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西电-算法分析-研究生课程复习笔记

news 来源：原创 2025/5/13 17:26:23
  • 24年秋的应该是张老师最后一次用卷面考试，他说以后这节课的期末考试都是在OJ上刷题了
  • 张老师上课还挺有意思的，上完之后能学会独立地思考算法设计问题了。整节课都在强调规模压缩这个概念，考试也是考个人对这些的理解，还挺好玩的哈哈

时间复杂度

T ( n ) T(n) T(n) 表示算法在输入规模为 n n n 时的实际运行时间

在实际算法设计中常用以下三种：

  • O O O 即“小于等于”，描述 T ( n ) T(n) T(n)的上界。
    1 、 n 、 2 n 、 2 n 2 ∈ O ( n 2 ) 1、n、2n、2n^2 \in O(n^2) 1、n、2n、2n2∈O(n2)
  • Ω Ω Ω 即“大于等于”，描述 T ( n ) T(n) T(n)的下界。
    n 2 、 n 3 、 n 10 ∈ Ω ( n 2 ) n^2、n^3、n^{10} \in Ω(n^2) n2、n3、n10∈Ω(n2)
  • Θ Θ Θ 表示“等于”，表示 T ( n ) T(n) T(n)的上下界一致。
    n 2 , 3 n 2 ∈ Θ ( n 2 ) n^2,3n^2 \in Θ(n^2) n2,3n2∈Θ(n2)

在这里插入图片描述

主定理求递推式的时间复杂度
T ( n ) = a T ( n b ) + f ( n ) T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n) T(n)=aT(bn​)+f(n)

其中 a a a 为归约后的子问题个数， n / b n/b n/b 为归约后子问题的规模， f ( n ) f(n) f(n)为 split 和 merge 子问题的解的工作量。

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

直接上例题：

  1. T ( n ) = 9 T ( n 3 ) + n T(n)=9T(\frac{n}{3})+n T(n)=9T(3n​)+n
    即 a = 9 ， b = 3 ， f ( n ) = n ， n l o g b a = n 2 a=9，b=3，f(n)=n，n^{log_ba}=n^2 a=9，b=3，f(n)=n，nlogb​a=n2
    因为 f ( n ) = n < n 2 f(n) = n < n^2 f(n)=n<n2，即case 1， T ( n ) = Θ ( n 2 ) T(n)=Θ(n^2) T(n)=Θ(n2)

  2. T ( n ) = T ( 2 n 3 ) + 1 T(n)=T(\frac{2n}{3})+1 T(n)=T(32n​)+1
    即 a = 1 ， b = 2 3 , f ( n ) = 1 , n l o g b a = 1 a=1，b=\frac{2}{3}, f(n)=1, n^{log_ba}=1 a=1，b=32​,f(n)=1,nlogb​a=1
    因为 f ( n ) = = n l o g b a f(n) == n^{log_ba} f(n)==nlogb​a，即case 2，此时k为0，即 T ( n ) = Θ ( l o g n ) T(n)=Θ(logn) T(n)=Θ(logn)

  3. T ( n ) = 2 T ( n 4 ) + n 2 T(n)=2T(\frac{n}{4})+n^2 T(n)=2T(4n​)+n2
    即 a = 2 ， b = 4 ， f ( n ) = n 2 , n l o g b a = n 0.5 a=2，b=4，f(n)=n^2, n^{log_ba}=n^{0.5} a=2，b=4，f(n)=n2,nlogb​a=n0.5
    因为 f ( n ) > n l o g b a f(n)>nlog_ba f(n)>nlogb​a，所以是第三种， T ( n ) = Θ ( n 2 ) T(n)=Θ(n^2) T(n)=Θ(n2)

排序

分-治-合并。

老师说的砍规模好像就包括了分和治。

砍规模干活多，则合并时候干活少。反之同理。
二分应用于排序：对于quicksort和mergesort，快排在砍规模时先要让两边各自大于或小于pivot，较麻烦;而合并不需要显式操作，较简单。归并排序在砍规模时直接将数组分成两半，较简单;合并时要进行两个数组的排序和合并，较麻烦。

