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矩阵求逆的几种方式

news 来源：原创 2025/6/19 4:02:21

矩阵求逆的几种方式（以二阶为例）

在这里插入图片描述

矩阵求逆的方法有多种，以下是常用的几种方式总结：

1. 行列式公式法

这是最常见的方法，适用于 $\times 2$ 矩阵。
对于矩阵：
$\Phi = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$
其逆矩阵为：
$\Phi^{-1} = \frac{1}{\text{det}(\Phi)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix},$
前提是行列式 $\text{det}(\Phi) = ad - bc \neq 0$ 。

2. 伴随矩阵法

适用于任意 $\times n$ 矩阵，特别是在符号化计算中常用。
步骤：

计算矩阵的代数余子式，构造伴随矩阵 $\text{adj}(\Phi)$ 。
使用公式：
$\Phi^{-1} = \frac{1}{\text{det}(\Phi)} \cdot \text{adj}(\Phi).$
对于 $\times 2$ 矩阵：
$\text{adj}(\Phi) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}.$

以下是** $\times 2$ 矩阵伴随矩阵**的推导过程：

2.1. 伴随矩阵定义

给定矩阵：
$\Phi = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$
伴随矩阵 $\text{adj}(\Phi)$ 是 $\Phi$ 的代数余子式矩阵的转置。

2.2. 求代数余子式

代数余子式 $A_{ij}$ 定义为：
$A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij},$
其中 $M_{ij}$ 是去掉矩阵 $\Phi$ 第 $i$ 行、第 $j$ 列后得到的余矩阵的行列式。

对于 $\times 2$ 矩阵 $\Phi$ ，每个代数余子式计算如下：

计算 $A_{11}$ ：
$A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \text{det}\begin{bmatrix} d \end{bmatrix} = 1 \cdot d = d.$
计算 $A_{12}$ ：
$A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \text{det}\begin{bmatrix} c \end{bmatrix} = -1 \cdot c = -c.$
计算 $A_{21}$ ：
$A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \text{det}\begin{bmatrix} b \end{bmatrix} = -1 \cdot b = -b.$
计算 $A_{22}$ ：
$A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \text{det}\begin{bmatrix} a \end{bmatrix} = 1 \cdot a = a.$

2.3. 构造代数余子式矩阵

将上述代数余子式按原矩阵 $\Phi$ 的顺序排列，得到代数余子式矩阵：
$\text{代数余子式矩阵} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}.$

2.4. 求伴随矩阵

伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置：
$\text{adj}(\Phi) = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a\end{bmatrix}^T= \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}.$

因此对于 $\times 2$ 矩阵：
$\Phi = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$
其伴随矩阵为：
$\text{adj}(\Phi) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}.$

3. 初等行变换法（高斯-约旦消元法）

通过将矩阵扩展为一个分块矩阵：
$[\Phi | I],$
然后对左边矩阵执行初等行变换，直到其变成单位矩阵 $I$ ，右侧的矩阵就是逆矩阵 $\Phi^{-1}$ 。
以下是利用高斯-约旦消元法求矩阵逆矩阵的详细步骤（以 $\times 2$ 矩阵为例）：

3.1. 问题描述

给定一个 $\times 2$ 矩阵：
$\Phi = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$
目标是通过初等行变换计算其逆矩阵 $\Phi^{-1}$ 。

3.2. 扩展增广矩阵

将 $\Phi$ 扩展为增广矩阵：
$[\Phi | I] = \begin{bmatrix} a & b & 1 & 0 \\ c & d & 0 & 1 \end{bmatrix}.$

目标是通过行变换将左侧矩阵变成单位矩阵 $I$ ，右侧变成逆矩阵 $\Phi^{-1}$ 。

3.3 高斯-约旦消元法步骤

步骤 1：将 $[1, 1]$ 位置元素变为1（主元化）

通过行变换使 $a$ 变为1。若 $\neq 0$ ，直接将第1行除以 $a$ ：
$R_1 \to \frac{R_1}{a},$
增广矩阵变为：
$\begin{bmatrix} 1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0 \\ c & d & 0 & 1 \end{bmatrix}.$

步骤 2：消去第2行的第1列元素

将第2行的第1列元素 $c$ 消为0：
$R_2 \to R_2 - c \cdot R_1,$
增广矩阵变为：
$\begin{bmatrix} 1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & d - \frac{bc}{a} & -\frac{c}{a} & 1 \end{bmatrix}.$

