大学物理（2）期末复习笔记【1】
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9. 振动
一、振动
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def：某一物理量在某一数值附近做周期性变化
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周期（T）：完成一次往复运动所需要的时间（s）
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频率（f）：单位时间完成的周期数（f = 1/T）单位为HZ
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振幅（A）：振动的最大偏离平衡位置的距离（m）
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初相位（ϕ）：t=0时的相位
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相位（ωt+ϕ）:描述振动在某一时刻相对于初始位置的状态，用于量化振动的时间位置。
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角频率（ω）：单位时间内完成的振动周期的角度（以弧度为单位）（ω=2πf=2π/T）
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分类：
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机械振动
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物质质点围绕平衡位置的往复运动，【弹簧振子、摆锤】，物体受外力作用而产生的周期性运动，需要介质传播。
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电磁振荡
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电荷在电磁场中产生的周期性变化，e.g.电流和电压在电路中随时间变化的过程，不需要介质
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力学量
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def：描述物体运动、力与能量等方面的物理量（位移、速度、加速度、力、质量、动能、势能）
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电磁量
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def：描述电磁现象的物理量（电场、磁场、电流、电势、电荷、磁场强度）
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二、波动
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def：物理介质或场的扰动传递的过程，可以是周期性的。
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基本特征：波长（波一个周期内的空间距离），频率（单位时间内波的周期数），振幅（波的最大偏移平衡位置的距离），波速（波传播的速度，一般由介质的性质决定）
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分类
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机械波
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需要物质介质传播（声波，水波）
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电磁波
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不需要介质（光波，无线电波）
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三、简谐运动
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def：如果振动可以用时间的单一谐和函数，即一个余弦or正弦函数来描述，称之为简谐运动
-
最简单，最基本的振动
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弹簧振子的运动分析
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胡克定律：F=−kx（F：弹簧恢复力；k：弹簧弹性系数，越硬，系数越大，恢复力越大；x：弹簧偏离平衡位置的位移）
-
牛二：F=ma
$$
a=d^2x/dt^2
$$ -
$$
∴ ma = -kx; m·d^2x/dt^2=-kx
$$ -
-
加速度与位移的大小x成正比，而方向相反
-
简谐运动的微分方程：
-
简谐运动方程
$$
x = Acos(ωt+ϕ)
$$ -
$$
v=dx/dt=-Aωsin(ωt+ϕ)
$$ -
$$
a=d^2x/dt^2=-Aω^2cos(ωt+ϕ)
$$ -
-
振幅：A=|x_max|
-
周期：T = 2Π/ω
-
频率：f=1/T = ω/2Π
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圆频率：ω=2Πv=2Π/T
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-
四、旋转矢量
-
def：旋转矢量是一个在物理学和数学中常用的概念，通常出现在描述简谐振动或波动时，用来以几何方式表示振动或波动的状态。它是用一个旋转的矢量（向量）来描述周期性运动的关键属性，比如振幅、频率和相位。
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自0x轴的原点o作一矢量
-
模长 = 振动的振幅A
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t=0时它与0x中间夹角 = 初相位ϕ
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逆时针旋转的匀角速转动 = 振动频率ω
-
-
-
旋转矢量的端点在x轴上的投影点的运动为简谐运动
-
$$
∵v=dx/dt=-Aωsin(ωt+ϕ)
$$ -
$$
v_m = Aω(v_m的意思是最大速度)
$$ -
$$
同理：∵a=d^2x/dt^2=-Aω^2cos(ωt+ϕ)
$$ -
$$
a_n = Aω^2(a_n指最大加速度)
$$ -
相位差
-
def：表示两个相位之差（两个不同的振动，他们之间的初相位差）
-
-
对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间
-
-
此时的两者的相位差
-
-
$$
Δϕ=ω(t_2-t_1) => Δt=Δϕ/ω
$$ -
e.g.
-
-
-
-
对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异（解决振动合成问题）.
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-
-
例题（1）
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-
解：
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-
例题（2）
-
-
解：
-
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五、单摆
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def：单摆的运动实际上也是一个简谐振动（在小角度近似下），因此对单摆也可以讨论相位和相位差的问题，且和弹簧振子的简谐运动有类似的规律。
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-
对于一个简单单摆，在摆角 θ 很小（即 sinθ≈θ）的情况下，单摆的运动可以近似表示为简谐振动。
-
一些补充知识
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力矩（M）：力对某个旋转轴产生的作用效果，它的大小和作用点到旋转轴的距离以及力的大小和方向有关。
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基本公式：M（N·m）=F·r·sinθ（M：力矩；F：力；r：旋转轴到力作用点的距离；θ：力的方向与力臂之间的夹角）
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转动惯量（J）：转动惯量 JJJ 是描述刚体绕某一轴旋转时的惯性大小。
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基本公式：J=ml^2
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-
牛二定律（转动形式）
-
公式：M = J·α（其中α=d^2θ/dt^2）
-
-
-
$$
-mglθ = J·d^2θ/dt^2
$$ -
$$
∴d^2θ/dt^2=-（g/l）·θ
$$-
-
θm：振幅（最大角位移）
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六、复摆
-
def：是相对于单摆）的一种摆动系统）的一种摆动系统。复摆是任何能够绕固定轴振动的刚体。不同于单摆，复摆的质量并不集中在某一点上，而是分布在整个刚体上
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七、简谐运动的能
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动能
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势能
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机械能
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由能量守恒推简谐运动方程
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例题
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解：
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八、简谐运动的合成
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设一个指点同时参与两独立的同方向、同频率的简谐振动，将两个合成
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-
两个同方向同频率简谐运动合成后仍为同频率的简谐运动
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若当
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两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成
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（通过消去t得到，接下来，进行分类讨论）
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1.
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多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
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两个同方向不同频率简谐运动的合成
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频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.
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-
【其中，v为普通频率，v=1/T，ω=2Π/T，∴ω=2Πv】
-
$$
x(t)=2A [cos(t·(ω_1+ω_2)/2)·cos(t·(ω_1-ω_2)/2)]
$$ -
-
-
八、阻尼振动
-
def：振幅最时间减小（存在阻尼）
-
Fr = -Cv(C：阻力系数；v：物体速度)
-
加上阻尼力后，物体的受力方程为：
-
$$
F = -kx - Cv = ma
$$ -
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受迫振动
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驱动力（周期大小）
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共振
-
当驱动力频率=固有频率，振幅达到最大，称之为共振
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九、电磁振荡
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电磁振荡的实现通常依赖于LC电路（电感 L和电容 C 组成的电路）。在理想情况下（无阻尼），电磁振荡是无能量损失的简谐振荡。
-
LC电路的结构
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电感（L）：储存磁场能量。
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电容（C）：储存电场能量。
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振荡的发生：电容和电感之间不断进行能量交换。
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