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多边形内角问题@三角形的基本性质@平面镶嵌问题

news 来源：原创 2025/7/14 2:34:17

文章目录

- abstract
- 符号说明
- 多边形
- 正多边形
- - 正 $n$ 边形
  - 正多边形中心角
- 多边形内角和外角
- - 多边形内角和定理证明
  - - 证法一
    - 证法二
    - 证法三
  - 多边形外角
- 多边形的对角线
- 平面镶嵌👺
- - 全等多边形平面镶嵌
  - 拓展
  - 正多边形镶嵌平面
  - - 用一种正多边形镶嵌
    - 用两种正多边形镶嵌
  - 使用三种正多边形镶嵌
  - 其他
- 公式与性质小结👺
- - 基本性质
  - 对角线性质

abstract

介绍初等数学多边形基本知识(概念和常用结论及其证明或推导),包括正多边形和平面镶嵌问题

符号说明

本文中 $\pi$ 是角度的弧度制, $\pi=180\degree$ ,同理 $2\pi=360\degree$

多边形

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形(polygon)

设多边形的 $n$ 个顶点为 $A_{1},\cdots,A_{n}$
凸多边形
- 过任意的相邻两点 $A_{i}A_{i+1}$ 作一条直线,多边形的所有其他顶点都在该直线的同一侧,则该多边形为凸多边形
凹多边形
- 存在某两个相邻顶点 $A_{i}A_{i+1}$ 所在直线,使得多边形的顶点在直线两侧都有分布,则该多边形是凹多边形
一般的,多边形非凸及凹,本文我们讨论的是凸多边形

正多边形

正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

对于 $n$ 边形的内角和为 $\sum_{i=1}^{n}A_i$ = $(n-2)\pi$ ,( $n\geqslant{3}$ ,且 $n\in\mathbb{N}$ )
- 例如, $n = 3, 4, 5$ 时,对应的多边形内角和分别为 $\pi,2\pi,3\pi$

正 $n$ 边形

正 $n$ 边形的 $n$ 个内角相等,并且均为 $\theta(n)$ = $\frac{(n-2)\pi}{n}$
容易证明 $\theta(n)$ = $(1-\frac{2}{n})\pi$ 是递增函数,因此边数越多,内角就越大,并且 $n\to\infin$ 时, $\theta(n)\to{\pi}$ ,( $\theta(n)<\pi$ )
例如
- 正三角形内角为 $\frac{1}{3}\pi$
- 正方形内角为 $\frac{1}{2}{\pi}$
- 正五边形内角为 $\frac{3}{5}\pi$
- …

正多边形中心角

中心与任意两个相邻顶点的连线夹角为 $\tau(n)$ = $\frac{2\pi}{n}$ ,这是显然的(正 $n$ 边形的中心角有 $n$ 个,并且它们相等,而且总度数为 $2\pi$ ),这个公式和正多边形的外角公式相同
- 这是一个递减函数
- 中心与所有顶点连成线段后,将得到 $n$ 个顶点重合的等腰三角形,这对等角为 $\frac{1}{2}(\pi-\frac{2\pi}{n})$
例如正三角形的中心角和外角都等于 $\tau(n)$ = $\frac{2}{3}\pi$

多边形内角和外角

多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

多边形内角和定理：n 边形的内角的和等于 $\times 180\degree$ ，则正多边形各内角度数为： $\times 180\degree/n$

多边形内角和定理证明

有多种证法

证法一

在 n 边形内任取一点 O，连结 O 与各个顶点，把 n 边形分成 n 个三角形。
因为这 n 个三角形的内角的和等于 $\cdot 180\degree$ ，以 O 为公共顶点的 n 个角的和是 $360\degree$
所以 n 边形的内角和是 $\cdot 180\degree - 2 \times 180\degree = (n - 2) \cdot 180\degree$ 。
即 n 边形的内角和等于 $\times 180\degree$ 。

证法二

三角形的内角和是 $180\degree$ ,一个 $n$ 边形(记为 $T_{n}$ )有 $n$ 个顶点(不妨记为 $A_{1},\cdots,A_{n}$ )

