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动态规划<五> 子数组问题(含对应LeetcodeOJ题)

目录

引例

 经典LeetcodeOJ题

1.第一题

2.第二题

 3.第三题

 4.第四题

5.第五题

 6.第六题

 7.第七题

引例

OJ传送门 Leetcode<53> 最大子数组和

画图分析:

 使用动态规划解决

1.状态表示

dp[i]表示以i位置为结尾的所有子数组中的最大和

2.状态转移方程

子数组的问题可以根据最近的一步划分为长度为1和长度大于1这两种情况

3.初始化

根据状态转移方程,可能会访问越界的为i=0时,这里使用添加一个虚拟节点的方式来初始化

根据上面的dp表示,dp[0]的值应该是nums[0],那么为了不影响dp[0],此时dp[0-1]初始化为0,在多添加一个节点后,即dp[0-1+1]=0

往后在计算时要注意下标的映射关系

4.填表顺序  从左往右

5.返回值 因为求解的为子串,可能会以任意一个位置结束

所以返回值是整个dp表中的最大值 

具体代码:

int maxSubArray(vector<int>& nums) {int n=nums.size();vector<int> dp(n+1);int ret=INT_MIN;for(int i=1;i<=n;++i) {dp[i]=max(nums[i-1],nums[i-1]+dp[i-1]);//注意下标的映射关系ret=max(ret,dp[i]);} return ret;}

 经典LeetcodeOJ题

1.第一题

OJ传送门 Leetcode<53> 环形子数组的最大和

画图分析:

 使用动态规划解决

1.状态表示

f[i]表示以i位置为结尾的所有子数组中的最大和

g[i]表示以i位置为结尾的所有子数组中的最小和

2.状态转移方程

和上面例题一样进行分析

 

3.初始化

和上面例题一样,添加一个虚拟节点来完成初始化,虚拟节点值为0

4.填表顺序 从左往右

5.返回值

 具体代码:

 int maxSubarraySumCircular(vector<int>& nums) {int n=nums.size(),sum=0;for(auto x:nums) sum+=x;vector<int> f(n+1),g(n+1);int fmax=INT_MIN,gmin=INT_MAX;for(int i=1;i<=n;++i){f[i]=max(nums[i-1],nums[i-1]+f[i-1]);g[i]=min(nums[i-1],nums[i-1]+g[i-1]);fmax=max(fmax,f[i]);gmin=min(gmin,g[i]);}return sum==gmin? fmax:max(fmax,sum-gmin);}

2.第二题

OJ传送门 Leetcode<152> 乘积最大子数组

画图分析:

 使用动态规划来解决

1.状态表示---根据经验(以xx位置为结尾,xxxx)+题目要求

dp[i]表示以i位置为结尾的所有子数组中的最大乘积

此时来分析状态转移方程的话,就会发现当nums[i]<0时,在前面需要求的是最小乘积

当nums[i]>0时,在前面求的是最大乘积,此时状态表示显然不能支持,就需要多加一维或者分开写

f[i]表示以i位置为结尾的所有子数组中的最大乘积

g[i]表示以i位置为结尾的所有子数组中的最小乘积

2.状态转移方程  不用考虑nums[i]=0的情况,选择0的话,乘积也都是0,在vector初始化是本来都是0

3.初始化--增加一个虚拟节点

根据状态表示及状态转移方程分析,将f[0]=g[0]=1

4.填表顺序  从左往右

5.返回值  f表中的最大值

具体代码:

int maxProduct(vector<int>& nums) {int n=nums.size();vector<int> f(n+1),g(n+1);f[0]=g[0]=1;int ret=INT_MIN;for(int i=1;i<=n;++i){int x=nums[i-1],y=g[i-1]*nums[i-1],z=f[i-1]*nums[i-1];f[i]=max(x,max(y,z));g[i]=min(x,min(y,z));ret=max(ret,f[i]);}return ret;}

 3.第三题

OJ传送门 Leetcode<1567> 乘积为正数的最长子数组长度

画图分析:

 使用动态规划解决

1.状态表示  nums[i]可正可负,求子数组的积或和所以一般是要定两个状态

f[i]表示以i位置为结尾的所有子数组中乘积为正数的最长长度

g[i]表示以i位置为结尾的所有子数组中乘积为负数的最长长度

2.状态转移方程

3.初始化----添加一个虚拟节点来辅助初始化

分析状态表示及状态转移方程,f[0],g[0]进行判断,因此填的值都为0

4.填表顺序  从左往右

5.返回值    f表中的最大值

具体代码:

int getMaxLen(vector<int>& nums) {int n=nums.size();vector<int> f(n+1),g(n+1);int ret=INT_MIN;for(int i=1;i<=n;++i){if(nums[i-1]>0){f[i]=f[i-1]+1;g[i]=g[i-1]==0? 0:g[i-1]+1;}else if(nums[i-1]<0){f[i]=g[i-1]==0? 0:g[i-1]+1;g[i]=f[i-1]+1;}ret=max(ret,f[i]);//更新结果}return ret;}

 4.第四题

OJ传送门 Leetcode<413> 等差数列划分

画图分析:

