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【飞机纵向动力学建模与分析】

news 来源：原创 2025/6/30 9:00:08

飞机纵向动力学建模与分析

文章目录

飞机纵向动力学建模与分析
前言
坐标系定义及转换
- 机体坐标系定义
- 机体坐标系定义
- 气流角定义
- 气流坐标系与机体坐标系相互转化
纵向动力学方程建立
- 力的分解
- 动力学方程的建立
- 纵向动力学方程
- 纵向动力学方程状态空间表达形式
- 纵向运动分析
- 短周期简化处理
- 长周期简化处理
附录

前言

主要描述了飞机纵向动力学方程的建立，对影响纵向的短周期和长周期的模态特性进行分析，同时也对纵向短周期和长周期进行简化处理并分别分析影响的特性，给出舵偏角的偏转和发动机的干扰对飞机纵向的特性影响。本文也给出了机体坐标系和气流坐标系详细介绍，并写出了两者之间互相转换的矩阵，同时文末附上了MATLAB求转换矩阵的代码

坐标系定义及转换

机体坐标系定义

固定在飞机机体上的坐标系，其原点位于飞机的重心位置。 $x$ 轴沿机身纵轴，指向飞机头部方向； $y$ 轴垂直于机身纵轴，与 $x$ 轴垂直，向上为正； $z$ 轴与 $x$ 、 $y$ 轴构成右手坐标系。主要用于描述飞机自身姿态的变化，如飞机的俯仰（绕 $y$ 轴旋转）、滚转（绕 $x$ 轴旋转）和偏航（绕 $z$ 轴旋转）运动。

在这里插入图片描述

机体坐标系定义

该坐标系的方向是由飞机相对于周围气流的运动方向决定的。 ${{x}_{a}}$ 轴与飞机相对气流速度矢量方向一致，指向飞机前方； ${{y}_{a}}$ 轴垂直于 ${{x}_{a}}$ 轴，在飞机对称平面内，向上为正； ${{z}_{a}}$ 轴与 ${{x}_{a}}$ 、 ${{y}_{a}}$ 轴构成右手坐标系，指向飞机右翼方向。在研究飞机的空气动力学性能方面非常重要。例如，飞机的升力、阻力和侧力等气动力是在气流坐标系中定义和测量的。

在这里插入图片描述

气流角定义

迎角 $\alpha$ ：迎角也称攻角(Angle of Attack ,AOA)是飞机飞行速度矢量在飞机对称面的投影与轴的夹角,以速度矢量投影在轴下为正。
侧滑角 $\beta$ ：是飞机飞行速度矢量与飞机对称面的夹角，以速度矢量在对称面右侧为正。

气流坐标系与机体坐标系相互转化

气流坐标系可通过旋转一个侧滑角 $\beta$ 和一个迎角 $\alpha$ 可以旋转到机体坐标系
（1）从机体坐标系 $o x yz$ 转动迎角到 $o{{x}_{1}}{{y}_{1}}{{z}_{1}}$ 坐标系

$\left[ \begin{matrix} {{x}_{1}} \\ {{y}_{1}} \\ {{z}_{1}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right]$

（2）从机体坐标系 $o{{x}_{1}}{{y}_{1}}{{z}_{1}}$ 转动侧滑角到 $o{{x}_{a}}{{y}_{a}}{{z}_{a}}$ 坐标系

$\left[ \begin{matrix} {{x}_{a}} \\ {{y}_{a}} \\ {{z}_{a}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \cos \beta & \sin \beta & 0 \\ -\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{x}_{1}} \\ {{y}_{1}} \\ {{z}_{1}} \\ \end{matrix} \right]$

从机体坐标系 $o x yz$ 转动到气流坐标系 $o{{x}_{a}}{{y}_{a}}{{z}_{a}}$ 转化矩阵；

$E=\left[ \begin{matrix} \cos \alpha \cos \beta & \sin \beta & \sin \alpha \cos \beta \\ -\cos \alpha \sin \beta & \cos \beta & -\sin \alpha \sin \beta \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha \\ \end{matrix} \right]$

