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专题二十三_动态规划_回文串系列问题_算法专题详细总结

news 来源：原创 2025/7/21 18:29:39

动态规划

回文串系列问题

1. 回⽂⼦串（medium）

解析：

解决回文串问题，这里提供三个思路：

1.中心扩展法：n^2 / 1

2.马拉车算法：n / n

3.动态规划算法：n^2 / n^2

1.状态表达式：

2.状态转移方程：

3.初始化：

4.填表顺序：

5.返回值：

代码编写:

总结：

2. 最⻓回⽂⼦串（medium）

解析：

代码编写：

总结：

3. 回⽂串分割IV（hard）

解析：

代码编写：

总结：

4. 分割回⽂串II（hard）

代码编写：

总结：

5. 最⻓回⽂⼦序列（medium）

代码编写：

总结：

6. 让字符串成为回⽂串的最⼩插⼊次数（hard）

解析：

代码编写：

总结：

总结不易~本节对我有很大帮助和收获，希望对你也是~！！！

动态规划

经过前面几个专题的学习，特别是子数组系列、子序列问题等的动态规划，我相信到这里大家都有了质的飞跃，现在进入回文串系列问题，一定能有很多收获的~

回文串系列问题

1. 回⽂⼦串（medium）

题目意思还是很简单的，就是求出一个字符串内所有子串的回文串数目

解析：

解决回文串问题，这里提供三个思路：

1.中心扩展法：n^2 / 1

2.马拉车算法：n / n

3.动态规划算法：n^2 / n^2

这里的中心扩展法是最简单的一种算法，一般适用于简单的求解单个字符串是否是回文串的问题；其中马拉车算法是一种很复杂但是很优的算法，只能解决回文串这一种问题，而且学习成本很高，所以这里还是不推荐，如果你有强烈欲望，可以自己学习一下；再就是动态规划思想，是虽然这里的时间复杂度和空间复杂度都很高，但是我们学习的是这一种算法思想，通过动态规划的思想就能很轻松的将困难题变成简单题~

1.状态表达式：

由于一个字符串要有头尾两个字符才能判断当前的字符串是否是回文串：

所以要设置dp[i][j]表示：以i位置为开头，j位置为结尾的字符串是否是回文串

这样就可以将整个字符串的所有有两个字符位置表示的子串都在一个二维数组内表示出来；

2.状态转移方程：

只有在s[i] == s[j] 的时候才有讨论当前子串是否为回文串的意义，所以分三类讨论：

1.当i == j 时两字符重叠，是回文串

2.当i+1 == j 时 s[i] == s[j] 并且两字符相邻，所以是回文串

3.当s[i] == s[j]，但是两字符不相邻，所以就要缩小范围，来继续判断【i+1,j-1】这个范围内的字符串是否是回文串

3.初始化：

无需初始化，因为不会存在越界的问题，通过状态表达式，只需要判断当前位置dp[i][j]是否是满足回文串的问题

4.填表顺序：

由于dp内只存在这两种位置的访问情况，所以必须要先直到【i+1,j-1】才能知道【i,j】这个位置，所以填表顺序是从下往上，从左往右填表；即行数i倒着填，列数j正着填

5.返回值：

最后用ret统计dp内有多少个true即可

代码编写:

class Solution {
public:int countSubstrings(string s) {int n=s.size();vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(n));int ret=0;for(int i=n-1;i>=0;i--){for(int j=i;j<n;j++){if(s[i]==s[j]){if(i==j||i+1==j) dp[i][j]=1;else if(i+1<n&&j-1>=0) dp[i][j]=dp[i+1][j-1];}if(dp[i][j]) ret++;}}return ret;}
};

总结：

由上面给出的求解回文串的三种方法中，动态规划思想是一种极为重要的思路，通过这题就可以看出动态规划思路很清晰明了，可以很简单的就将hard转换为easy

2. 最⻓回⽂⼦串（medium）

返回最长的一个回文子字符串

解析：

这一题的思路简直跟上一题一模一样，只是返回的内容不同，我们同样是要遍历所有的二维数组，就是遍历所有子串的情况，然后来判断当前位置是否满足回文串的条件，最后返回最长的即可：

