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有心力场的两体问题

news 来源：原创 2025/5/7 1:49:04

有心力场中的两体问题是经典力学中的重要研究对象，中心力场问题通常涉及两个相互作用的物体（例如行星与恒星、电子与原子核等）。为了简化分析，问题往往可以转化为一个等效的单体问题。这种方法大大提高了问题的可解性，是解决两体和多体问题的基础步骤之一。将两体问题简化为单体问题，实际上是利用了相对运动和质心运动的分离性，反映了中心力场中运动的对称性和守恒量（如动量守恒和角动量守恒）。

通过研究两体系统，可以揭示从微观到宏观不同尺度下的运动规律，例如：（1）基于开普勒定律和牛顿万有引力理论，天体的运动轨迹可以用两体问题的解描述；（2）描述 $\alpha$ 粒子与原子核间库仑相互作用时起到关键作用；（3）分子或原子间通过范德华力、静电力等中心力作用，例如分子振动模式的分析；（4）两体问题为航天器的轨迹预测和燃料优化提供基础，例如登月任务的轨迹计算；（5）在广义相对论框架下，强引力场中的两体问题可以描述天体（如黑洞或中子星）之间的相对运动；（6）描述胶体颗粒在溶液中的相互作用，用于研究软物质动力学，等等。

1. 两体问题等价为单体问题

将两体问题简化为单体问题，实际上是利用了相对运动和质心运动的分离性。现在考虑一个由两个粒子组成的单演系统，粒子的质量为 $m_1$ 和 $m_2$ ，它们之间的仅存在一个相互作用势，通过 $U$ 确定。假设 $U$ 是这两个粒子之间的任何向量的函数，这个向量可以是 $\bm{r} ={\bm r}_2 - {\bm r}_1$ 或者 $\dot{\bm r} =\dot{\bm r}_2 - {\dot {\bm r}}_1$ ，或其它阶导数。

注：文章1中指出，如果力学系统中的力全部由一个广义标量势函数导出，且这个势函数是坐标、速度和时间的而函数。这种系统被称为是单演系统或单生系统（monogenic），可以理解为保守系统。单生系统的所有广义力都可以通过一个标量势函数来表达，无需额外的非保守力项。

可知这个力学系统的总自由度为6，因此我们可以用6个广义坐标描述系统的运动。

将问题从两质点的运动分解为质心运动和相对运动。对本问题而言，选择 ${\bm R}$ 和 ${\bm r}_2 - {\bm r}_1$ （总共6各分量）： ${\bm R}$ 是两个粒子质心的位置坐标， $\bm{r} = {\bm r}_2 - {\bm r}_1$ 是两个粒子的相对位置矢量。于是拉格朗日量为：
$(\dot{{\bm R}}, \dot{{\bm r}}) - U( \dot{\bm r} , {\bm r}, ... ) \qquad (3.1)$

质心的动能可以写为：
$\frac{1}{2} (m_1+m_2) \dot{\bm R}^2 + T' \qquad (3.2)$

式中第一项是质心的动能，第二项是围绕质心的动能：
$\frac{1}{2} m_1 \dot{\bm r}_1'^2 + \frac{1}{2} m_2 \dot{\bm r}_2'^2 \qquad (3.2')$

式中 $\dot{\bm r}_1'$ 和 $\dot{\bm r}_2'$ 分别是两个粒子相对质心的位置矢量：
${\bm r}_1' = - \frac{m_2}{m_1+m_2} \bm{r}, \;\; {\bm r}_2' = \frac{m_1}{m_1+m_2} \bm{r}$

1. 两体问题等价为单体问题

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