规模 n 推到规模 n-1应用于排序：选择排序、冒泡排序、插入排序，每次只减少一个问题数量，是较慢的。而这三个排序中，选择排序和冒泡排序每次少一个未排序部分的最值元素，即砍规模时多干活。而插入排序每次少一个当前游标的元素(不一定是最值)，而需要在合并时将游标元素在已排序部分插到合适的位置，即合并时多干活。

快排可能会退化，采用随机策略可以避免最坏复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

特殊线性排序不考。

建堆

按照树的形态去砍规模。

砍规模干活多：比如大顶堆，先选一个最大的放在堆顶，然后递归地处理两个子树。相当于规模直接砍半，无显式合并。
T ( n ) = 2 T ( n 2 ) + O ( n ) T(n)=2T(\frac{n}{2})+O(n) T(n)=2T(2n​)+O(n)，得 T ( n ) = Θ ( n l o g n ) T(n)=Θ(nlogn) T(n)=Θ(nlogn)

砍规模干活少：从最后一个节点开始一下一下砍，直接找最后一个没用的非叶节点即可。合并是将当前子树的根节点向下调整，耗时较长。 T ( n ) = 2 T ( n 2 ) + l o g n T(n)=2T(\frac{n}{2})+logn T(n)=2T(2n​)+logn，得 T ( n ) = Θ ( n ) T(n)=Θ(n) T(n)=Θ(n)

Insert：把元素插入到最后一项，再向上调整。(堆排序同理)

如果要动态挑最值，可以用优先队列辅助。

Select

找数组中第k小的元素。

类似快排的partition，数组二分后看topk在哪边。

有种优化策略，将数组先分为多组(每组中奇数个元素)，再在每组找个中位数，使用中位数的中位数作为pivot做partition。避免 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的最坏时间复杂度。

矩阵相乘的二分方法

不考

最大子数组

找和最大的非空连续子数组。

方法1：二分，将数组分为两半，从左半部分、右半部分和跨中间这三部分的子数组中找个最大的。跨中间就是从中点往前面找个最大的后缀、往后边找个最大的前缀，相加就是跨中间的最大子数组。

方法2：DP，每次减少一个问题的规模。用一个全局变量保存历史最大子数组，并保存当前位置之前的子数组情况。如果之前的子数组之和已经为负数，则从当前位置另起一个新子数组。否则扩展之前的子数组到当前为止，即使当前元素为负数，全局变量保存的仍是之前的全局最大子数组。

DP

优化问题用到规模压缩，即DP。

  • 刻画最优子结构。列递推式/状态转移方程，能用中文解释。
  • 递归定义最优解的值。
  • 自下而上计算。原因：需要利用子问题，而多个父问题共享某些子问题，即子问题会被重复的求解。自下而上可以避免重复求解。如果改成自上而下，则需要使用备忘录做记忆化。

有些问题不能用子问题求最优解，比如最长简单路径问题，可能两个最长简单子路径拼起来不是简单路径。

相关问题（计算题）：

1. 01背包

思路：穷举是每个物品要么放入要么不放入， O ( 2 n ) O(2^n) O(2n)。如果当前剩余容量为 k，在考虑第 i 个物品是否拿，拿不拿的两种情况，都可以利用 d p [ i − 1 ] [ k ] dp[i-1][k] dp[i−1][k]这个子问题。由于不知道 k 是多少，每次都需要扫描一遍整个容量。

2. 最大子数组

上面写了。

3. LCS最长公共子序列

思路：穷举是 O ( 2 m + n ) O(2^{m+n}) O(2m+n)。如果已知当前游标 i i i 和 j j j 前面的LCS，继而可以得到当前的LCS。即满足最优子结构。 d p dp dp数组起到备忘录的作用。

设 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 表示序列 X X X 的前 i i i个字符和序列 Y Y Y 的前 j j j 个字符的 LCS 长度。

m, n = len(X), len(Y)
dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
for i in range(1, m + 1):for j in range(1, n + 1):if X[i - 1] == Y[j - 1]:dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1else:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

