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【笔记——李沐动手学深度学习】2.3 线性代数

news 来源：原创 2025/7/3 21:14:14

2.3.1 标量

标量由只有一个元素的张量表示。下面的代码将实例化两个标量，并执行一些熟悉的算术运算，即加法、减、乘法、除法和指数。

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2.3.2 向量

人们通过一维张量表示向量。一般来说，张量可以具有任意长度，取决于机器的内存限制。
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我们可以使用下标来引用向量的任一元素，例如可以通过 $x_i$ 来引用第 $i$ 个元素。

注意，元素 $x_i$ 是一个标量，所以我们在引用它时不会加粗。
大量文献认为列向量是向量的默认方向。

在数学中，向量 $\mathbf{x}$ 可以写为：

$\mathbf{x} =\begin{bmatrix}x_{1} \\x_{2} \\ \vdots \\x_{n}\end{bmatrix},$

其中 $x_1,\ldots,x_n$ 是向量的元素。在代码中，我们(通过张量的索引来访问任一元素)。
注意：下标从0计数。

2.3.2.1 长度、维度和形状

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2.3.3 矩阵

调用函数来实例化张量时，我们可以[通过指定两个分量 $m$ 和 $n$ 来创建一个形状为 $\times n$ 的矩阵]。
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矩阵的转置
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对称矩阵
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2.3.4 张量

当我们开始处理图像时，张量将变得更加重要，图像以 $n$ 维数组形式出现。

个人认为：
标量代表一个元素
向量代表一维数组
矩阵代表二维数组
张量则代表多维（>2），但是张量也可以代表标量/向量/矩阵
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2.3.5 张量算法的基本性质

矩阵加法： 将两个相同形状的矩阵相加，会在这两个矩阵上执行元素加法。
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Hadamard积： 两个矩阵的按元素乘法（Hadamard product）（数学符号 $\odot$ ）。
$\mathbf{A} \odot \mathbf{B} = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{12} b_{12} & \dots & a_{1n} b_{1n} \\ a_{21} b_{21} & a_{22} b_{22} & \dots & a_{2n} b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{m1} & a_{m2} b_{m2} & \dots & a_{mn} b_{mn} \end{bmatrix}.$
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将张量乘以或加上一个标量不会改变张量的形状，其中张量的每个元素都将与标量相加或相乘。
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2.3.6 降维

元素和，可以表示任意形状张量的元素和
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指定张量沿哪一个轴来通过求和降低维度

对于二维而言，轴0为行，轴1为列。axis=0代表行消失，多行变为一行。

平均值
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2.3.6.1 非降维求和

有时在调用函数来计算总和或均值时保持轴数不变会很有用。
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由于sum_A在对每行进行求和后仍保持两个轴，我们可以(通过广播将A除以sum_A)。
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铅某个轴计算A元素的累积总和
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2.3.7 点积

一维向量的点积 在这里插入图片描述

可以通过执行按元素乘法，然后进行求和来表示两个向量的点积
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2.3.8 矩阵-向量积

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2.3.9 矩阵-矩阵乘法

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2.3.10 范数

$L_2$ 范数： 向量元素平方和的平方根

$\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2},$
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$L_1$ 范数： 向量元素的绝对值之和
深度学习中更经常地使用 $L_2$ 范数的平方，也会经常遇到 $L_1$ 范数。

与 $L_2$ 范数相比， $L_1$ 范数受异常值的影响较小。
为了计算 $L_1$ 范数，我们将绝对值函数和按元素求和组合起来。

$\|\mathbf{x}\|_1 = \sum_{i=1}^n \left|x_i \right|.$

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Frobenius范数： 矩阵元素平方和的平方根
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【笔记——李沐动手学深度学习】2.3 线性代数

2.3.1 标量标量由只有一个元素的张量表示。下面的代码将实例化两个标量，并执行一些熟悉的算术运算，即加法、减、乘法、除法和指数。 2.3.2 向量人们通过一维张量表示向量。一般来说，张量可以具有任意长度，取决于机器的内存限…...

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2.3.6.1 非降维求和

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2.3.9 矩阵-矩阵乘法

2.3.10 范数

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