朴素贝叶斯分类器

一、生成模型（学习）（Generative Model） vs 判别模型（学习）（Discriminative Model）

结论：贝叶斯分类器是生成模型

1、官方说明

生成模型对联合概率 p(x, y)建模， 判别模型对条件概率 p(y | x)进行建模。

2、通俗理解

生成模型重点在于“生成”过程。比如你想做一道菜，生成模型就像是在研究各种食材（x）和菜的口味（y）同时出现的“配方”，它试图去了解整个“烹饪过程”中，食材和口味是如何一起搭配出现的，是从整体上把握“食材+口味”这个组合出现的概率。

判别模型重点在于评判。还是用做菜举例，判别模型就像是在已经知道食材（x）的情况下，去评判这道菜会是什么口味（y）。它不关心整个“烹饪过程”，只关心在给定食材这个前提下，不同口味出现的可能性，是从结果导向的角度，去判断在x出现的情况下，y出现的概率。

3、举例

以水果分类问题为例

判别学习算法：如果我们要找到一条直线把两类水果分开， 这条直线可以称作边界， 边界的两边是不同类别的水果；

生成学习算法：如果我们分别为樱桃和猕猴桃生成一个模型来描述他们的特征， 当要判断一个新的样本是什么水果时， 可以将该样本带入两种水果的模型， 比较看新的样本是更像樱桃还是更像猕猴桃。

二、生成学习算法

以水果分类问题为例

1、数学符号说明

y = 0：样本是樱桃

y = 1：样本是猕猴桃

p(y)：类的先验概率， 表示每一类出现的概率。

p(x | y)：样本出现的条件概率

• p(x | y=0)对樱桃的特征分布建模，
• p(x | y=1)对猕猴桃的特征分布建模。

p(y | x)：类的后验概率

注：

• 先验概率：就是在没看到具体证据之前，基于已有经验或知识对事件发生概率的初步判断。
• 后验概率：就是在看到具体证据之后，结合先验概率和新证据，对事件发生概率的更新判断。

2、贝叶斯公式

计算出样本属于每一类的概率：

分类问题只需要预测类别， 只需要比较样本属于每一类的概率， 选择概率值最大的那一类即可， 因此， 分类器的判别函数表示为：

因为p(y)p(x | y)=p(x , y)，而p(x)是一个常数，故贝叶斯公式计算公式计算需要p(x , y)值，它对联合概率进行建模， 与生成模型的定义一致， 因此是生成学习算法

三、朴素贝叶斯分类器

假设特征向量的分量之间相互独立

样本的特征向量 x，根据条件概率公式可知该样本属于某一类ci的概率为：

由于假设特征向量各个分量相互独立， 因此有：

是特征向量 x 的各个分量， p(x)对于所有类别来说都是相等的， 因此用一个常数 Z 来表示。

1、离散型特征

计算公式：

特殊情况

在计算条件概率时， 如果  为 0， 即特征分量的某个取值在某一类训练样本中一次都没出现， 则会导致特征分量取到这个值时的预测函数为 0。 可以使用拉普拉斯平滑（Laplace smoothing） 来处理这种情况。
具体做法就是给分子和分母同时加上一个正整数， 给分子加上 1， 分母加上特征分量取值的 k 种情况，这样就可以保证所有类的条件概率之和还是 1， 并且避免了预测结果为 0 的情况。