4. 矩阵链乘

对于矩阵数组 [ A 1 , A 2 , A 3 ] [A1,A2,A3] [A1,A2,A3]的链乘最小代价，可以通过 [ A 1 , A 2 ] ∗ [ A 3 ] [A1,A2]*[A3] [A1,A2]∗[A3]和 [ A 1 ] ∗ [ A 2 , A 3 ] [A1]*[A2,A3] [A1]∗[A2,A3]的代价得到，利用了 [ A 1 , A 2 ] [A1,A2] [A1,A2]和 [ A 2 , A 3 ] [A2,A3] [A2,A3]这两个子问题。扩展即可知道子问题就是在各个分割点分割之后的子数组，利用子问题的方式就是从子问题中选一个最值。满足最优子结构。

会重复利用较短的子数组，所以自下而上，用个dp数组做备忘录。

5. ALS装配线调度

就是给了两条装配线的进入耗时、出去耗时。然后两条装配线在功能上是相同的，有多个装配站，两条线上同一个下标的装配站是功能相同，但用时可能不同。所以有个切换操作，可以把物品从一条线搬到另一条线，试图加速。所以要求一个物品完成装配花费的最短时间。长的像最短路径，其实因为方向是固定的，所以不是图而是树，问题稍微简单一点。

在这里插入图片描述

dp方法见下图。
在这里插入图片描述

贪心

如果可以直接知道用哪个子问题也能得到最优解，不用比较各个子问题的结果，就可以贪心、即贪心 ∈ \in ∈DP。
相关问题如：

  • 分数背包：优先选单价高的。

  • 哈夫曼树：权重越高的字符，编码长度越短。权重越高，越会被后挑选，即越接近根节点。
    在这里插入图片描述

  • 活动选择：多个活动有起止时间，只能选互不冲突的，使活动数量最大化。DP是在当前活动处，找前面最后一个兼容本活动的活动，然后选或者不选，dp[i]是到前i个活动的最多兼容活动数。贪心策略是优先选结束时间早的，为后续活动留下更多时间。

最短路径

重点是确定通过计算次序。

之前的问题都是可以转化为一棵树，子问题向上扩展，最终得解。

而b->c、c->b都有可能，即c可以利用b之前的最短路径、b也可以利用c之前的最短路径。所以不能是一棵向上的树。所以需要确定一个计算次序，即谁是子问题。

Dijkstra

在无负权环的时候，这个计算次序是有的。他是子问题找父问题，即找一个最近的节点。如果有负权环，则有些很远节点的距离反而越来越近，计算次序就出现问题了。通过计算次序理解为什么是dp。

Bellman-ford

允许负权环，所以没有计算次序，所以迭代多轮来补偿。单源。个人感觉就是Floyd的单源形式。

SPFA就是如果有些点被更新后，才加入队列进行后续的松弛更新。

如果第V次还能松弛，说明有负权环。

Floyd

多源。 d p [ i ] [ j ] [ k ] dp[i][j][k] dp[i][j][k]，已知未使用 k 时，i 到 j 的最短路径，看用 k 是否能继续缩短。

时间复杂度

floyd是 O ( V 3 ) O(V^3) O(V3)。

迪杰斯特拉是每次找一个最近的点，然后基于这个中转点更新源点到中转点的邻点。所以对于邻接矩阵的实现，是V的循环里套个找邻点的V， O ( V 2 ) O(V^2) O(V2)
Bellman-ford是重复V-1次，然后松弛所有边，所以是 O ( V ∗ E ) O(V*E) O(V∗E)

搜索

无法用规模压缩，只能蛮力穷举。

设定边界减少不必要的搜索。

限界函数：杀死更多的节点、效率。

NP问题

P可以在多项式时间内求解，NP只能在多项式问题内验证解。

在这里插入图片描述

NPC(理论上可解，穷举)：circuit-sat(电路可满足)、TSP(旅行商)、3-color三色(平面图染三色，使得相邻区域颜色不同)、哈密尔顿路径。

不可判定：Hilbert’s Tenth Problem(希尔伯特第十问题)、Halting Problen(停机问题)、Post Correspondence Problem(PCP)、Program Equivalence Problem(程序等价性问题)、Optimal Data Compression Problem(最优数据压缩问题)、Virus Identification Problem(病毒识别问题)、多元多项式整数根（费马大定理）、普斯特对应问题