我们任意取定一个顶点,例如 $A_1$ ,分别连结线段 $A_{1},A_{i}$ , $(i=2,\cdots,n-1)$ ,共有 $n - 2$ 条线段

全部连结后, $T_{n}$ 就被划分为 $n - 2$ 个三角形

因为这 $(n - 2)$ 个三角形的内角和都等于 $180\degree$ ,所以 n 边形的内角和是 $\times 180\degree$ 。

证法三

在 n 边形的任意一边上任取一点 P，连结 P 点与其它各顶点的线段可以把 n 边形分成 $(n - 1)$ 个三角形，
这 $(n - 1)$ 个三角形的内角和等于 $\cdot 180\degree$
以 P 为公共顶点的 $(n - 1)$ 个角的和是 $180\degree$
所以 n 边形的内角和是 $\cdot 180\degree - 180\degree = (n - 2) \cdot 180\degree$ 。
已知正多边形内角度数 $\alpha$ 则其边数为： $-\alpha)$

多边形外角

多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

显然内角,外角的取值范围是 $(0\degree,180\degree)$

任意多边形的外角和为 $360\degree$

推导: $n$ 边形的内角和为 $(n-2)\pi$ ,而多边形 $T_{n}=A_{1}\cdots{A_{n}}$ 的任意内角 $A_{i}$ 及其对应的外角 $\overline{A}_{i}$ 之和为 $\pi$

从而 $\sum_{i=1}^{n}\overline A_{i}$ = $n\pi-\sum_{i=1}^{n}A_{i}$ = $n\pi-(n-2)\pi$ = $2\pi$

多边形的对角线

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

平面镶嵌👺

平面镶嵌

平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

镶嵌的一个关键点是：在每个公共顶点处，各角的和是 $360\degree$ 。

平面镶嵌要求任意一个角周围都能够被密铺无空隙,只有部分角被密铺是达不到要求的(例如带有直角的一批全等七边形,虽然可针对直角进行密铺,但是其他角无法密铺,就不能够算是能密铺的)

全等多边形平面镶嵌

全等的任意三角形能镶嵌平面
- 把一些纸整齐地叠放好，用剪刀一次即可剪出多个全等的三角形。用这些全等的三角形可镶嵌平面。这是因为三角形的内角和是 $180\degree$ ，用 6 个全等的三角形即可镶嵌出一个平面。
全等的任意四边形能镶嵌平面。
- 仿上面的方法可剪出多个全等的四边形，用它们可镶嵌平面。这是因为四边形的内角和是 $360\degree$ ，用 4 个全等的四边形即可镶嵌出一个平面

拓展

全等的特殊五边形可镶嵌平面
- 已知的全等五边形镶嵌平面至少有 15 类,是否有更多有待研究,这是个世界级难题
全等的特殊六边形可镶嵌平面
- 1918 年，莱因哈特证明了只有 3 类六边形能镶嵌平面。(显然正六边形是可以镶嵌平面的)
七边形或多于七边的凸多边形，不能镶嵌平面。
- 证明:参考相关期刊平面镶嵌问题:从全等凸七边形不能镶嵌平面谈起

小结:边数非5的全等多边形平面镶嵌问题已经都被解决了,唯独边数为5的情况最为困难

正多边形镶嵌平面

本节讨论仅使用同一种正多边形和多种混合正多边形的平面镶嵌问题

用一种正多边形镶嵌

只有正三角形、正方形和正六边形3种正多边形可镶嵌平面，用其它正多边形不能镶嵌平面。

仅用正 $n$ 边形实现平面镶嵌

设 $k$ 个正 $n$ 边形可以实现平面镶嵌,则 $k\frac{n-2}{n}\pi=2\pi$ (1), $(k\in\mathbb{N_{+}})$
- 方程1可等价变形为 $k=\frac{2n}{n-2}$ ,进一步变形: $k=1+\frac{n+2}{n-2}$ (2);
- 问题转换为求 $n$ 的正整数解,为了便于确定整数解,可以将方程2的等号右边的变量 $n$ 进一步集中
  - 若令 $t = n - 2$ ,则 $k=1+\frac{t+4}{t}$ = $2+\frac{4}{t}$
  - 显然若 $k$ 取整数时, $2+\frac{4}{t}$ 取整数,即 $\frac{4}{t}$ 取整数,从而 $t$ 的可能取值为 $1, 2, 4$
- 而 $n = t + 2$ ,所以 $n$ 的可能取值为 $3, 4, 6$
- (直接将方程2进一步变形为 $k=1+\frac{n-2+4}{n-2}$ = $2+\frac{4}{n-2}$ 也可以得出同样结论)
可见,正多边形中,只有正三角形,正方形,正六边形能够平面镶嵌,其余多边形不可能平面镶嵌