类  出现的概率为：

最终分类判别函数可以写成：

2、连续型特征

假设特征向量的分量服从一维正态分布

计算公式：

样本属于某一类  的概率：

最终分类判别函数可以写成：

上述两种特征唯一区别在于计算方法不一样

四、代码实现连续型特证朴素贝叶斯分类器 

1、算法流程

（1） 收集训练样本；

（2） 计算各类别的先验概率 ；

（3） 计算每个类别下各特征属性 xj的条件概率 ；

（4） 计算后验概率 ；

（5） 将待分类样本归类到后验概率最大的类别中。

2、数据集选择

iris 数据集。包含 150 个数据样本， 分为 3 类， 每类 50 个数据， 每个数据包含 4个属性， 即特征向量的维数为 4。

3、需要安装的 Python 库

numPy：数值计算库
pandas：数据操作和分析库
sklearn：机器学习的 Python 库

pip install numpy
pip install pandas
pip install scikit-learn

4、手动实现（分步骤代码）

1）收集训练样本

def loadData(filepath):""":param filepath: csv:return: list"""data_df = pd.read_csv(filepath)data_list = np.array(data_df)     data_list = data_list.tolist()    # 将pandas DataFrame转换成Numpy的数组再转换成列表print("Loaded {0} samples successfully.".format(len(data_list)))return data_list# 按ratio比例划分训练集与测试集
def splitData(data_list, ratio):""":param data_list:all data with list type:param ratio: train date's ratio:return: list type of trainset and testset"""train_size = int(len(data_list) * ratio)random.shuffle(data_list)  #随机打乱列表元素trainset = data_list[:train_size]testset = data_list[train_size:]return trainset, testset# 按类别划分数据
def seprateByClass(dataset):""":param dataset: train data with list type:return: seprate_dict:separated data by class;info_dict:Number of samples per class(category)"""seprate_dict = {}info_dict = {}for vector in dataset:if vector[-1] not in seprate_dict:seprate_dict[vector[-1]] = []info_dict[vector[-1]] = 0seprate_dict[vector[-1]].append(vector)info_dict[vector[-1]] += 1return seprate_dict, info_dict

 主函数中调用

 data_list = loadData('IrisData.csv')trainset, testset = splitData(data_list, 0.7)dataset_separated, dataset_info = seprateByClass(trainset)

2） 计算各类别的先验概率 

def calulateClassPriorProb(dataset, dataset_info):"""calculate every class's prior probability:param dataset: train data with list type:param dataset_info: Number of samples per class(category):return: dict type with every class's prior probability"""dataset_prior_prob = {}sample_sum = len(dataset)for class_value, sample_nums in dataset_info.items():dataset_prior_prob[class_value] = sample_nums / float(sample_sum)return dataset_prior_prob

主函数中调用

prior_prob = calulateClassPriorProb(trainset, dataset_info)

3） 计算每个类别下各特征属性  的条件概率 

先计算均值和方差

def mean(number_list):number_list = [float(x) for x in number_list]  # str to numberreturn sum(number_list) / float(len(number_list))def var(number_list):number_list = [float(x) for x in number_list]avg = mean(number_list)var = sum([math.pow((x - avg), 2) for x in number_list]) / float(len(number_list))return var# 计算每个属性的均值和方差
def summarizeAttribute(dataset):"""calculate mean and var of per attribution in one class:param dataset: train data with list type:return: len(attribution)'s tuple ,that's (mean,var)  with per attribution"""dataset = np.delete(dataset, -1, axis=1)  # delete label# zip函数将数据样本按照属性分组为一个个列表，然后可以对每个属性计算均值和标准差。summaries = [(mean(attr), var(attr)) for attr in zip(*dataset)]return summaries# 按类别提取数据特征
def summarizeByClass(dataset_separated):"""calculate all class with per attribution:param dataset_separated: data list of per class:return: num:len(class)*len(attribution){class1:[(mean1,var1),(),...],class2:[(),(),...]...}"""summarize_by_class = {}for classValue, vector in dataset_separated.items():summarize_by_class[classValue] = summarizeAttribute(vector)return summarize_by_class  #返回的是某类别各属性均值方差的列表

主函数中调用 ：

 summarize_by_class = summarizeByClass(dataset_separated)

计算条件概率 

def calculateClassProb(input_data, train_Summary_by_class):"""calculate class conditional probability through multiplyevery attribution's class conditional probability per class:param input_data: one sample vectors:param train_Summary_by_class: every class with every attribution's (mean,var):return: dict type , class conditional probability per class of this input data belongs to which class"""prob = {}p = 1for class_value, summary in train_Summary_by_class.items():prob[class_value] = 1for i in range(len(summary)):mean, var = summary[i]x = input_data[i]exponent = math.exp(math.pow((x - mean), 2) / (-2 * var))p = (1 / math.sqrt(2 * math.pi * var)) * exponentprob[class_value] *= preturn prob

4） 计算后验概率并将待分类样本归类到后验概率最大的类别中

主函数中使用

# 下面对测试集进行预测correct = 0     # 预测的准确率for vector in testset:input_data = vector[:-1]label = vector[-1]prob = calculateClassProb(input_data, summarize_by_class)result = {}for class_value, class_prob in prob.items():p = class_prob * prior_prob[class_value]result[class_value] = ptype = max(result, key=result.get)print(vector)print(type)if type == label:correct += 1print("predict correct number:{}, total number:{}, correct ratio:{}".format(correct, len(testset), correct / len(testset)))