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后端:Spring(IOC、AOP)

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编程日记 2025/5/10 6:57:34

基于SpringBoot的诊所管理系统

作者&#xff1a;计算机学姐 开发技术&#xff1a;SpringBoot、SSM、Vue、MySQL、JSP、ElementUI、Python、小程序等&#xff0c;“文末源码”。 专栏推荐&#xff1a;前后端分离项目源码、SpringBoot项目源码、Vue项目源码、SSM项目源码、微信小程序源码 精品专栏&#xff1a;…...

编程日记 2025/5/13 11:06:59

基于GA遗传优化的最优阈值计算认知异构网络(CHN)能量检测算法matlab仿真

目录 1.算法运行效果图预览 2.算法运行软件版本 3.部分核心程序 4.算法理论概述 5.算法完整程序工程 1.算法运行效果图预览 (完整程序运行后无水印) 2.算法运行软件版本 matlab2022a 3.部分核心程序 &#xff08;完整版代码包含详细中文注释和操作步骤视频&#xff09…...

编程日记 2025/5/10 10:19:49

【技术分享】如何利用rdesktop实现Linux远程Windows桌面高效办公

文章目录 前言1. Windows 开启远程桌面2. Linux安装rdesktop工具3. Win安装Cpolar工具4. 配置远程桌面地址5. 远程桌面连接测试6. 设置固定远程地址7. 固定地址连接测试 前言 随着技术的飞速发展&#xff0c;我们有了越来越多的方法来实现远程办公。今天我要给大家介绍一个特别…...

编程日记 2025/5/10 0:33:00

PDFelement 特别版

Wondershare PDFelement Pro 是一款非常强大的PDF编辑软件&#xff0c;它允许用户轻松地编辑、转换、创建和管理PDF文件。这个中文特别版的软件具有许多令人印象深刻的功能&#xff0c;PDFelement Pro 提供了丰富的编辑功能&#xff0c;可以帮助用户直接在PDF文件中添加、删除、…...

编程日记 2025/5/10 9:47:11

【江协STM32】10-2/3 MPU6050简介、软件I2C读写MPU6050

1. MPU6050简介 MPU6050是一个6轴姿态传感器&#xff0c;可以测量芯片自身X、Y、Z轴的加速度、角速度参数&#xff0c;通过数据融合&#xff0c;可进一步得到姿态角&#xff0c;常应用于平衡车、飞行器等需要检测自身姿态的场景3轴加速度计&#xff08;Accelerometer&#xff…...

编程日记 2025/5/9 3:38:03

【首发 1day】WordPress Crypto 插件存在前台任意用户登录漏洞(CVE-2024-9989)

漏洞描述 WordPress 的 Crypto 插件在 2.15 及以下版本（包括 2.15）中容易受到身份验证绕过攻击。这是由于对 ‘crypto_connect_ajax_process’ 函数中 ‘crypto_connect_ajax_process：：log_in’ 函数的任意方法调用有限。这使得未经身份验证的攻击者可以以站点上的任何现有…...

编程日记 2025/5/4 9:28:38

c语言-----常识问题

1.VS的C4996错误 由于微软在VS2013中不建议再使用C的传统库函数scanf,strcpy,sprintf等&#xff0c;所以直接使用这些库函数会提示C4996错误&#xff1a; VS建议采用带_s的函数&#xff0c;如scanf_s、strcpy_s&#xff0c;但这些并不是标准C函数。 要想继续使用此函数&…...

编程日记 2025/5/14 2:40:43

MIUI显示/隐藏5G开关的方法，信号弱时开启手机Wifi通话方法

5G网速虽快&#xff0c;手机功耗也大。 1.取消MIUI强制的5G&#xff0c;手动设置4G的方法&#xff01; 【小米澎湃OS, Xiaomi HyperOS显示/隐藏5G开关的方法】 1.1.小米MIUI系统升级后&#xff0c;被强制连5G&#xff0c;手动设置开关被隐藏&#xff0c;如下图&#xff1a; 1…...