从气流坐标系 $o{{x}_{a}}{{y}_{a}}{{z}_{a}}$ 转化到机体坐标系 $o x yz$ ，对 $E$ 求逆矩阵即可；
${{E}^{-1}}=\left[ \begin{matrix} \frac{\cos \alpha \cos \beta }{co{{s}^{2}}\alpha co{{s}^{2}}\beta ++co{{s}^{2}}\alpha si{{n}^{2}}\beta +co{{s}^{2}}\beta si{{n}^{2}}\alpha ++si{{n}^{2}}\alpha si{{n}^{2}}\beta } & \frac{-\text{cos}\alpha \text{sin}\beta }{co{{s}^{2}}\alpha co{{s}^{2}}\beta +co{{s}^{2}}\alpha si{{n}^{2}}\beta +co{{s}^{2}}\beta si{{n}^{2}}\alpha +si{{n}^{2}}\alpha si{{n}^{2}}\beta } & \frac{-\text{sin}\alpha }{co{{s}^{2}}\alpha +si{{n}^{2}}\alpha } \\ \frac{\text{sin}\alpha }{co{{s}^{2}}\alpha +si{{n}^{2}}\beta } & \frac{\cos \alpha }{co{{s}^{2}}\beta +si{{n}^{2}}\alpha } & 0 \\ \frac{\text{cos}\beta \text{sin}\alpha }{co{{s}^{2}}\alpha co{{s}^{2}}\beta +co{{s}^{2}}\alpha si{{n}^{2}}\beta +co{{s}^{2}}\beta si{{n}^{2}}\alpha +si{{n}^{2}}\alpha *si{{n}^{2}}\beta } & \frac{-\text{sin}\alpha \text{sin}\beta }{co{{s}^{2}}\alpha co{{s}^{2}}\beta +co{{s}^{2}}\alpha si{{n}^{2}}\beta +co{{s}^{2}}\beta si{{n}^{2}}\alpha +si{{n}^{2}}\alpha si{{n}^{2}}\beta } & \frac{cos\alpha }{co{{s}^{2}}\alpha +si{{n}^{2}}\alpha } \\ \end{matrix} \right]$

求逆矩阵附录内已附上MATLAB代码

纵向动力学方程建立

力的分解

对于飞机纵向运动，主要考虑总气动作用力、推力和重力，由力分解可知；

$\begin{matrix} {{F}_{\text{B}}}\equiv {{F}_{\text{BA}}}+{{F}_{\text{BT}}}+{{F}_{\text{BG}}} \\ \left[ \begin{matrix} {{F}_{x}} \\ {{F}_{y}} \\ {{F}_{z}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{F}_{x\text{A}}} \\ {{F}_{y\text{A}}} \\ {{F}_{z\text{A}}} \\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} {{T}_{x}} \\ {{T}_{y}} \\ {{T}_{z}} \\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} {{G}_{x}} \\ {{G}_{y}} \\ {{G}_{z}} \\ \end{matrix} \right] \\ \end{matrix}$

${{F}_{\text{B}}}{{F}_{\text{BA}}}{{F}_{\text{BT}}}{{F}_{\text{BG}}}$ 分别为定义在机体坐标轴系上的总作用力、气动力、推力和重力

$\begin{matrix} {{M}_{\text{B}}}={{M}_{\text{BA}}}+{{M}_{\text{BT}}} \\ \left[ \begin{matrix} L \\ M \\ N \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{L}_{A}} \\ {{M}_{A}} \\ {{N}_{A}} \\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} {{L}_{T}} \\ {{M}_{T}} \\ {{N}_{_{T}}} \\ \end{matrix} \right] \\ \end{matrix}$

${{M}_{\text{B}}}{{M}_{\text{BA}}}{{M}_{\text{BT}}}$ 分别为定义在机体坐标轴系上的总作用力矩、气动力矩和推力力矩

$\begin{matrix} {{V}_{\text{B}}}=\mathbf{S}_{\alpha \beta }^{\text{T}}{{V}_{\text{W}}} \\ \left[ \begin{matrix} u \\ v \\ w \\ \end{matrix} \right]=\mathbf{S}_{\alpha \beta }^{\text{T}}\left[ \begin{matrix} V \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} V\cos \alpha \cos \beta \\ V\sin \beta \\ V\sin \alpha \cos \beta \\ \end{matrix} \right] \\ \end{matrix}$