1.状态表达式：

由于一个字符串要有头尾两个字符才能判断当前的字符串是否是回文串：

所以要设置dp[i][j]表示：以i位置为开头，j位置为结尾的字符串是否是回文串

这样就可以将整个字符串的所有有两个字符位置表示的子串都在一个二维数组内表示出来；

2.状态转移方程：

只有在s[i] == s[j] 的时候才有讨论当前子串是否为回文串的意义，所以分三类讨论：

1.当i == j 时两字符重叠，是回文串

2.当i+1 == j 时 s[i] == s[j] 并且两字符相邻，所以是回文串

3.当s[i] == s[j]，但是两字符不相邻，所以就要缩小范围，来继续判断【i+1,j-1】这个范围内的字符串是否是回文串

3.初始化：

无需初始化，因为不会存在越界的问题，通过状态表达式，只需要判断当前位置dp[i][j]是否是满足回文串的问题

4.填表顺序：

5.返回值：

只需要返回最长的回文串即可，那么就要ret来记录最长的长度，_ret来记录当前最长的子字符串即可，返回_ret

代码编写：

class Solution {
public:string longestPalindrome(string s) {int n=s.size(),ret=0;vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(n));string _ret;for(int i=n-1;i>=0;i--){for(int j=i;j<n;j++){if(s[i]==s[j]){if(i==j||i+1==j) dp[i][j]=1;else if(i+1<n&&j-1>=0) dp[i][j]=dp[i+1][j-1];if(dp[i][j]&&j-i+1>ret){ret=j-i+1;_ret=s.substr(i,ret);}}}}return _ret;}
};

总结：

回文串系列的题目还是非常好想的，只要弄明白一题，后面就是照搬原样即可；

3. 回⽂串分割IV（hard）

将一个字符串分割成三块，如果这三块都是回文串，就直接返回true；否则返回false

解析：

这一题我们先要有一个整体的思路，肯定就是先要判断所有情况下的子字符串是否满足回文串，即设计二维数组来遍历所有下标，然后再来一个双重for将整个字符串分为3块，直接判断是否都是回文串并进行返回即可；

1.状态表达式：

由于一个字符串要有头尾两个字符才能判断当前的字符串是否是回文串：

所以要设置dp[i][j]表示：以i位置为开头，j位置为结尾的字符串是否是回文串

这样就可以将整个字符串的所有有两个字符位置表示的子串都在一个二维数组内表示出来；

2.状态转移方程：

只有在s[i] == s[j] 的时候才有讨论当前子串是否为回文串的意义，所以分三类讨论：

1.当i == j 时两字符重叠，是回文串

2.当i+1 == j 时 s[i] == s[j] 并且两字符相邻，所以是回文串

3.当s[i] == s[j]，但是两字符不相邻，所以就要缩小范围，来继续判断【i+1,j-1】这个范围内的字符串是否是回文串

3.初始化：

无需初始化，因为不会存在越界的问题，通过状态表达式，只需要判断当前位置dp[i][j]是否是满足回文串的问题

4.填表顺序：

5.返回值：

要返回当前位置进行分割的三块字符串是否满足全是回文串，所以分割后的下标是暴力求解：

        for(int i=1;i<n-1;i++){for(int j=i;j<n-1;j++){if(dp[0][i-1]&&dp[i][j]&&dp[j+1][n-1]) return true;}}

代码编写：

class Solution {
public:bool checkPartitioning(string s) {int n=s.size();vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(n));for(int i=n-1;i>=0;i--){for(int j=i;j<n;j++){if(s[i]==s[j]){// if(i==j||i+1==j) dp[i][j]=true;// else if(i+1<n&&j-1>=0) dp[i][j]=dp[i+1][j-1];dp[i][j]=i+1<j?dp[i+1][j-1]:true;}}}for(int i=1;i<n-1;i++){for(int j=i;j<n-1;j++){if(dp[0][i-1]&&dp[i][j]&&dp[j+1][n-1]) return true;}}return false;}
};

