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能量函数和能量守恒

news 来源：原创 2025/5/12 17:43:37

在之前的文章1中讨论了与循环坐标相对应的动量守恒定律和动量矩守恒定律，本文将由拉格朗日方程中导出能量函数，进一步讨论能量守恒定律，并给出耗散系统的处理方法，这其中用到的一个关键数学定理是欧拉定理（描述如何将一个齐次函数分解的定理）。

从如下拉格朗日量开始我们的讨论：
$L(q_i,\dot{q}_i,t)$

它对时间的全微分是：
$\frac{{\rm d} L}{{\rm d} t} = \frac{\partial L}{\partial t} + \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{{\rm d} \dot{q}_i}{{\rm d} t} + \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i} \frac{{\rm d} q_i}{{\rm d} t} \qquad (2.49)$

结合拉格朗日方程：
$\sum_i \left( \frac{{\rm d} }{{\rm d} t} \frac{\partial L}{\partial {\dot q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} \right) =0 \qquad (2.50)$

由拉格朗日方程(2.50)可知：
$\frac{\partial L}{\partial q_i} = \frac{{\rm d} }{{\rm d} t} \frac{\partial L}{\partial {\dot q}_i} \qquad (2.50')$

代入(2.49)：
$\frac{{\rm d} L}{{\rm d} t} = \frac{\partial L}{\partial t} + \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{{\rm d} \dot{q}_i}{{\rm d} t} + \sum_i \dot{q}_i \frac{{\rm d} }{{\rm d} t} \frac{\partial L}{\partial {\dot q}_i} \qquad (2.51)$

(2.51)也可写为：
$\frac{{\rm d} L}{{\rm d} t} = \frac{\partial L}{\partial t} + \sum_i \frac{{\rm d} }{{\rm d} t} \left( \dot{q}_i \frac{\partial L}{\partial {\dot q}_i} \right) \Rightarrow \\ \frac{\partial L}{\partial t} + \sum_i \frac{{\rm d} }{{\rm d} t} \left( \dot{q}_i \frac{\partial L}{\partial {\dot q}_i} - L \right) = 0 \qquad (2.51')$

根据(2.51’)，我们引入能量函数（energy function）：
$\sum_i \dot{q}_i \frac{\partial L}{\partial {\dot q}_i} - L$

于是(2.51’)写为：
$\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{{\rm d} h}{{\rm d} t}$

如果拉格朗日量 $L$ 不显含时间 $t$ （即时间仅在 $q_i$ 和 $\dot{q}_i$ 中隐含），则力学系统的能量守恒：
${\rm const}$

通过拉格朗日函数的齐次分解，并采用欧拉定理（Euler’s theorem，见本文附录）对 $h$ 进行分解，可以证明 $h = T + V$ 就是总机械能。于是我们得到结论：如果势函数不显含时间（即拉格朗日量也不显含时间），则力学系统的总机械能守恒。

2. 非保守系统（耗散函数为Rayleigh函数的情况）

对于非保守系统而言，摩擦力可以由耗散函数 $\mathcal{F}$ 导出，并且很容易看出 $\mathcal{F}$ 与 $h$ 的衰减有关。当存在耗散力时，我们已经讨论了拉格朗日方程（文章1的(1.70)）：
$\frac{{\rm d} }{{\rm d} t} \frac{\partial L}{\partial {\dot q}_j} - \frac{\partial L}{\partial q_j} = - \frac{\partial {\mathcal F}}{\partial {\dot q}_j} \qquad (1.70)$

与之相对应的使用 $h$ 表述的方程为：
$\frac{\partial L}{\partial t} + \frac{{\rm d} h}{{\rm d} t} = \sum_j \frac{\partial {\mathcal F}}{\partial {\dot q}_j} \dot{q}_j \qquad (2.59')$

已知耗散函数取Rayleigh函数时（文章1(1.67’)）， $\mathcal{F}$ 是广义速度 $\dot{q}_j$ 的二次函数，因此可以对上式右端应用欧拉定理，等于 $2\mathcal{F}$ ，于是(2.59’)写为：
$\frac{\partial L}{\partial t} + \frac{{\rm d} h}{{\rm d} t} = -2\mathcal{F}$

如果 $L$ 不显含时间（即 $\partial L / \partial t =0$ ），则耗散函数取Rayleigh函数时，机械能 $h$ 的耗散速率是 $2\mathcal{F}$ 。

附录：欧拉定理（Euler’s theorem）

欧拉定理给出了函数 $f$ 的分解方法，它是说：如果有函数 $f = f(x_i)$ 是 $x_i$ 的 $n$ 阶齐次函数，则 $x_i$ 与 $\partial f/ \partial x_i$ 的乘积之和可以写为 $n f$ ：
$\sum_i x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} = nf$

参考资料

文章1：速度相关势和Rayleigh耗散势函数

2. 非保守系统（耗散函数为Rayleigh函数的情况）

附录：欧拉定理（Euler’s theorem）

参考资料

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