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中级统计师-统计学基础知识-第五章 相关分析

news 来源：原创 2025/6/30 21:31:54

第一节 相关关系

1. 函数关系 vs 相关关系

  • 函数关系

    • 定义：变量间存在严格确定性的对应关系（如 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)）
    • 例子：本金 x x x 与利息收入 y = x + 0.027 x y = x + 0.027x y=x+0.027x
    • 特点：一一对应，变动完全由自变量决定

  • 相关关系

    • 定义：变量间存在非确定性的依存关系（如身高与体重）
    • 特点：受多种因素影响，无法用单一函数描述
    • 例子：
      • 父母收入与子女收入
      • 广告费与销售量

2. 经典例题

【多选题】 下列现象具有相关关系的有（ABD）。
A. 降雨量与农作物产量
B. 人的身高与体重
C. 人口自然增长与机械变动
D. 广告费与销售量
E. 存款利率与利息

解析：C项（人口自然增长与机械变动）统计独立；E项（存款利率与利息）为函数关系。

第二节 相关关系的展示——散点图

  • 作用：直观展示两变量间的分布趋势（线性/非线性、方向、强度）
  • 类型：
    • 正相关（点向右上方延伸）
    • 负相关（点向右下方延伸）
    • 无相关（点随机分布）
  • 示例：身高与体重散点图显示正相关趋势。

第三节 相关关系的度量与性质

1. Pearson相关系数（ r r r）

  • 公式：
    r = ∑ ( x − x ˉ ) ( y − y ˉ ) ∑ ( x − x ˉ ) 2 ∑ ( y − y ˉ ) 2 r = \frac{\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x - \bar{x})^2} \sqrt{\sum (y - \bar{y})^2}} r=∑(x−xˉ)2 ​∑(y−yˉ​)2 ​∑(x−xˉ)(y−yˉ​)​
  • 性质：
    • 范围： r ∈ [ − 1 , 1 ] r \in [-1, 1] r∈[−1,1]
    • 方向：
      • r > 0 r > 0 r>0：正相关
      • r < 0 r < 0 r<0：负相关
    • 强度分级（经验法则）：
      • ∣ r ∣ ≥ 0.8 |r| \geq 0.8 ∣r∣≥0.8：高度相关
      • 0.5 ≤ ∣ r ∣ < 0.8 0.5 \leq |r| < 0.8 0.5≤∣r∣<0.8：中度相关
      • 0.3 ≤ ∣ r ∣ < 0.5 0.3 \leq |r| < 0.5 0.3≤∣r∣<0.5：中低度相关
      • ∣ r ∣ < 0.3 |r| < 0.3 ∣r∣<0.3：低度相关

2. 重要说明

  • r = 0 r = 0 r=0 仅表示无线性相关，可能存在非线性关系（如抛物线分布）。
  • 示例：身高与体重数据计算得 r = 0.83 r = 0.83 r=0.83，属高度正相关。

3. 经典例题

【单选题】 相关程度最高的是（C）。
C. 平均流通费用率与商业利润率的相关系数为 − 0.95 -0.95 −0.95
解析：绝对值最大（ 0.95 > 0.92 0.95 > 0.92 0.95>0.92），负号仅表示方向。

第四节 相关关系的检验

1. 检验步骤（ t t t检验）

  • 原假设 H 0 H_0 H0​：总体相关系数 ρ = 0 \rho = 0 ρ=0（无线性相关）
  • 备择假设 H 1 H_1 H1​： ρ ≠ 0 \rho \neq 0 ρ=0（存在线性相关）
  • 检验统计量：
    t = ∣ r ∣ n − 2 1 − r 2 ∼ t ( n − 2 ) t = |r| \sqrt{\frac{n-2}{1 - r^2}} \quad \sim t(n-2) t=∣r∣1−r2n−2​ ​∼t(n−2)
  • 决策：
    • 若 ∣ t ∣ > t α / 2 ( n − 2 ) |t| > t_{\alpha/2}(n-2) ∣t∣>tα/2​(n−2) 或 p ≤ α p \leq \alpha p≤α，拒绝 H 0 H_0 H0​
    • 适用性：适用于大样本和小样本

2. 经典例题

【判断题】 相关系数检验只能用于大样本（×）。
解析： t t t检验适用于所有样本量。

第五节 相关关系与因果关系

1. 核心观点

  • 相关 ≠ 因果
    • 示例：冰激凌销量与溺水死亡数正相关（共同原因：夏季高温）
    • 统计工具主要探求相关关系，因果关系需更复杂分析（如控制混杂变量）。

2. 注意事项

  • 高相关可能是由于：
    • 直接因果
    • 共同原因
    • 偶然性
  • 经典例题：吸烟与肺癌高度相关，但需考虑年龄、遗传等混杂因素。

总结图示

概念要点
函数关系严格确定， y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)
相关关系非确定性，用散点图和 Pearson 系数度量
检验 t t t检验判断总体相关性，原假设 ρ = 0 \rho = 0 ρ=0
因果关系需排除混杂变量，相关仅为必要条件非充分条件

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git命令简单使用 1. 将代码下载到到本地2. 查看分支是否正确3. 将工作目录中的变更添加到暂存区&#xff0c;为下一次提交做准备4. 提交更改&#xff0c;添加提交信息5. 将本地的提交推送到远程仓库6.从远端仓库拉取分支代码7.查看修改日志8. 解决冲突 1. 将代码下载到到本地 …...

编程日记 2025/6/29 9:51:25