总结：

这一道hard题用动态规划的思路真的变的很简单，依旧是求出所有子串是否能成为回文串，然后再判断字符串分三块的问题直接暴力求解ok，所以这种思路一定要掌握，多复习也就记住了~

4. 分割回⽂串II（hard）

将一个字符串用最少的分割次数，让所有子串都是回文串，返回最少分割次数

解析：

1.状态表达式：

dp[i]表示：在s[0,i]位置上形成回文串的最少分割次数

2.状态转移方程：

dp[i] = min(dp[j - 1] + 1, dp[i]);

3.初始化：

由于dp表内是要求最小分割次数，每次都要取min，所以dp表内都初始化为INT_MAX

4.填表顺序：

从左往右填

5.返回值：

返回dp[n-1]

代码编写：

class Solution {
public:int minCut(string s) {int n = s.size();vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));for (int i = n - 1; i >= 0; i--)for (int j = i; j < n; j++)if (s[i] == s[j])dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;vector<int> _dp(n, INT_MAX / 2);for (int i = 0; i < n; i++) {if (dp[0][i])_dp[i] = 0;else {for (int j = 1; j <= i; j++) {if (dp[j][i])_dp[i] = min(_dp[j - 1] + 1, _dp[i]);}}}return _dp[n - 1];}
};

总结：

这一题主要就是要想清楚怎么定义状态表达式，要明白了状态表达式的定义，说明出以i位置为结尾的最大分割次数，从而引出[0,i]是否是一整个回文，是就是0次；不是，就在进行判断，[1,j](0<j<=i) 判断当dp[j][i]这个位置是否为回文，是才能继续判断_dp[j-1]前面的最少分割次数

5. 最⻓回⽂⼦序列（medium）

求最长回文子序列的长度

解析：

1.状态表达式：

dp[i]表示：以i位置为结尾的最长回文子序列的长度；

dp[i][j]表示：在s[i,j]区间内最长的回文子序列的长度

2.状态转移方程：

                if(s[i]==s[j]){if(i==j) dp[i][j]=1;else if(i+1==j) dp[i][j]=2;else dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;}else dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+1][j]);

3.初始化：

不用初始化，因为求最长的长度，开始为0/1都可以

4.填表顺序：

5.返回值：

dp[0][n-1]

代码编写：

class Solution {
public:int longestPalindromeSubseq(string s) {int n=s.size();vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(n,1));int ret=0;for(int i=n-1;i>=0;i--){for(int j=i;j<n;j++){if(s[i]==s[j]){if(i==j) dp[i][j]=1;else if(i+1==j) dp[i][j]=2;else dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;}else dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+1][j]);}}return dp[0][n-1];}
};

总结：

根据经验+题目要求来判断状态表达式，这题一看就是子序列，那么就可以直接上手定义dp[i][j]，这样更加便捷，因为关于子序列的判断就是求在s[i,j]这个区间内的回文子序列的长度大小，然后进行分类讨论，当s[i]==s[j] 和 s[i]!=s[j]两种情况下如何求出最长回文子序列的长度

6. 让字符串成为回⽂串的最⼩插⼊次数（hard）

插入最少的次数，让该字符串成为回文串

解析：

1.状态表达式：

关于「单个字符串」问题中的「回⽂⼦序列」，或者「回⽂⼦串」，我们的状态表⽰研究的对象⼀

般都是选取原字符串中的⼀段区域 [i, j] 内部的情况。这⾥我们继续选取字符串中的⼀段区域来研究：

状态表⽰： dp[i][j] 表⽰字符串 [i, j] 区域成为回⽂⼦串的最少插⼊次数。

2.状态转移方程：

在分别判断当s[i] == s[j] 和 s[i]!=s[j]时两者的讨论方式：

由于在s[i]!=s[j]的时候，dp[i][j-1] 和 dp[i+1][j]这两个区间内都要进行一次插入，让两端的字符相等

                if(s[i]==s[j]) dp[i][j]=i+1<j?dp[i+1][j-1]:0;else dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+1][j])+1;

