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算法与数据结构：动态规划DP

news 来源：原创 2025/6/26 7:58:25

文章目录

      • 动态规划算法全面解析
        • 一、核心思想与基本概念
        • 二、动态规划与其他算法的区别
        • 三、动态规划的解题步骤
        • 四、经典案例解析
          • 1. **斐波那契数列（Fibonacci）**
          • 2. **0-1背包问题（0-1 Knapsack）**
          • 3. **最长公共子序列（LCS）**
        • **五、动态规划的优化技巧**
        • **六、动态规划的应用场景**
        • **七、动态规划与贪心的对比**
        • **八、学习建议**

动态规划算法全面解析

动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种通过将复杂问题分解为重叠子问题，并利用子问题的解来高效解决原问题的算法思想。它与分治法类似，但更注重对重复子问题的优化，避免重复计算，从而大幅提升算法效率。

一、核心思想与基本概念

  1. 重叠子问题（Overlapping Subproblems）
    问题可以分解为多次重复出现的子问题。例如斐波那契数列中，计算fib(n)时需要重复计算fib(n-1)和fib(n-2)。

  2. 最优子结构（Optimal Substructure）
    问题的最优解包含子问题的最优解。例如最短路径问题中，从A到C的最短路径必然包含A到B的最短路径（若B是路径中的节点）。

  3. 状态转移方程
    用数学公式定义子问题之间的关系，是动态规划的核心。例如斐波那契数列的状态转移方程为：
    f i b ( n ) = { 0 , n = 0 1 , n = 1 f i b ( n − 1 ) + f i b ( n − 2 ) , n > 1 fib(n) = \begin{cases} 0, & n=0 \\ 1, & n=1 \\ fib(n-1) + fib(n-2), & n>1 \end{cases} fib(n)=⎩ ⎨ ⎧​0,1,fib(n−1)+fib(n−2),​n=0n=1n>1​

二、动态规划与其他算法的区别
算法类型核心策略重复子问题处理典型案例
动态规划利用子问题解存储与复用存储结果避免重复计算背包问题、最长公共子序列
分治法将问题分解为独立子问题不存储子问题解归并排序、快速幂
贪心算法每一步选择局部最优解不考虑子问题重叠霍夫曼编码、活动选择问题
三、动态规划的解题步骤

  1. 定义状态
    明确dp[i]表示什么，通常与问题的规模或阶段相关。例如：

    • dp[i]：长度为i的序列的最优解
    • dp[i][j]：二维问题中第i行第j列的状态

  2. 推导状态转移方程
    找出dp[i]与dp[i-1]、dp[i-2]等子状态的关系，例如：

    • 背包问题：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])
    • 最长递增子序列（LIS）：dp[i] = max(dp[j] + 1) ，其中j < i且nums[j] < nums[i]

  3. 确定初始条件
    处理最小规模的子问题，例如：

    • dp[0] = 0（空序列的解）
    • dp[i][0] = 0（背包容量为0时无法装物品）

  4. 确定计算顺序
    确保计算dp[i]时，其依赖的子状态已被计算，通常采用自底向上（迭代）的方式。

  5. 获取最终结果
    根据问题要求，从状态数组中提取答案（可能是dp[n]或max(dp[1..n])等）。

四、经典案例解析
1. 斐波那契数列（Fibonacci）
  • 问题：计算第n个斐波那契数。
  • 暴力递归：时间复杂度O(2^n)，存在大量重复计算。
  • 动态规划解法：
    def fib_dp(n):if n <= 1:return ndp = [0] * (n + 1)dp[0], dp[1] = 0, 1for i in range(2, n + 1):dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]return dp[n]
  • 优化：只需存储前两个状态，空间复杂度从O(n)降为O(1)：
    def fib_optimized(n):if n <= 1:return na, b = 0, 1for _ in range(2, n + 1):a, b = b, a + breturn b
2. 0-1背包问题（0-1 Knapsack）
  • 问题：有n个物品，每个物品重量w[i]、价值v[i]，背包容量W，求能装的最大价值。
  • 状态定义：dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包的最大价值。
  • 状态转移：
    • 不选第i个物品：dp[i][j] = dp[i-1][j]
    • 选第i个物品（若j >= w[i]）：dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i]
    • 最终：dp[i][j] = max(不选, 选)
  • 代码实现：
    def knapsack(w, v, W):n = len(w)dp = [[0] * (W + 1) for _ in range(n + 1)]for i in range(1, n + 1):for j in range(W + 1):if w[i-1] <= j:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]] + v[i-1])else:dp[i][j] = dp[i-1][j]return dp[n][W]
  • 空间优化：使用一维数组，逆序更新（避免重复使用当前物品）：
    def knapsack_optimized(w, v, W):n = len(w)dp = [0] * (W + 1)for i in range(n):for j in range(W, w[i] - 1, -1):dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i])return dp[W]
3. 最长公共子序列（LCS）
  • 问题：求两个字符串A和B的最长公共子序列长度。
  • 状态定义：dp[i][j]表示A[0..i-1]和B[0..j-1]的LCS长度。
  • 状态转移：
    • 若A[i-1] == B[j-1]：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
    • 否则：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
  • 代码示例：
    def lcs_length(text1, text2):m, n = len(text1), len(text2)dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]for i in range(1, m + 1):for j in range(1, n + 1):if text1[i-1] == text2[j-1]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1else:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])return dp[m][n]
五、动态规划的优化技巧