5、手动实现（整体代码）

# 导入需要用到的库
import pandas as pd
import numpy as np
import random
import math# 载入数据集
def loadData(filepath):""":param filepath: csv:return: list"""data_df = pd.read_csv(filepath)data_list = np.array(data_df)     # 将pandas DataFrame转换成Numpy的数组再转换成列表data_list = data_list.tolist()print("Loaded {0} samples successfully.".format(len(data_list)))return data_list# 划分训练集与测试集
def splitData(data_list, ratio):""":param data_list:all data with list type:param ratio: train date's ratio:return: list type of trainset and testset"""train_size = int(len(data_list) * ratio)random.shuffle(data_list)  #随机打乱列表元素trainset = data_list[:train_size]testset = data_list[train_size:]return trainset, testset# 按类别划分数据
def seprateByClass(dataset):""":param dataset: train data with list type:return: seprate_dict:separated data by class;info_dict:Number of samples per class(category)"""seprate_dict = {}info_dict = {}for vector in dataset:if vector[-1] not in seprate_dict:seprate_dict[vector[-1]] = []info_dict[vector[-1]] = 0seprate_dict[vector[-1]].append(vector)info_dict[vector[-1]] += 1return seprate_dict, info_dict# 计算先验概率
def calulateClassPriorProb(dataset, dataset_info):"""calculate every class's prior probability:param dataset: train data with list type:param dataset_info: Number of samples per class(category):return: dict type with every class's prior probability"""dataset_prior_prob = {}sample_sum = len(dataset)for class_value, sample_nums in dataset_info.items():dataset_prior_prob[class_value] = sample_nums / float(sample_sum)return dataset_prior_prob# 计算均值的函数
def mean(number_list):number_list = [float(x) for x in number_list]  # str to numberreturn sum(number_list) / float(len(number_list))# 计算方差的函数
def var(number_list):number_list = [float(x) for x in number_list]avg = mean(number_list)var = sum([math.pow((x - avg), 2) for x in number_list]) / float(len(number_list))return var# 计算每个属性的均值和方差
def summarizeAttribute(dataset):"""calculate mean and var of per attribution in one class:param dataset: train data with list type:return: len(attribution)'s tuple ,that's (mean,var)  with per attribution"""dataset = np.delete(dataset, -1, axis=1)  # delete label# zip函数将数据样本按照属性分组为一个个列表，然后可以对每个属性计算均值和标准差。summaries = [(mean(attr), var(attr)) for attr in zip(*dataset)]return summaries# 按类别提取数据特征
def summarizeByClass(dataset_separated):"""calculate all class with per attribution:param dataset_separated: data list of per class:return: num:len(class)*len(attribution){class1:[(mean1,var1),(),...],class2:[(),(),...]...}"""summarize_by_class = {}for classValue, vector in dataset_separated.items():summarize_by_class[classValue] = summarizeAttribute(vector)return summarize_by_class  #返回的是某类别各属性均值方差的列表# 计算条件概率
def calculateClassProb(input_data, train_Summary_by_class):"""calculate class conditional probability through multiplyevery attribution's class conditional probability per class:param input_data: one sample vectors:param train_Summary_by_class: every class with every attribution's (mean,var):return: dict type , class conditional probability per class of this input data belongs to which class"""prob = {}p = 1for class_value, summary in train_Summary_by_class.items():prob[class_value] = 1for i in range(len(summary)):mean, var = summary[i]x = input_data[i]exponent = math.exp(math.pow((x - mean), 2) / (-2 * var))p = (1 / math.sqrt(2 * math.pi * var)) * exponentprob[class_value] *= preturn probif __name__ == '__main__':data_list = loadData('IrisData.csv')trainset, testset = splitData(data_list, 0.7)dataset_separated, dataset_info = seprateByClass(trainset)summarize_by_class = summarizeByClass(dataset_separated)prior_prob = calulateClassPriorProb(trainset, dataset_info)# 下面对测试集进行预测correct = 0     # 预测的准确率for vector in testset:input_data = vector[:-1]label = vector[-1]prob = calculateClassProb(input_data, summarize_by_class)result = {}for class_value, class_prob in prob.items():p = class_prob * prior_prob[class_value]result[class_value] = ptype = max(result, key=result.get)print(vector)print(type)if type == label:correct += 1print("predict correct number:{}, total number:{}, correct ratio:{}".format(correct, len(testset), correct / len(testset)))

6、使用 sklearn 库实现

from sklearn import datasets
from sklearn.naive_bayes import GaussianNB
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score# 加载iris数据集
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data
y = iris.target# 划分数据集为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, train_size=0.7)# 初始化朴素贝叶斯分类器（这里使用高斯朴素贝叶斯）
gnb = GaussianNB()
# 使用训练集训练朴素贝叶斯分类器
gnb.fit(X_train, y_train)
# 使用测试集进行预测
y_pred = gnb.predict(X_test)
# 计算预测的准确率
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print("Accuracy: {}".format(accuracy))