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光纤克尔非线性效应及其在光通信系统中的补偿教程-3.2 克尔效应

news 来源：原创 2025/7/19 7:04:56

需要结合上一期的文章，光纤克尔非线性效应及其在光通信系统中的补偿教程-3.1 非线性极化性

光纤中的非线性效应源于三阶感性 $\chi^{(3)}$ 。光纤中非线性效应的主要来源之一是由 $\chi^{(3)}$ 引起的非线性折射，即克尔效应（Kerr effect），这种现象是指折射率与光强有关。假设入射到光纤纤芯上的电磁场只有 Ex 和 Hy 分量。那么，对于中心对称的介电材料，方程（1）中的张量方程可简化为方程（2）：这里涉及了张量的运算，可以参考这篇文章：张量的运算

方程（1）

在这里插入图片描述
方程（2）

在这里插入图片描述
其中， $\chi^{(3)}_{xxxx}$ 是四阶张量 $\chi^{(3)}$ 的一个分量。推导如下：

中心对称的介电材料说明，

偶数阶的极化率：偶数阶的极化率等于奇数阶的张量

源于下图，坐标变换：

假设入射光场是单色波，其值为：
在这里插入图片描述
要找到 $E^3_{x}$ ，首先要找到 $E_x$ 的实部，即：

在没有特殊相位匹配技术的情况下，上图第二个式子中的三次谐波项可以忽略不计。

补充一下相位匹配的知识：
在弱电场条件下，介质是线性极化

在强电场下，这个公式产生了高阶项：

直观表现上就是下图：

输入一个 $\omega$ 频率的光，由于2阶感性 $\chi^{{2}}$ 的存在，激发了 $2\omega$ 频率的光。由于在中心对称介质中，

所以， $2\omega$ 频率的光由于2阶感性为0的原因无法被激发，能被激发的就是3阶感性，3阶感性 $\chi^{(3)}$ 只有xxxx,yyyy,zzzz这三个方向不为0，即下图中所示，每一个黄色方框都是一个3×3的矩阵：

下图红色框标出不取0的位置：

在黄色框构成的3×3矩阵中，(1,1),(2,2),(3,3)存在不取0的数值，在(1,1)矩阵的(1,1)，在（2，2）矩阵的(2,2)，在（3，3）矩阵的(3,3)位置处的元素不为0。
所以， $\chi_{xxxx}$ 、 $\chi_{yyyy}$ 、 $\chi_{zzzz}$ 对应的EEE为 $E_{xxx}$ 、 $E_{yyy}$ 、 $E_{zzz}$ 对应的单位矢量分别为 $\vec{e_x}$ 、 $\vec{e_y}$ 、 $\vec{e_z}$ （三点积是并乘后3次缩并，结果张量为4+3-6=1阶张量，即 $\vec{e_x}$ 、 $\vec{e_y}$ 、 $\vec{e_z}$ 三个方向）。 $E_{xxx}=E_xE_xE_x$ ，所以：

这里认为可以省略的三次谐波项是：

为什么可以省略呢？
因为电场表达式不仅有时间相位，还有空间相位：

所以，对于电场的表达式，我们可以写成:
方程（3）

在电磁场传播途中：

对于产生的三倍频光，如果希望他们可以在传播路径上积累，就需要第一段产生的三倍频光与第二段产生的三倍频光相干。即方程（3）中的关于空间的

这一项匹配。满足什么条件可以匹配呢？只考虑空间维度下，如下图所示

如上图所示，满足三倍频光积累的条件（相位匹配）较为苛刻，所以我们往往可以忽略三次谐波项。

设频率为 w 时的偏振为：
在这里插入图片描述
那么

根据上文的公式：

由这些实部的表达出发可以得到：

其中， $\chi_{eff}$ 是包括线性和非线性磁感应强度在内的有效磁感应强度
我们可以将电场密度 D 表示为：

我们可以这样写：

一般来说，我们可以将电通量密度表示为：
在这里插入图片描述
其中，εr 是相对介电常数。我们可以将 εr 表示为

由于相对介电常数 $\epsilon_r$ 和折射率 n 的关系是 $n_2 = ε_r$ ，因此我们可以写道:

其中，n0 是线性折射率，而上式的第二项代表折射率的非线性贡献。
我们可以表示：
在这里插入图片描述

术语 n2 称为克尔系数。对于硅基光纤，n2 的典型值介于 1.2 × 10-20 m2 W-1 和 3.2 × 10-20 m2 W-1 之间。从公式可知，折射率 n 的非线性部分与光强度 $E_0|^ 2$ 成正比。这种效应被称为克尔效应。

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