${{V}_{\text{B}}}$ 为定义在机体坐标轴系上的速度， $v, u, w$ 在机体轴 $x yz$ 轴上速度分量

动力学方程的建立

飞机在外合力作用下的线运动方程如下, $m$ 飞机质量， $V$ 为为飞机速度

$\sum{F}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}(mV)$

飞机在外合力作用下的角运动方程如下， $L$ 为动量矩

$\sum{M}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}(L)$

机体系三轴方向上力 $X={{F}_{x}}\quad Y={{F}_{y}}\quad Z={{F}_{z}}$ 为机体三轴上力， ${{X}_{u}}=\frac{\partial {{F}_{x}}}{\partial u}$ 为气动导数，线运动方程和角运动方程其实质是牛顿第二定律力与加速度的关系

纵向动力学方程

飞机在纵向稳态状态下无滚转，即飞机无非对称运动（侧力、偏航力矩、滚转力矩为零），其侧滑角、副翼、方向舵偏角为零，其动力学方程为；

$\left\{ \begin{matrix} m\dot{u}={{X}_{u}}u+{{X}_{w}}w-mg\text{cos}{{\theta }_{0}}+\Delta {{X}_{c}} \\ m(\dot{w}-q{{U}_{0}})={{Z}_{u}}u+{{Z}_{w}}w+{{Z}_{{\dot{w}}}}\dot{w}+{{Z}_{q}}q-mg\text{sin}{{\theta }_{0}}+\Delta {{Z}_{c}} \\ {{I}_{yy}}\dot{q}={{M}_{u}}u+{{M}_{w}}w+{{M}_{{\dot{w}}}}\dot{w}+{{M}_{q}}q+\Delta {{M}_{c}} \\ \end{matrix} \right.$

当无滚转或偏航时，可知 $\dot{\theta }=q$ 对于 $m\dot{u}={{X}_{u}}u+{{X}_{w}}w-mg\text{cos}{{\theta }_{0}}+\Delta {{X}_{c}}$ ， ${{F}_{x}}={{X}_{u}}u+{{X}_{w}}w$ ， $\Delta {{X}_{c}}$ 为可操控舵面或者发动机的推力产生的力由于执行机构的偏转或增加减小推力而导致的力变化，使用处理小扰动的方法线性化处理这些空气动力学项，可定义为；

$\Delta {{X}_{c}}={{X}_{\delta e}}{{\delta }_{e}}+{{X}_{\delta p}}{{\delta }_{p}}$

其中 ${{\delta }_{e}}$ 升降舵舵偏， ${{\delta }_{p}}$ 推力变化量， ${{X}_{\delta e}},{{X}_{\delta p}}$ 控制稳定的导数

$m(\dot{w}-q{{U}_{0}})={{Z}_{u}}u+{{Z}_{w}}w+{{Z}_{{\dot{w}}}}\dot{w}+{{Z}_{q}}q-mg\text{sin}{{\theta }_{0}}+\Delta {{Z}_{c}}$ ，表示在 $Z$ 轴上建立牛顿第二定律其中 ${{F}_{z}}={{Z}_{u}}u+{{Z}_{w}}w+{{Z}_{{\dot{w}}}}\dot{w}+{{Z}_{q}}q$ ， $\Delta {{Z}_{c}}$ 为可操控舵面或者发动机的推力产生的力

${{I}_{yy}}\dot{q}={{M}_{u}}u+{{M}_{w}}w+{{M}_{{\dot{w}}}}\dot{w}+{{M}_{q}}q+\Delta {{M}_{c}}$ ，俯仰方向角运动方程，方程的右边可定义为 ${{M}_{A}}={{M}_{u}}u+{{M}_{w}}w+{{M}_{{\dot{w}}}}\dot{w}+{{M}_{q}}q$ ，其中 $\Delta {{M}_{c}}$ 升降舵进行调节的俯仰力矩， $\Delta {{X}_{c}},\Delta {{Z}_{c}},\Delta {{M}_{c}}$ 为控制指令