步骤 3：将 $[2, 2]$ 位置元素变为1（主元化）

通过行变换使 $\frac{bc}{a}$ 变为1。若 $\frac{bc}{a} \neq 0$ ，将第2行除以该值：
$R_2 \to \frac{R_2}{d - \frac{bc}{a}},$
增广矩阵变为：
$\begin{bmatrix} 1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{-c}{a(d - \frac{bc}{a})} & \frac{1}{d - \frac{bc}{a}} \end{bmatrix}.$

步骤 4：消去第1行的第2列元素

将第1行的第2列元素 $\frac{b}{a}$ 消为0：
$R_1 \to R_1 - \frac{b}{a} \cdot R_2,$
增广矩阵变为：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{d}{\text{det}(\Phi)} & \frac{-b}{\text{det}(\Phi)} \\ 0 & 1 & \frac{-c}{\text{det}(\Phi)} & \frac{a}{\text{det}(\Phi)} \end{bmatrix},$
其中 $\text{det}(\Phi) = ad - bc$ 。

最终，左侧已变成单位矩阵 $I$ ，右侧即为逆矩阵 $\Phi^{-1}$ ：
$\Phi^{-1} = \frac{1}{\text{det}(\Phi)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix},$
前提是 $\text{det}(\Phi) \neq 0$ 。

4. 数值计算法（如LU分解法）

对于数值计算，通过矩阵分解技术（如LU分解）来求解逆矩阵：

将矩阵分解为 $\Phi = LU$ 的形式；
分别解两个三角方程，最终获得逆矩阵。
此方法更适合大规模矩阵的计算，但对于 $\times 2$ 矩阵意义有限。

以下是利用LU分解法求逆矩阵的详细步骤：

4.1. 问题描述

给定一个 $\times 2$ 矩阵：
$\Phi = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

目标是通过LU分解计算其逆矩阵 $\Phi^{-1}$ 。

4.2. LU分解概念

LU分解将矩阵 $\Phi$ 分解为下列形式：
$\Phi = LU,$
其中：

$L$ 为下三角矩阵，主对角线元素为1；
$U$ 为上三角矩阵。

对于 $\times 2$ 矩阵，分解过程如下：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{bmatrix}, \quad U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{bmatrix}.$

4.3. LU分解步骤

步骤 1：初始化

假设 $\Phi = LU$ ，则有：
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{bmatrix}.$
通过矩阵乘法，得到：
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ l_{21} u_{11} & l_{21} u_{12} + u_{22} \end{bmatrix}.$

步骤 2：逐元素比较，确定 $L$ 和 $U$ 的元素

比较 $[1, 1]$ 位置元素：
$u_{11} = a.$
比较 $[1, 2]$ 位置元素：
$u_{12} = b.$
比较 $[2, 1]$ 位置元素：
$l_{21} = \frac{c}{u_{11}} = \frac{c}{a}.$
比较 $[2, 2]$ 位置元素：
$u_{22} = d - l_{21} u_{12} = d - \frac{c}{a} \cdot b.$

最终得到：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{c}{a} & 1 \end{bmatrix}, \quad U = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d - \frac{bc}{a} \end{bmatrix}.$

4. 求逆矩阵 $\Phi^{-1}$

LU分解完成后，通过分块求逆的方式得到结果。

步骤 1：解 $L Y = I$ （前向替代）

将 $\Phi^{-1}$ 分为两部分：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{c}{a} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$
逐行解得：

第1行：
$y_{11} = 1, \quad y_{12} = 0.$
第2行：
$y_{21} = -\frac{c}{a}, \quad y_{22} = 1.$

因此：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{c}{a} & 1 \end{bmatrix}.$

步骤 2：解 $U Z = Y$ （后向替代）

$\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d - \frac{bc}{a} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{c}{a} & 1 \end{bmatrix}.$
逐行解得：

第2行：
$z_{21} = \frac{-\frac{c}{a}}{d - \frac{bc}{a}} = \frac{-c}{ad - bc}, \quad z_{22} = \frac{1}{d - \frac{bc}{a}} = \frac{a}{ad - bc}.$
第1行：
$z_{11} = \frac{1 - b \cdot z_{21}}{a} = \frac{d}{ad - bc}, \quad z_{12} = \frac{0 - b \cdot z_{22}}{a} = \frac{-b}{ad - bc}.$

最终得到：
$\begin{bmatrix} \frac{d}{ad - bc} & \frac{-b}{ad - bc} \\ \frac{-c}{ad - bc} & \frac{a}{ad - bc} \end{bmatrix}.$

