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第四、五章补充：线代本质合集（B站：小崔说数）

news 来源：原创 2025/7/2 18:48:18

视频1：线性空间

原视频：【线性代数的本质】向量空间、基向量的几何解释_哔哩哔哩_bilibili

很多同学在学习线性代数的时候，会遇到一个困扰，就是不知道什么是线性空间。因为中文的教材往往对线性空间的定义是非常偏数学的（当然也可以说它非常严谨），但你想理解它是不太容易的。而实际上线性空间它完全可以通过生活来理解。所以本期视频要讲一讲什么叫线性空间。

一、什么是空间

关于什么是空间，大家翻开教材的话，教材会给你一些非常数学的、非常偏分析的定义，然后你就眼花缭乱了。但其实我们在一开始学习线性代数这门课的时候，千万不要搞得这么复杂，我们就简单地把空间理解成大家所能认知的那个空间就可以了，如下图👇

二、坐标

我们用大家最熟悉的二维平面举例子，很显然，二维平面是由一大堆的点组成的，我们在这张图上标出这个点（2，3）。在线性代数中，我们常常不把点看做点，而是把它当做从原点出发，向这个点所发射的向量，即用向量的方式来研究这个点。当然向量的坐标和点的坐标也是一样的，是 $\binom{2}{3}$ ，如下图👇

那么上图的 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 向量能否通过线性组合的方式组成 $\vec{\alpha }$ 向量？即：能否表示成 $x\vec{i}+y\vec{j}=\vec{\alpha }$ ?

当然可以了，显然： $2\vec{i}+3\vec{j}=\vec{\alpha }$

那么我随便在上图的平面中取一个点， $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 向量显然都能通过线性组合的方式去组合成这个向量。也就是这个二维空间中的所有点都能被 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 向量表示出来，那也就可以说是 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 表示出了这个 $R^{2}$ 空间，换言之， $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 张成了这个空间。 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 向量被称为基向量组，或基（basis）。

接下来我们再来研究一些问题👇

请问这个平面空间只有这一组基吗？下图中画出的 $\vec{\alpha }$ 和 $\vec{\beta }$ 向量能否起到和刚才一样的效果？稍微想想你就知道是可以的，如下图👇

也就是说， $\vec{\alpha }$ 和 $\vec{\beta }$ 向量也是一组基。所以显然一个空间不止一组基，它有无限多组基。而空间中有一些比较特殊的基，如刚才的 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 向量，以及下图中的一大堆向量（它们两个向量之间都是垂直的，或者说正交的，并且它们向量的长度或者说模都等于1）👇

我们把这样的一些基称为“规范正交基”。“规范”就是长度为1，“正交”就是彼此垂直。而最最常用的一组规范正交基就是 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 向量。

三、过渡矩阵

在之前的一期空间变换的视频里有讲过：乘上一个矩阵，相当于在做一个空间变换（或者说图形变换），而由我们刚才的讨论可知，我们的二维空间有无限多组基，不过这些组基有个共同点，就是它们都表示出了同一个空间，那么它们之间能相互转化吗？当然可以！无非就是通过旋转拉伸变换得到，而旋转拉伸这些空间变换在线性代数中就是通过乘上一个矩阵 $P$ 来实现，而这个 $P$ 就被称为“过渡矩阵”或“基变换的矩阵”👇

通过以上的讲解，你知道什么叫线性空间了。相信在你理解了这些直观的东西之后，你再去看课本上那些严谨复杂的定义，应该就会好很多了。所以线性代数这门课大家一定要掌握数形结合，一定要知道它的这些公式、定理的背后对应的是什么。

视频2：用向量视角看待解方程组

原视频：【线性代数的本质】用向量视角看待解方程组_哔哩哔哩_bilibili

在学习线性代数这门课的时候，很多同学没有办法把向量组之间的关系和方程组之间去建立联系，而我们考试的时候往往是向量的题目你要想到方程，而方程的题目你要往向量去想，所以这期视频就给大家讲一讲向量组之间的关系和方程组如何衔接到一起。

为了搞清楚向量与方程组之间有什么关系，我们用下图这个简单的方程组来打比方👇

在初中的时候，我们就能用加减消元（高斯消元）的方式把这个方程解出来。

接下来，我们来聊聊有没有什么几何的方法来解决这个方程。答案是有的，而且不止一种👇

一、行图像法

第一种方法是“行图像法”，也是我们高中时候常常使用的一种方法。

所谓“行图像法”，其实就是把这个方程组按照行给上下砍一下，那么它就变成两个方程了👇

毫无疑问，这两个方程表示的都是直线，我们把这两条直线画下来，其交点 $(1,2)$ 就是方程的解👇

我们把这种方式称为“行图像发”，非常直观，也是高中的做题方法。

二、列图像法

大家知道，线性代数也是在解方程组，那么线性代数这门课里面是用什么样的方法去解方程组呢？或者说它的几何意义是什么呢？

它的方法叫“列图像法”，我们还是以前面的方程为例，我们这次按照列对这个方程组进行分块，并分别用不同的向量字母来表示它们👇

然后，我们再对此进行向量的乘法👇

那么我么来看一下，上图这个式子在图像上代表一个什么含义👇

由于我们前面已经算出了方程的解为： $x=1$ ， $y=2$ ，所以👇

中学我们就学过了，向量的加法遵循平行四边形法则。

所以我们来思考，这个方程组它解决的是当 $x$ 和 $y$ 分别等于多少的时候这个方程成立的问题，那么同理，就是当 $x$ 和 $y$ 分别等于多少的时候下面这个式子成立👇

上面这个式子被称为“ $\alpha$ 和 $\beta$ 的线性组合”。所以我们可以比较方便地说，方程组在找一个线性组合，使 $\alpha$ 和 $\beta$ 可以组合成 $\gamma$ 。

线性代数这门课最重要的两章：一是怎么解方程组、二是研究向量之间的线性组合。所以它俩其实是一致的。所以同学们一定要把这一点深深地印在脑子里，那么我们在学习线代的时候才能更加综合。

关于向量与方程组之间的关系就讲到这里，听完了以上的讲解，相信你能理解为什么向量组的线性表示和方程组的有解无解是相联系的，或者说它俩是等价的，是一回事儿。所以大家要把这层联系深深地印在脑子里，我们做题和学习线性代数这门课的时候才能更加综合、更加融合。

视频3：为什么说线性代数研究的是空间变换？（矩阵乘法与空间变换）

原视频：【线性代数的本质】为什么说线性代数研究的是空间变换？_哔哩哔哩_bilibili

很多人学习线性代数的方法是有问题的，因为中国的教材往往把线性代数教成了一种纯粹的计算的学科，告诉你一大堆规则（如逆序数、行列式变换规则等），然后在这个规则上面推出别的规则，然后再一直算。所以这就造成了一个问题：学到最后不知道自己学了个什么东西，只是掌握了一些计算的法则，不知道它有什么用，不知道它能用来干嘛，然后稍微扩展一些的东西根本完全无法理解，所以会对大家的学习造成非常大的困扰。

我个人觉得，对于线性代数这门课，理解它真正是在做什么，理解它真正代表的是空间变换，是非常非常重要的。接下去，我将用一些简单的例子给大家讲明白为什么线性代数是在讲空间变换。