关于「回⽂⼦序列」和「回⽂⼦串」的分析⽅式，⼀般都是⽐较固定的，都是选择这段区域的「左

右端点」的字符情况来分析。因为如果⼀个序列是回⽂串的话，「去掉⾸尾两个元素之后依旧是回

⽂串」，「⾸尾加上两个相同的元素之后也依旧是回⽂串」。因为，根据「⾸尾元素」的不同，可

以分为下⾯两种情况：

i. 当⾸尾两个元素「相同」的时候，也就是 s[i] == s[j] ：

1. 那么 [i, j] 区间内成为回⽂⼦串的最少插⼊次数，取决于 [i + 1, j - 1] 区间

内成为回⽂⼦串的最少插⼊次数；

2. 若 i == j 或 i == j - 1 （ [i + 1, j - 1] 不构成合法区间），此时只有 1 ~ 2 个相同的字符， [i, j] 区间⼀定是回⽂⼦串，成为回⽂⼦串的最少插⼊次数是此时 0。dp[i][j] = i >= j - 1 ? 0 : dp[i + 1][j - 1]

ii. 当⾸尾两个元素「不相同」的时候，也就是 s[i] != s[j] ：

1. 此时可以在区间最右边补上⼀个 s[i] ，需要的最少插⼊次数是 [i + 1, j] 成为回⽂⼦串的最少插⼊次数 + 本次插⼊，即 dp[i][j] = dp[i + 1][j] + 1 ；

2. 此时可以在区间最左边补上⼀个 s[j] ，需要的最少插⼊次数是 [i, j + 1] 成为回⽂⼦串的最少插⼊次数 + 本次插⼊，即 dp[i][j] = dp[i][j + 1] + 1 ；

综上所述，状态转移⽅程为：

▪ 当 s[i] == s[j] 时： dp[i][j] = i >= j - 1 ? 1 : dp[i + 1][j -

3.初始化：

不用初始化

4.填表顺序：

从下往上，从左往右填

5.返回值：

返回dp[0][n-1];

代码编写：

class Solution {
public:int minInsertions(string s) {int n=s.size();vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(n));for(int i=n-1;i>=0;i--){for(int j=i;j<n;j++){if(s[i]==s[j]) dp[i][j]=i+1<j?dp[i+1][j-1]:0;else dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+1][j])+1;}}return dp[0][n-1];}
};

总结：

这一题其实仔细总结一下，跟以前做的题目简直一模一样，只要考虑求出状态表达式和转移方程，那简直不要太轻松

总结不易~本节对我有很大帮助和收获，希望对你也是~！！！

专题二十三_动态规划_回文串系列问题_算法专题详细总结

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编程日记 2025/7/20 13:34:30

使用ENSP实现默认路由

一、项目拓扑二、项目实现 1.路由器AR1配置进入系统试图 sys将路由器命名为R1 sysname R1关闭信息中心 undo info-center enable 进入g0/0/0接口 int g0/0/0将g0/0/0接口IP地址配置为2.2.2.1/24 ip address 2.2.2.1 24进入g0/0/1接口 int g0/0/1将g0/0/1接口IP地址配置为1.…...

编程日记 2025/7/18 4:51:19

打造智能扩容新纪元：Kubernetes Custom Metrics深度解析

自定义指标：Kubernetes Auto Scaling的革命 1. 引言 1.1 Kubernetes与Auto Scaling Kubernetes作为当今容器编排的事实标准，提供了强大的自动化能力，其中Auto Scaling（自动扩缩容）是其核心特性之一。Auto Scaling允许Kubernetes集群根据当前负载动态调整资源，以应对不…...