因此，逆矩阵为：
$\Phi^{-1} = Z = \frac{1}{\text{det}(\Phi)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}.$

LU分解法通过矩阵分解简化了求解逆矩阵的过程，特别是对于高维矩阵，通过分解后的前向替代和后向替代显著提高了计算效率。

5. 符号化工具或计算机软件

如使用数学软件（Matlab、NumPy）直接调用内置函数：

NumPy: np.linalg.inv(Phi)
Matlab: inv(Phi)

这类方法内部可能实现了上述的数值算法，适合工程计算。

6. 定义验证法

利用逆矩阵的定义 $\Phi \Phi^{-1} = I$ ，通过代数方程的形式验证或构造满足该条件的矩阵。
例如，对于简单的 $\times 2$ 矩阵，可以手动解联立方程组获得逆矩阵。

6.1. 问题描述

给定一个 $\times 2$ 矩阵：
$\Phi = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$
我们要求矩阵 $\Phi$ 的逆矩阵 $\Phi^{-1}$ ，并利用定义 $\Phi \Phi^{-1} = I$ 来求解。

我们假设 $\Phi^{-1}$ 为：
$\Phi^{-1} = \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix}.$

6.2. 利用矩阵乘法公式

根据定义 $\Phi \Phi^{-1} = I$ ，我们可以写出方程：
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$

进行矩阵乘法，得到：
$\begin{bmatrix} ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$

6.3. 通过逐元素比较构造方程

从上面的等式中，我们得到以下4个方程：

第一行第一列：
$a x + b z = 1.$
第一行第二列：
$a y + b w = 0.$
第二行第一列：
$c x + d z = 0.$
第二行第二列：
$cy + d w = 1.$

这些方程构成了一个线性方程组，接下来我们解这个方程组。

6.4. 解联立方程组

为了得到 $x, y, z, w$ 的值，我们可以按照以下步骤进行解算。

步骤 1：解第3个方程

从第3个方程：
$c x + d z = 0,$
解得：
$-\frac{c}{d}x.$

步骤 2：代入第1个方程

将 $-\frac{c}{d}x$ 代入第1个方程：
$b\left(-\frac{c}{d}x\right) = 1,$
得到：
$\frac{bc}{d}x = 1.$
提取 $x$ ，得到：
$x\left(a - \frac{bc}{d}\right) = 1.$
因此：
$\frac{d}{ad - bc}.$

步骤 3：解第4个方程

从第4个方程：
$cy + d w = 1,$
解得：
$\frac{1 - cy}{d}.$

步骤 4：代入第2个方程

将 $\frac{1 - cy}{d}$ 代入第2个方程：
$b\left(\frac{1 - cy}{d}\right) = 0,$
得到：
$\frac{b(1 - cy)}{d} = 0,$
整理后：
$\frac{b}{d} - \frac{bc}{d}y = 0.$
提取 $y$ ，得到：
$y\left(a - \frac{bc}{d}\right) = -\frac{b}{d}.$
因此：
$\frac{-b}{ad - bc}.$

步骤 5：解 $w$

将 $\frac{-b}{ad - bc}$ 代入 $\frac{1 - cy}{d}$ ：
$\frac{1 - c\left(\frac{-b}{ad - bc}\right)}{d} = \frac{d}{ad - bc}.$

#3## 6.5. 最终结果
通过以上步骤，我们得到了 $\Phi^{-1}$ 的各个元素：
$\Phi^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{d}{ad - bc} & \frac{-b}{ad - bc} \\ \frac{-c}{ad - bc} & \frac{a}{ad - bc} \end{bmatrix}.$
利用逆矩阵的定义 $\Phi \Phi^{-1} = I$ ，我们通过构造并解联立方程组的方法成功求得了 $\times 2$ 矩阵的逆矩阵。该方法虽然手动推导较为繁琐，但对于理解逆矩阵的性质和计算过程具有重要的理论意义。

7. 比较总结

方法	特点	适用场景
行列式公式法	直接计算，简单明了	小规模矩阵
伴随矩阵法	适用于符号化求解，但计算代数余子式较繁琐	手动推导或符号化运算
初等行变换法	理论基础强，操作灵活	理论学习与推导
数值计算法	效率高，适合大矩阵	工程计算与编程实现
符号化工具或函数	快捷简洁，依赖工具	实际工程问题求解
定义验证法	基础方法，计算量较大	理论验证与构造

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