j] = W();}}}for(int k = 0; k < n; k++){for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < n; j++){if(vvDist[i][k] != MAX_W && vvDist[k][j] != MAX_W && vvDist[i][k] + vvDist[k][j] < vvDist[i][j]){vvDist[i][j]= vvDist[i][k] + vvDist[k][j];vvparentPath[i][j] = vvparentPath[k][j];}}}}}