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【C++】函数计算题解论

news 来源：原创 2025/6/21 13:07:46

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本文专栏: C++

文章目录

  • 💯前言
  • 💯题目描述
  • 💯思路解析
    • 3.1 函数的递归定义
    • 3.2 边界条件控制
    • 3.3 记忆化搜索
  • 💯C++实现代码
  • 💯添加解释
  • 💯小结

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💯前言

  • 在编程演练中，递归和记忆化算法是解决复杂问题的重要工具。特别是对于大规模动态规划问题，递归算法通过问题分解实现小问题的求解，而记忆化算法则是其性能优化的重要手段。本文将对一道基于递归和记忆化的函数计算题目进行全面解论，通过完整的思路解析和代码讲解，帮助研究生提升对递归与动态规划问题的理解深度和实现能力。
    C++ 参考手册
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💯题目描述

有一个数列，函数定义如下：

f ( n ) = f ( n − 1 ) + f ( n / / 2 ) + f ( n / / 3 ) f(n) = f(n-1) + f(n//2) + f(n//3) f(n)=f(n−1)+f(n//2)+f(n//3)

其中：

  • n//m表示正整除法。例如：3//2 = 1，4//2 = 2，5//2 = 2。
  • 边界条件： 当 n ≤ 0 n \leq 0 n≤0 ，有 f ( n ) = 0 f(n) = 0 f(n)=0 。
  • 现在告诉你 f ( 1 ) = x f(1) = x f(1)=x，请计算 f ( n ) f(n) f(n) 的值。

输入描述
输入两个整数 x x x 和 n n n：

  • 0 < x 0 < x 0<x， n ≤ 20 n \leq 20 n≤20

输出描述
输出 f ( n ) f(n) f(n) 的值。

示例1

  • 输入：
    1 6
  • 输出：
    16

题目提示

  • f ( 1 ) = 1 f(1) = 1 f(1)=1
  • f ( 2 ) = f ( 1 ) + f ( 1 ) + f ( 0 ) = 1 + 1 + 0 = 2 f(2) = f(1) + f(1) + f(0) = 1 + 1 + 0 = 2 f(2)=f(1)+f(1)+f(0)=1+1+0=2
  • f ( 3 ) = f ( 2 ) + f ( 1 ) + f ( 1 ) = 2 + 1 + 1 = 4 f(3) = f(2) + f(1) + f(1) = 2 + 1 + 1 = 4 f(3)=f(2)+f(1)+f(1)=2+1+1=4
  • f ( 4 ) = f ( 3 ) + f ( 2 ) + f ( 1 ) = 4 + 2 + 1 = 7 f(4) = f(3) + f(2) + f(1) = 4 + 2 + 1 = 7 f(4)=f(3)+f(2)+f(1)=4+2+1=7
  • f ( 5 ) = f ( 4 ) + f ( 2 ) + f ( 1 ) = 7 + 2 + 1 = 10 f(5) = f(4) + f(2) + f(1) = 7 + 2 + 1 = 10 f(5)=f(4)+f(2)+f(1)=7+2+1=10
  • f ( 6 ) = f ( 5 ) + f ( 3 ) + f ( 2 ) = 10 + 4 + 2 = 16 f(6) = f(5) + f(3) + f(2) = 10 + 4 + 2 = 16 f(6)=f(5)+f(3)+f(2)=10+4+2=16

通过此样例，可以看出， f ( n ) f(n) f(n)的值根据归约式进行递归计算，重复调用是此算法的重点。

💯思路解析

该题目的核心在于通过递归和记忆化算法实现函数计算。根据题目定义，我们可以将问题分解为以下步骤：

3.1 函数的递归定义

f ( n ) f(n) f(n) 的值由三部分经结而成：

  • f ( n − 1 ) f(n-1) f(n−1)：下一个数值的递归计算；
  • f ( n / / 2 ) f(n//2) f(n//2)：正整除的结果解析；
  • f ( n / / 3 ) f(n//3) f(n//3)：正整除法分解的值。

这三者求和即可实现函数的递归结果。

3.2 边界条件控制

  • 当 n ≤ 0 n \leq 0 n≤0 时，给出结果 f ( n ) = 0 f(n) = 0 f(n)=0，停止递归求和。
  • 当 n = 1 n = 1 n=1 时，固定值 f ( 1 ) = x f(1) = x f(1)=x 。

3.3 记忆化搜索

在递归过程中，同样的函数值可能被重复计算。为了提高系统性能，通过存储计算结果实现记忆化，可以大大减少计算时间。

💯C++实现代码

#include <iostream>
using namespace std;int x, n;
int memo[21]; // 因为n≤20，开数组即可。-1表示未计算。int f(int m) {if (m <= 0) return 0;          // 边界条件：f(0)=0if (m == 1) return x;          // 特殊情况：f(1)=xif (memo[m] != -1) return memo[m]; // 如果已经计算过，直接返回memo[m] = f(m-1) + f(m/2) + f(m/3); // 递归定义f(m)return memo[m];
}int main() {cin >> x >> n;for (int i = 0; i <= 20; i++) memo[i] = -1; // 初始化memo数组cout << f(n) << endl;         // 输决f(n)return 0;
}

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💯添加解释

  1. 算法核心：递归与记忆化

    • 递归实现大问题的分解，通过建立子问题的依赖关系逐步求解。
    • 记忆化通过存储中间计算结果，减少重复调用，优化时间复杂度。

  2. 时间复杂度分析：

    • 由于记忆化的存在，每个状态最多仅被访问一次，因此时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)；
    • 空间复杂度取出于递归深度和存储数组，为 O ( n ) O(n) O(n)。

  3. 应用扩展：

    • 该方法不仅限于此类问题，还可推应到分治法、斐波那契数列、树式DP等递归与动态规划问题。

💯小结

  • 在这里插入图片描述
    本文通过对递归与记忆化算法的分析和 C++ 实现，给出了解决函数计算问题的优化思路。递归的分解和记忆化存储在进阶算法学习中具有重要的实际价值，它们是解决动态规划算法问题的基础。此外，大规模复杂问题也可以通过该思路求解，例如并行递归和动态应用等部分优化方案。

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文章目录 概述步骤1&#xff1a;部署后端服务步骤2&#xff1a;配置Nginx步骤3&#xff1a;创建Nginx服务总结 如何确保 Nginx 能持续访问后端服务&#xff1f;相关文献 概述 假设你正在使用Kubernetes作为容器云平台&#xff0c;以下是如何配置Nginx以及相关服务&#xff0c;…...

编程日记 2025/6/19 23:26:33

M3DM的autodl环境构建过程笔记

文章目录 在3D-ADS环境https://blog.csdn.net/tfxzgp/article/details/144259472基础上构建(失败的记录&#xff0c;不用看)更换镜像重来&#xff08;成功&#xff09;安装缺少的包修改models.py中的RGB和点云backbone的路径修改main.py路径参数运行 在3D-ADS环境https://blog.…...

编程日记 2025/5/30 18:04:51

jmeter CLI Mode 传参实现动态设置用户数

一.需求 CLI 运行模式下每次运行想要传入不同的用户数&#xff0c;比如寻找瓶颈值的场景&#xff0c;需要运行多次设置不同的用户数。 二.解决思路 查看官方API Apache JMeter - Users Manual: Getting Started api CLI Mode 一节中提到可以使用如下参数做属性的替换&#…...

编程日记 2025/6/3 17:43:34