编程日记 2025/7/18 14:50:19

网络安全工具软件 BlackICE

网络安全工具软件BlackICE的使用和设置说明简介(转) 　　BlackICE 在九九年获得了PC Magazine的技术卓越大奖，专家对它的评语是：“对于没有防火墙的家庭用户来说，BlackICE是一道不可缺少的防线；而对于企业网络，它又增加…...

编程日记 2025/7/20 6:43:02

深入解析分布式优化算法及其Python实现

目录深入解析分布式优化算法及其Python实现第一部分：分布式优化算法的背景与原理1.1 什么是分布式优化算法？1.2 分布式优化算法的分类1.3 应用场景1.4 分布式优化的关键挑战第二部分：分布式优化算法的通用Python实现2.1 基本组件的实现第三部分：案例1 - 基于梯度下降的分布…...

编程日记 2025/7/16 19:48:44

互联网直播/点播EasyDSS视频推拉流平台视频点播有哪些技术特点？

在数字化时代，视频点播应用已经成为我们生活中不可或缺的一部分。监控技术与视频点播的结合正悄然改变着我们获取和享受媒体内容的方式。这一变革不仅体现在技术层面的进步，更深刻地影响了我们。 EasyDSS视频直播点播平台是一款高性能流媒体服务软件。E…...

编程日记 2025/7/19 23:36:09

打包多个python文件为exe

要使用PyInstaller打包多个Python文件为单个可执行文件(exe),需要执行以下步骤: 安装PyInstaller 如果尚未安装PyInstaller,请打开命令提示符或终端,输入以下命令进行安装: pip install pyinstaller进入Python脚本所在目录使用命令行工具(如cmd或终端)导航到包含Python脚本…...

编程日记 2025/7/19 22:24:52

深入解析 EasyExcel 组件原理与应用

✨深入解析 EasyExcel 组件原理与应用✨ 官方：EasyExcel官方文档 - 基于Java的Excel处理工具 | Easy Excel 官网在日常的 Java 开发工作中，处理 Excel 文件的导入导出是极为常见的需求。今天，咱们就一起来深入了解一款非常实用的操作 Exce…...

编程日记 2025/7/19 13:27:27

基础免杀从.rsrc加载shellcode上线

.rsrc 段是PE文件中的一个特定部分，专门用来存储资源数据。这些资源通常包括图标、位图、字符串表、对话框、菜单、版本信息、字体等具体的shellcode加载方式不在此探讨在这使用传统的指针执行 WindowsAPI 需要用到如下API FindResource 获取指定资源的信息块…...

编程日记 2025/7/18 1:30:44

Spring MVC 深度剖析：优势与劣势全面解读

文章目录 Spring MVC 优势1. **松耦合**2. **易于测试**3. **灵活性**4. **强大的配置机制**5. **异常处理**6. **国际化支持**7. **数据验证**8. **安全性**9. **性能优化** Spring MVC 劣势1. **学习曲线**2. **配置复杂性**3. **性能开销**4. **视图技术限制**5. **社区和支…...

编程日记 2025/7/21 13:12:40

基于Angular+BootStrap+SpringBoot简单的购物网站

目录一、项目结构图二、目录结构解析后端 (Spring Boot) 前端 (Angular) 三、技术栈四、具体功能实现五、数据库设计六、后端实现 1. 设置Spring Boot项目 2. 数据库实体类 3. 创建Repository 4. 创建Service层 5. 创建Controller层七、前端实现&#xff0…...

编程日记 2025/7/19 18:33:27

微软Ignite 2024：建立一个Agentic世界！

在今年的Microsoft Ignite 2024上，AI Agent无疑成为本次大会的重点，已经有十万家企业通过Copilot Studio创建智能体了。微软更是宣布：企业可以在智能体中，使用Azure目录中1800个LLM中的任何一个模型了！ 建立一个Agent…...