用两种正多边形镶嵌

例如：用正三角形和正六边形的组合进行镶嵌。

设在一个顶点周围有 $m$ 个正三角形的角，有 $n$ 个正六边形的角。由于正三角形的每个角是 $60\degree$ ，正六边形的每个角是 $120\degree$ ，所以有 $\cdot 60\degree + n \cdot 120\degree = 360\degree$ ,(若用弧度制表示: $\frac{1}{3}m\pi+\frac{2}{3}n\pi=2\pi$ )

即 $m + 2 n = 6$

求这个方程的正整数解(是一元二次不定方程的整数解问题,系统的解方程方法参考数论相关内容);

对于本例,显然 $m$ 不超过6,而且 $n$ 不超过3,可以枚举尝试 $n = 1, 2, 3$ ;可得 $n = 1, m = 4$ , $n = 2, m = 2$ 两组解,即
$\begin{cases} m = 4, & n = 1; \\ m = 2, & n = 2. \end{cases}$

可见用正三角形和正六边形镶嵌，有两种类型:(正六边形的数量不超过正三角形的数量)

一种是在一个顶点的周围有 4 个正三角形和 1 个正六边形，
一种是在一个顶点的周围有 2 个正三角形和 2 个正六边形。

使用三种正多边形镶嵌

用3种：（3，4，4，6）（4，6，12）（3，3，4，12） …

括号中的数字表示正多边形的边数,括号中的数字个数表示组合中砖块的个数,例如(3,4,4,6)表示用到了 $n = 3, 4, 6$ 的正多边形,其中正方形2块,其余两种各一块

其他

不能用3种以上的正多边形镶嵌：

从4种正多边形入手:设参与平面镶嵌的4种正多边形的内角分别为 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{4}$ ,则对于密铺要求 $\sum_{i=1}^{4}k_{i}a_{i}=2\pi$ ,其中 $k_{i}$ 为正整数(如果有一个是0,说明该种正多边形无法参与平面镶嵌)

因为若用4种，则内角和最小为60+90+108+120=378＞360,说明不可能用3种以上的正多边形镶嵌

公式与性质小结👺

基本性质

三角形的内角和：三角形的内角和为 $180\degree$
三角形外角的性质：
1. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
2. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
多边形内角和公式：n 边形的内角和等于 $\cdot 180\degree$
多边形的外角和：多边形的内角和为 $360\degree$ 。
正 $n$ 边形的内角为 $(n-2)\pi/n$ = $(1-\frac{2}{n})\pi$ ;外角为 $2\pi/n$
- 外角公式推导: $\pi-(n-2)\pi/n$ = $2\pi/n$
当 $n$ 越大,内角越大,外角越小
- 对于凸多边形,内角和外角的取值范围都是 $(0,\pi)$

对角线性质

多边形对角线的条数：

从 $n$ 边形的一个顶点出发可以引 $n - 3$ 条对角线，把多边形分成 $n - 2$ 个三角形。
$n$ 边形共有 $\frac{n(n-3)}{2}$ 条对角线。

由于一个顶点可以引出 $n - 3$ 条对角线,那么 $n$ 个顶点可以引出 $n (n - 3)$ 条对角线(包含重复);

任意取一条对角线 $A_{i}A_{j}$ , $(∣ i - j ∣ > 1)$ ,如果按照每个顶点往其余 $n - 2$ 个顶点画出所有对角线,那么在 $A_{i}A_{j}$ 会被绘制两次,一次是从 $A_{i}\to{A_{j}}$ ,另一次是 $A_{j}\to{A_{i}}$ ,并且不会有第三次绘制,因为包含其他顶点( $A_{k},(k\neq{i,j})$ )的对角线不会同时经过 $A_{i},A_{j}$ ;所以 $n$ 边形共有 $n (n - 3) /2$ 条对角线

在图论中， $n$ 个顶点的任意两个顶点都有边的图称为完全图,其边数为 $n (n - 1) /2$ ;推导过程类似