编程日记 2025/5/12 4:52:20

超简单，使用Kube-Vip实现K8s高可用VIP详细教程

具体步骤如下&#xff1a; 以下步骤在其中一个 master 上操作即可&#xff0c; 1、参数配置 export VIP192.168.0.110 export INTERFACEens33 export KVVERSIONv0.8.7VIP 是虚拟IP地址&#xff0c;和主机同一个网段&#xff0c;且未被占用。INTERFACE 是你当前主机的网络接口…...

编程日记 2025/4/28 4:00:51

中国数字化发展的问题与机会

橙蜂智能公司致力于提供先进的人工智能和物联网解决方案，帮助企业优化运营并实现技术潜能。公司主要服务包括AI数字人、AI翻译、埃域知识库、大模型服务等。其核心价值观为创新、客户至上、质量、合作和可持续发展。 橙蜂智农的智慧农业产品涵盖了多方面的功能，如智能化推荐、…...

编程日记 2025/5/5 7:36:18

为什么ip属地一会河南一会江苏

在使用互联网的过程中&#xff0c;许多用户可能会遇到这样一个问题&#xff1a;自己的IP属地一会儿显示为河南&#xff0c;一会儿又变成了江苏。这种现象可能会让人感到困惑&#xff0c;甚至产生疑虑&#xff0c;担心自己的网络活动是否受到了某种影响。为了解答这一疑问&#…...

编程日记 2025/5/9 1:46:03

【机器学习】神经网络（BP算法）含具体计算过程

目录 神经元的“激活函数” 多层前馈网络结构​编辑 BP(BackPropagation:误差逆传播算法) BP算法推导 手动计算BP神经网络的权值来实现学习 前向传播(正向运算)的过程 隐藏层输入&#xff1a; 隐藏层输出&#xff1a; 输出层输入&#xff1a; 输出层输出&#xff1a; …...

编程日记 2025/5/12 3:03:14

【HarmonyOS NEXT】鸿蒙应用点9图的处理（draw9patch）

【HarmonyOS NEXT】鸿蒙应用点9图的处理&#xff08;draw9patch&#xff09; 一、前言&#xff1a; 首先在鸿蒙中是不支持安卓 .9图的图片直接使用。只有类似拉伸的处理方案&#xff0c;鸿蒙提供的Image组件有与点九图相同功能的API设置。 可以通过设置resizable属性来设置R…...

编程日记 2025/5/13 6:25:23

Swift语言的网络编程

Swift语言的网络编程探秘 随着移动互联网的迅猛发展&#xff0c;网络编程已经成为开发者必备的核心技能之一。尤其在iOS开发领域&#xff0c;Swift语言作为Apple官方推荐的编程语言&#xff0c;以其简洁的语法和强大的功能受到了广泛的关注。本文将深入探讨Swift语言的网络编程…...

编程日记 2025/5/13 9:32:16

江科大STM32入门——UART通信笔记总结

wx&#xff1a;嵌入式工程师成长日记 1、简介 简单双向串口通信有两根通信线(发送端TX和接收端RX)TX与RX要交叉连接当只需单向的数据传输时&#xff0c;可以只接一根通信线当电平标准不一致时&#xff0c;需要加电平转换芯片 传输模式&#xff1a;全双工&#xff1b;时钟&…...

编程日记 2025/5/9 23:30:39

2. 使用springboot做一个音乐播放器软件项目【框架搭建与配置文件】

上一章文章 我们做了 音乐播放器这个项目的 前期规划 项目需求&#xff0c; 环境安装 和 springboot框架的 搭建与配置。如果有小伙伴没看过 第一章文章 可以去看一下 https://blog.csdn.net/Drug_/article/details/144994317 今天这篇文章 我们来 主要分享一些 我们在开发中…...

编程日记 2025/5/3 5:36:27