纵向动力学方程状态空间表达形式

由上面的纵向动力学方程，可将其写为状态空间的表达形式；

$\left[ \begin{matrix} m\dot{u} \\ (m-{{Z}_{w}})\dot{w} \\ -{{M}_{w}}\dot{w}+{{I}_{yy}}\dot{q} \\ {\dot{\theta }} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{X}_{u}} & {{X}_{w}} & 0 & -mg\text{cos}{{\theta }_{0}} \\ {{Z}_{u}} & {{Z}_{w}} & {{Z}_{q}}+m{{U}_{0}} & -mg\text{sin}{{\theta }_{0}} \\ {{M}_{u}} & {{M}_{w}} & {{M}_{q}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} u \\ w \\ q \\ \theta \\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} \Delta {{X}_{c}} \\ \Delta {{Z}_{c}} \\ \Delta {{M}_{c}} \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$

为了研究 $\left[ \begin{matrix} u & w & q & \theta \\ \end{matrix} \right]$ 关系，进一步将状态空间方程转化为；
$\left[ \begin{matrix} m & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (m-{{Z}_{{\dot{w}}}}) & 0 & 0 \\ 0 & -{{M}_{{\dot{w}}}} & {{I}_{yy}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {\dot{u}} \\ {\dot{w}} \\ {\dot{q}} \\ {\dot{\theta }} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{X}_{u}} & {{X}_{w}} & 0 & -mg\cos {{\theta }_{0}} \\ {{Z}_{u}} & {{Z}_{w}} & {{Z}_{q}}+m{{U}_{0}} & -mg\sin {{\theta }_{0}} \\ {{M}_{u}} & {{M}_{w}} & {{M}_{q}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} u \\ w \\ q \\ \theta \\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} \Delta {{X}_{c}} \\ \Delta {{Z}_{c}} \\ \Delta {{M}_{c}} \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$

将上述式子令 $E\text{=}\left[ \begin{matrix} m & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (m-{{Z}_{{\dot{w}}}}) & 0 & 0 \\ 0 & -{{M}_{{\dot{w}}}} & {{I}_{yy}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$ ， $\dot{X}=\left[ \begin{matrix} {\dot{u}} \\ {\dot{w}} \\ {\dot{q}} \\ {\dot{\theta }} \\ \end{matrix} \right]$ ， $\hat{c}=\left[ \begin{matrix} \Delta {{X}_{c}} \\ \Delta {{Z}_{c}} \\ \Delta {{M}_{c}} \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$ ， $X=\left[ \begin{matrix} u \\ w \\ q \\ \theta \\ \end{matrix} \right]$ ，
$\hat{A}=\left[ \begin{matrix} {{X}_{u}} & {{X}_{w}} & 0 & -mg\cos {{\theta }_{0}} \\ {{Z}_{u}} & {{Z}_{w}} & {{Z}_{q}}+m{{U}_{0}} & -mg\sin {{\theta }_{0}} \\ {{M}_{u}} & {{M}_{w}} & {{M}_{q}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]$

可以写成标准状态空间形式 $E\dot{X}=\hat{A}X+\hat{c}$ ， $\dot{X}={{E}^{-1}}(\hat{A}X+\hat{c})=AX+c$ ，
$A=\left[ \begin{matrix} \frac{{{X}_{u}}}{m} & \frac{{{X}_{w}}}{m} & 0 & -g\text{cos}{{\theta }_{0}} \\ \frac{{{Z}_{u}}}{m-{{Z}_{{\dot{w}}}}} & \frac{{{Z}_{w}}}{m-{{Z}_{{\dot{w}}}}} & \frac{{{Z}_{q}}+m{{U}_{0}}}{m-{{Z}_{{\dot{w}}}}} & \frac{-mg\text{sin}{{\theta }_{0}}}{m-{{Z}_{{\dot{w}}}}} \\ \frac{{{M}_{u}}+{{Z}_{u}}\Gamma }{{{I}_{yy}}} & \frac{{{M}_{w}}+{{Z}_{w}}\Gamma }{{{I}_{yy}}} & \frac{{{M}_{q}}+({{Z}_{q}}+m{{U}_{0}})\Gamma }{{{I}_{yy}}} & \frac{-mg\text{sin}{{\theta }_{0}}\Gamma }{{{I}_{yy}}} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]$
$c={{E}^{-1}}\left[ \begin{matrix} \Delta {{X}_{c}} \\ \Delta {{Z}_{c}} \\ \Delta {{M}_{c}} \\ 0 \\ \end{matrix} \right]={{E}^{-1}}\left[ \begin{matrix} {{X}_{\delta e}} \\ {{Z}_{\delta e}} \\ {{M}_{\delta e}} \\ 0 \\ \end{matrix}\begin{matrix} {{X}_{\delta p}} \\ {{Z}_{\delta p}} \\ {{M}_{\delta p}} \\ 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{\delta }_{e}} \\ {{\delta }_{p}} \\ \end{matrix} \right]=Bu$ 其中 $\Gamma =\frac{{{M}_{{\dot{w}}}}}{m-{{Z}_{{\dot{w}}}}}$ ,可以得到
$B=\left[ \begin{matrix} \frac{{{X}_{\delta e}}}{m} \\ \frac{{{Z}_{\delta e}}}{m-{{Z}_{{\dot{w}}}}} \\ \frac{{{M}_{\delta e}}+{{Z}_{\delta e}}\Gamma }{{{I}_{yy}}} \\ 0 \\ \end{matrix}\begin{matrix} \frac{{{X}_{\delta p}}}{m} \\ \frac{{{Z}_{\delta p}}}{m-{{Z}_{{\dot{w}}}}} \\ \frac{{{M}_{\delta p}}+{{Z}_{\delta p}}\Gamma }{{{I}_{yy}}} \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$ , $u=\left[ \begin{matrix} {{\delta }_{e}} \\ {{\delta }_{p}} \\ \end{matrix} \right]$