使用动态规划解决

1.状态表示  -----经验+题目要求

 dp[i]表示以i结尾的所有子数组中有多少个等差数列

2.状态转移方程

先补充一个小知识,若a,b,c,d,e是等差数列,在e的后面添加元素f,f与e的之差和前面的任意两个元素的差相等,此时就能说明,a,b,c,d,e,f成等差数列

3.初始化

根据状态转移方程及状态表示,可以将dp[0],dp[1]进行初始化,因为构成等差数列的最少元素为3个,因此dp[0]=dp[1]=0

4.填表顺序    从左往右

5.返回值   因为题目求的为等差数组的个数,因此结尾位置不确定,得统计整个dp表 

具体代码 :

int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums) {int n=nums.size();vector<int> dp(n);int sum=0;for(int i=2;i<n;++i){dp[i]=nums[i-1]-nums[i]==nums[i-2]-nums[i-1]? dp[i-1]+1:0;sum+=dp[i];}return sum;}

5.第五题

OJ传送门 Leetcode<978> 最长湍流子数组

画图分析:

使用动态规划解决

1.状态表示

dp[i]表示以i位置为结尾的所有子数组中,最长的湍流子数组的长度

但在以最近的一步来划分子问题时,会发现nums[i]与nums[i-1]的大小关系有三种

但要形成湍流数组的话,就需要以nums[i-1]为结尾时的状态是上升还是下降的

 

这就说明一个状态不能解决问题,就需要再创建一个状态来表示

f[i]表示以i位置元素为结尾的所有子数组中,最后呈现"上升" 状态的湍流子数组的最大长度

g[i]表示以i位置元素为结尾的所有子数组中,最后呈现"下降" 状态的湍流子数组的最大长度

2.状态转移方程--根据nums[i]与nums[i-1]的大小关系分开处理

3.初始化

可能会发生越界的为g[0],f[0]这时根据题意及状态表示,自己一个元素即可以是上升也可以是下降的,因此初始化为1,为了简化状态转移方程来填dp表,可以将dp数组中的元素都初始化为1,这时就不用考虑很多情况了

4.填表顺序   从左往右,两个表一起填

5.返回值  求的是最长湍流数组的长度,最后一个位置的状态不一定是上升还是下降的,因此返回指的是f,g两个表中的最大值

具体代码:

 int maxTurbulenceSize(vector<int>& nums) {int n=nums.size();vector<int> f(n,1),g(n,1);int ret=1;for(int i=1;i<n;++i){if(nums[i-1]<nums[i]) f[i]=g[i-1]+1;else if(nums[i-1]>nums[i]) g[i]=f[i-1]+1;ret=max(ret,max(f[i],g[i]));}return ret;}

 6.第六题

OJ传送门 Leetcode<139> 单词拆分

 画图分析:

使用动态规划解决

1.状态表示

dp[i]表示[0,i]区间的最长子串,能否被字典中的单词拼接而成

2.状态转移方程  以最近的一步来划分问题

3.初始化

当j=0时,说明整个字符串都被当成最后一个单词了,若单词在字典中,其结果为true

为方便初始化,可以添加一个虚拟的节点,在字符串中的话,就可以在头部拼接一个字符

4.填表顺序    从左往右

5.返回值     dp[n]

具体代码:

bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {//先做一个优化unordered_set<string> hash;for(auto& str:wordDict) hash.insert(str);int n=s.size();vector<bool> dp(n+1);dp[0]=true;//保证后续的填表时正确的s='-'+s;//是原始字符串的下标统一+1for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=i;j>=1;--j)//最后一个单词的起始位置{if(dp[j-1]&& hash.count(s.substr(j,i-j+1))){dp[i]=true;break;}}}return dp[n];}

 7.第七题

OJ传送门 Leetcode<467> 环绕字符串中唯一的子字符串

画图分析:

使用动态规划解决

1.状态表示

dp[i]表示以i位置元素为结尾的所有子串,在base中出现的个数

2.状态表示

3.初始化

根据题意及状态表示,每个字符都是会出现的,结果都是1,因此可以将dp表全部初始化为1

4.填表顺序   从左往右

5.返回值    此处应该注意重复结果的去重

如示例中的第二个cac,若直接返回dp表的和的话,就会错误

此时可以举个例子来分析一下

 具体代码:

int findSubstringInWraproundString(string s) {int n=s.size();vector<int> dp(n,1);for(int i=1;i<n;++i)if((s[i-1]+1==s[i]) || (s[i]=='a'&& s[i-1]=='z')) dp[i]+=dp[i-1];int hash[26]={0};for(int i=0;i<n;++i)hash[s[i]-'a']=max( hash[s[i]-'a'],dp[i]);int sum=0;for(auto x:hash) sum+=x;return sum;}

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去年6月&#xff0c;我有幸聆听了由华政公共管理与政治学院精心组织的2019年MPA研究生高端论坛&#xff0c;上午场&#xff1a;由董海军&#xff08;中共上海市委机构编制委员会办公室处长&#xff09;主讲的深化机构改革的探索与实践&#xff0c;以及下午场&#xff1a;由束金…...

【论文笔记】Visual Alignment Pre-training for Sign Language Translation

&#x1f34e;个人主页&#xff1a;小嗷犬的个人主页 &#x1f34a;个人网站&#xff1a;小嗷犬的技术小站 &#x1f96d;个人信条&#xff1a;为天地立心&#xff0c;为生民立命&#xff0c;为往圣继绝学&#xff0c;为万世开太平。 基本信息 标题: Visual Alignment Pre-tra…...

一起学Git【第五节:git版本回退】

git reset 是 Git 版本控制系统中一个非常强大的命令,它可以用来重置当前分支到指定的状态,即执行撤销操作或者回退至之前的某一版本,他可以回退至之前的某一个提交状态。有三种主要的用法:git reset --soft;git reset --hard;git reset --mixed; 对比如图: 1.git res…...