  1. 空间压缩

    • 一维DP：将二维状态数组压缩为一维（如0-1背包的优化）。
    • 滚动数组：仅保留与当前状态相关的前几个子状态（如斐波那契数列）。

  2. 状态转移优化

    • 利用数据结构（如平衡树、单调队列）加速状态转移。
    • 矩阵快速幂：将线性递推关系转化为矩阵乘法，适用于大规模数据。

  3. 记忆化搜索（自顶向下）

    • 用递归+缓存的方式避免重复计算，适合子问题依赖关系复杂的场景。
    def fib_memo(n, memo={}):if n in memo:return memo[n]if n <= 1:memo[n] = nelse:memo[n] = fib_memo(n-1, memo) + fib_memo(n-2, memo)return memo[n]
六、动态规划的应用场景
  • 组合优化问题：背包问题、旅行商问题（TSP）、最短路径。
  • 字符串处理：编辑距离、最长回文子串、正则表达式匹配。
  • 数学问题：硬币找零、整数拆分、矩阵链乘法。
  • 概率与统计：股票买卖最佳时机、骰子点数组合。
  • 图论问题：状态压缩DP（如哈密顿路径）。
七、动态规划与贪心的对比
  • 动态规划：考虑所有可能的子问题，确保全局最优，但时间复杂度较高。
  • 贪心算法：每一步选局部最优，可能无法得到全局最优，但效率更高。
  • 案例对比：
    • 活动选择问题：贪心可直接选结束时间最早的活动，无需DP。
    • 背包问题：贪心（按单位重量价值选）无法得到最优解，必须用DP。
八、学习建议
  1. 从基础案例入手：先掌握斐波那契、背包、LCS等经典问题。
  2. 多练习状态定义：动态规划的核心难点在于状态转移方程的推导。
  3. 注意边界条件：初始状态的设定直接影响结果正确性。
  4. 分析时间与空间复杂度：优化算法时需平衡两者。
  5. 参考解题模板：许多DP问题有固定的状态设计模式（如区间DP、树形DP）。

动态规划是算法设计中最具挑战性的思想之一，但通过大量练习和总结，能够有效提升解决复杂问题的能力。

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编程日记 2025/6/23 14:02:06

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如何设计一个秒杀场景&#xff1f; 面试官您好&#xff0c;设计一个秒杀系统&#xff0c;是对一个工程师综合技术能力的巨大考验。它的核心挑战在于&#xff0c;如何在极短的时间内&#xff0c;应对超高的并发请求&#xff0c;同时保证数据&#xff08;尤其是库存&#xff09;…...

编程日记 2025/6/26 1:19:45

如何在FastAPI中玩转GitHub认证，让用户一键登录？

title: 如何在FastAPI中玩转GitHub认证，让用户一键登录？ date: 2025/06/22 09:11:47 updated: 2025/06/22 09:11:47 author: cmdragon excerpt: GitHub第三方认证集成通过OAuth2.0授权码流程实现，包含用户跳转GitHub认证、获取授权码、交换访问令牌及调用API获取用户信息四…...

编程日记 2025/6/23 14:01:04

[RPA] 影刀RPA实用技巧

1.给数字添加千分位分隔符 将变量variable的数值(2025.437)添加千分位分隔符&#xff0c;使其变为2,025.437 流程搭建&#xff1a; 关键指令&#xff1a; 2.删除网页元素 将bilibili官网的"动态"图标进行删除 流程搭建&#xff1a; 关键指令&#xff1a; 呈现效果…...

编程日记 2025/6/25 20:16:35

RA4M2开发IOT(7)----RA4M2驱动涂鸦CBU模组

RA4M2开发IOT.7--RA4M2驱动涂鸦CBU模组 概述视频教学样品申请硬件准备参考程序初始化 LSM6DSV16X 传感器初始化单双击识别主程序接口RA4M2接口生成UARTUART属性配置R_SCI_UART_Open()函数原型回调函数user_uart_callback0 ()变量定义更新敲击状态DP同步长按进入配网涂鸦协议解析…...

编程日记 2025/6/26 7:22:51

华为公布《鸿蒙编程语言白皮书》V1.0 版：解读适用场景

6 月 22 日消息&#xff0c;华为现已在其开发者网站上架《鸿蒙编程语言白皮书》V1.0 版本&#xff0c;主要围绕鸿蒙 HarmonyOS 整体框架、适用场景、演进策略、未来愿景四大角度进行阐述&#xff0c;文档访问地址&#xff08;https://developer.huawei.com/consumer/cn/doc/gui…...

编程日记 2025/6/23 13:37:28

多源异构数据接入与实时分析：衡石科技的技术突破

在数字化转型的浪潮中&#xff0c;企业每天产生的数据量呈指数级增长。这些数据来自CRM系统、IoT设备、日志文件、社交媒体、交易平台等众多源头&#xff0c;格式各异、结构混乱、流速不一。传统的数据处理方式如同在无数孤立的岛屿间划着小船传递信息&#xff0c;效率低下且无…...

编程日记 2025/6/23 13:37:27

多设备Obsidian笔记同步：WebDAV与内网穿透技术高效实现教程

文章目录 前言1. Windows开启Webdav服务2. 客户端测试3. 安装Cpolar内网穿透实现公网访问Webdav4. 同步PC端笔记至WebDav4.1 首先需要在IIS中添加md的格式4.2 在Obsidian中安装第三方插件 5. 同步手机端笔记至WebDav 前言 各位好&#xff01;在数字化浪潮席卷的当下&#xff0…...

编程日记 2025/6/23 13:36:25