纵向运动分析

纵向方向上的主要执行机构是升降舵和发动机推力，升降舵和发动机推力在确定稳定状态/平衡飞行条件方面发挥着关键作用，我们需要确定它们如何影响飞机在平衡条件下的运动

由状态空间方程；

$\left\{ \begin{matrix} \dot{X}=AX+Bu \\ y=CX \\ \end{matrix} \right.$

可得到传递函数 $G(s)=C{{(sI-A)}^{-1}}B$ ，其中 $I$ 是 $n\times n$ 单位矩阵， $C$ 是输出矩阵， ${{(sI-A)}^{-1}}$ 为特征矩阵的逆矩阵，此过程用到线性代数和现代控制理论中的有状态空间方程转化为传递函数的知识点。

用在阶跃信号下激励，自动控制原理里面的初值定理和终值定理进行分析
终值定理：

$li{{m}_{t\to \infty }}y(t)=li{{m}_{s\to 0}}sG(s)\frac{{\hat{u}}}{s}=G(0)\hat{u}=-(C{{A}^{-1}}B)\hat{u}$

初值定理：

$li{{m}_{t\to 0}}y(t)=li{{m}_{s\to \infty }}sG(s)\frac{{\hat{u}}}{s}=li{{m}_{s\to \infty }}G(s)\hat{u}=C{{(sI-A)}^{-1}}B+D$

其中，对于本系统 $D = 0$

在升降舵下偏1度，阶跃下终值响应分析

施加 $\frac{1}{6}$ 推力扰动，阶跃下终值响应

通过以上两个表格可以得到结论，为了提升平衡条件下的爬升率，需要提高推力；为了提高平衡条件下的速度，需要增加舵偏角(使升降舵下偏)，以某客机模型为例，其状态空间矩阵A可以写为如下；

$A=\left[ \begin{matrix} -0.0069 & 0.0139 & 0 & -9.8100 \\ -0.0905 & -0.3149 & 235.8928 & 0 \\ 0.0004 & -0.0034 & -0.4282 & 0 \\ 0 & 0 & 1.0000 & 0 \\ \end{matrix} \right]$

求其特征根如下表

为了进一步理解特征向量，对各项进行归一化(适当放缩每项，以比较其之间的相对大小),归一化的方法 $\hat{u}=u/{{U}_{0}},\hat{w}=w/{{U}_{0}},\hat{q}=q/(2{{U}_{0}}/\bar{c})$ ， ${{U}_{0}}$ 稳态速度（配平速度）， $\bar{c}$ 平均气动弦长，再以俯仰角维度的模长为基准长度，计算相对模值和相角