编程日记 2025/7/19 6:39:25

AIGC实践-使用Amazon Bedrock的SDXL模型进行文生图

一、Bedrock 简介 Amazon Bedrock 是 Amazon Web Services (AWS) 提供的一种生成式 AI 服务。通过 Bedrock，用户可以方便地使用多种基础模型（Foundation Models），包括 OpenAI 的 GPT、Anthropic 的 Claude 等。这些模型可以用于各…...

编程日记 2025/7/19 18:33:27

Android12 mtk设置插充电器自动开机

Android12 mtk平台通常关机后，插上充电器是进入关机充电流程，显示关机充电动画。那么根据用户需求，如果需要设置关机之后，实现插上充电器后，自动开机。正常流程：机器关机 --> 插上充电器 --> 显示…...

编程日记 2025/7/17 14:14:09

Linux高阶——1117—TCP客户端服务端

目录 1、sock.h socket常用函数网络初始化函数首次响应函数测试IO处理函数获取时间函数总代码 2、sock.c SOCKET() ACCEPT()——服务端使用这个函数等待客户端连接 CONNECT()——客户端使用这个函数连接服务端 BIND()——一般只有服务端使用 LISTEN()——服务端…...

编程日记 2025/7/19 19:47:45

Linux 命令和 vi/vim 命令

Linux 命令概览 1. 文件和目录操作列出目录内容 ls：列出当前目录内容ls -l：以长格式列出ls -a：显示隐藏文件ls -lh：以长格式和人类可读方式显示大小ls -R：递归列出子目录ls -d */：仅列出目录ls -t&#x…...

编程日记 2025/7/17 22:43:06

鸿蒙征文｜鸿蒙心路旅程：始于杭研所集训营，升华于横店

始于杭研所在2024年7月，我踏上了一段全新的旅程，前往风景如画的杭州，参加华为杭研所举办的鲲鹏&昇腾集训营。这是一个专门为开发者设计的培训项目，中途深入学习HarmonyOS相关技术。对于我这样一个对技术充满热情的学生来说&…...

编程日记 2025/7/19 20:06:20

【docker】docker commit 命令将当前容器的状态保存为一个新的镜像

在Docker容器中安装了许多软件，并希望将当前容器的状态保存为一个新的镜像，可以使用docker commit命令来创建一个新的镜像。以下是如何操作的步骤： 找到容器ID或名称： 首先，需要找到想要保存的容器的ID或名称。可以使用…...

编程日记 2025/7/19 19:23:56

Java基础1.0

1.Java有哪些数据结构 Java语言是强类型语言，对于每一种数据都定义了明确的具体数据结构，在内存中分配了不同大小的内存空间。基本数据结构整数类型：byte，short，long，int。字符类型：doub…...

编程日记 2025/7/21 14:33:32

完全二叉树的基本操作（顺序存储）

#include<iostream> #include<math.h> using namespace std;#define MaxSize 100 struct TreeNode {int value;bool isEmpty;//判断该节点是否为空 }t[MaxSize];/** *定义一个长度位MaxSize的数组，按照从上到下， *从左到右的方式依次存储完全…...

编程日记 2025/7/15 17:59:52

动态规划

回文串系列问题

1. 回⽂⼦串（medium）

解析：

解决回文串问题，这里提供三个思路：

1.中心扩展法：n^2 / 1

2.马拉车算法：n / n

3.动态规划算法：n^2 / n^2

1.状态表达式：

2.状态转移方程：

3.初始化：

4.填表顺序：

5.返回值：

代码编写:

总结：

2. 最⻓回⽂⼦串（medium）

解析：

代码编写：

总结：

3. 回⽂串分割IV（hard）

解析：

代码编写：

总结：

4. 分割回⽂串II（hard）

代码编写：

总结：

5. 最⻓回⽂⼦序列（medium）

代码编写：

总结：

6. 让字符串成为回⽂串的最⼩插⼊次数（hard）

解析：

代码编写：

总结：

总结不易~本节对我有很大帮助和收获，希望对你也是~！！！

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