短周期简化处理

初次简化处理：由于在短周期模态中，则，可以消除方向力得到；

$\left[ \begin{matrix} {\dot{W}} \\ {\dot{q}} \\ {\dot{\theta }} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \frac{{{Z}_{w}}}{m-{{Z}_{{\dot{W}}}}} & \frac{{{Z}_{q}}+m{{U}_{0}}}{m-{{Z}_{{\dot{W}}}}} & \frac{-mg\sin {{\theta }_{0}}}{m-{{Z}_{{\dot{W}}}}} \\ \frac{{{M}_{w}}+{{Z}_{w}}\Gamma }{{{l}_{yy}}} & \frac{{{M}_{q}}+({{Z}_{q}}+m{{U}_{0}})\Gamma }{{{l}_{yy}}} & \frac{-mg\sin {{\theta }_{0}}\Gamma }{{{l}_{yy}}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} w \\ q \\ \theta \\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} \Delta {{Z}_{c}} \\ \Delta {{M}_{c}} \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$

进一步简化处理：由于在短周期模态中 $u\approx 0$ ，则 $\dot{u}\approx 0$ ，可以消除 $X$ 方向力，通常情况下有 ${{Z}_{{\dot{w}}}}\ll m$ ， ${{Z}_{q}}\ll m{{U}_{0}}$ ， ${{Z}_{q}}=4.5\times {{10}^{5}}\ll m{{U}_{0}}=6.8\times {{10}^{7}}$ ， ${{Z}_{W}}=1909\ll m=2.8866\times {{10}^{5}}$ 由于 $\Gamma =\frac{{{M}_{{\dot{W}}}}}{m-{{Z}_{{\dot{W}}}}}\approx \frac{{{M}_{{\dot{W}}}}}{m}$ ，可以得到简化方程；

$\left[ \begin{matrix} {\dot{w}} \\ {\dot{q}} \\ {\dot{\theta }} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \frac{{{Z}_{w}}}{m-{{Z}_{{\dot{w}}}}} & \frac{{{Z}_{q}}+m{{U}_{0}}}{m-{{Z}_{{\dot{w}}}}} & \frac{-mgsin{{\theta }_{0}}}{m-{{Z}_{{\dot{w}}}}} \\ \frac{{{M}_{w}}+{{Z}_{{\dot{w}}}}\Gamma }{{{I}_{yy}}} & \frac{{{M}_{q}}+({{Z}_{q}}+m{{U}_{0}})\Gamma }{{{I}_{yy}}} & \frac{-mgsin{{\theta }_{0}}\Gamma }{{{I}_{yy}}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} w \\ q \\ \theta \\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} \Delta {{Z}_{c}} \\ \Delta {{M}_{c}} \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$

再进一步简化处理：对于定常直线水平飞行，设置，并在模型中移除方程，得到简化的方程；

$\left[ \begin{matrix} {\dot{w}} \\ {\dot{q}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \frac{{{Z}_{w}}}{m} & {{U}_{0}} \\ {{M}_{w}}+{{Z}_{w}}\frac{{{M}_{{\dot{w}}}}}{m} & \frac{{{M}_{q}}+{{M}_{{\dot{w}}}}{{U}_{0}}}{{{I}_{yy}}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} w \\ q \\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} \Delta {{Z}_{c}} \\ \Delta {{M}_{c}} \\ \end{matrix} \right]$

综上飞机纵向短周期动力学方程简化为 ${{\dot{x}}_{sp}}={{A}_{sp}}{{x}_{sp}}+{{B}_{sp}}{{\delta }_{e}}$ ，其中 ${{\delta }_{e}}$ 为升降舵输入，可以得到；

${{x}_{sp}}=\left[ \begin{matrix} w \\ q \\ \end{matrix} \right]$ ， ${{A}_{sp}}=\left[ \begin{matrix} \frac{{{Z}_{w}}}{m} & {{U}_{0}} \\ {{M}_{w}}+{{Z}_{w}}\frac{{{M}_{{\dot{w}}}}}{m} & \frac{{{M}_{q}}+{{M}_{{\dot{w}}}}{{U}_{0}}}{{{I}_{yy}}} \\ \end{matrix} \right]$ ， ${{B}_{sp}}=\left[ \begin{matrix} \frac{{{Z}_{\delta e}}}{m} \\ \frac{{{M}_{\delta e}}+{{Z}_{\delta e}}\frac{{{M}_{{\dot{w}}}}}{m}}{{{I}_{yy}}} \\ \end{matrix} \right]$

将纵向运动力学方程进一步简化时，由四阶降为两阶为全量近似模型，可得到短周期全量近似方程；

${{s}^{2}}+2{{\xi }_{sp}}{{\omega }_{sp}}+\omega _{sp}^{2}=0$ ， $2{{\xi }_{sp}}{{\omega }_{sp}}=-(\frac{{{Z}_{w}}}{m}+\frac{{{M}_{q}}}{{{I}_{yy}}}+\frac{{{M}_{{\dot{w}}}}{{U}_{0}}}{{{I}_{yy}}})$ ， $\omega _{sp}^{2}=\frac{{{Z}_{w}}{{M}_{q}}}{m{{I}_{yy}}}-\frac{{{M}_{w}}{{U}_{0}}}{{{I}_{yy}}}$

当给定典型飞机导数的近似大小，将气动导数认为小值，可以得出粗糙近似值；

$2{{\xi }_{sp}}{{\omega }_{sp}}\approx -\frac{{{M}_{q}}}{{{I}_{yy}}},\omega _{sp}^{2}\approx -\frac{{{M}_{w}}{{U}_{0}}}{{{I}_{yy}}}$ ， ${{\xi }_{sp}}\approx -\frac{{{M}_{q}}}{2}\sqrt{\frac{-1}{{{M}_{w}}{{U}_{0}}{{I}_{yy}}}}$ ， ${{\omega }_{sp}}\approx \sqrt{\frac{-{{M}_{w}}{{U}_{0}}}{{{I}_{yy}}}}$

长周期简化处理

由于在长周期模态中， $w$ 与 $q$ 的变化相比于 $u$ 非常小，因此 $\dot{w}\approx 0$ ， $\dot{q}\approx 0$ 且同样令 ${{\theta }_{0}}=0$ ，得到初次简化的方程如下；

$\left[ \begin{matrix} {\dot{u}} \\ 0 \\ 0 \\ {\dot{\theta }} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \frac{{{X}_{u}}}{m} & \frac{{{X}_{w}}}{m} & 0 & -g \\ \frac{{{Z}_{u}}}{m-{{Z}_{w}}} & \frac{{{Z}_{w}}}{m-{{Z}_{w}}} & \frac{{{Z}_{q}}+m{{U}_{0}}}{m-{{Z}_{w}}} & 0 \\ \frac{{{M}_{u}}+{{Z}_{u}}\Gamma }{{{l}_{yy}}} & \frac{{{M}_{w}}+{{Z}_{w}}\Gamma }{{{l}_{yy}}} & \frac{{{M}_{q}}+({{Z}_{q}}+m{{U}_{0}})\Gamma }{{{l}_{yy}}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} u \\ w \\ q \\ \theta \\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} \Delta {{X}_{c}} \\ \Delta {{Z}_{c}} \\ \Delta {{M}_{c}} \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$

此时与的相关的方程就成为了两个等于0的等式，如下(仅考虑升降舵输入)；其中 $\Gamma =\frac{{{M}_{{\dot{w}}}}}{m-{{Z}_{{\dot{w}}}}}$

在这里插入图片描述

再次简化的方程，由近似 ${{Z}_{{\dot{w}}}}\ll m,\ \Gamma \approx {{M}_{{\dot{w}}}}/m,\ {{Z}_{q}}\ll m{{U}_{0}}$

$\left[ \begin{matrix} {{Z}_{W}} & m{{U}_{0}} \\ {{M}_{W}}+{{Z}_{W}}\frac{{{M}_{W}}}{m} & {{M}_{q}}+{{U}_{0}}{{M}_{W}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} W \\ q \\ \end{matrix} \right]=-\left[ \begin{matrix} {{Z}_{u}} \\ {{M}_{u}}+{{Z}_{u}}\frac{{{M}_{W}}}{m} \\ \end{matrix} \right]u-\left[ \begin{matrix} {{Z}_{\delta e}} \\ {{M}_{\delta e}}+{{Z}_{\delta e}}\frac{{{M}_{W}}}{m} \\ \end{matrix} \right]\delta e$

可以得到长周期简化的模型；

$\left[ \begin{matrix} w \\ q \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \frac{m{{U}_{0}}{{M}_{u}}-{{Z}_{u}}{{M}_{q}}}{{{Z}_{w}}{{M}_{q}}-m{{U}_{0}}{{M}_{w}}} \\ \frac{{{Z}_{u}}{{M}_{w}}-{{Z}_{w}}{{M}_{u}}}{{{Z}_{w}}{{M}_{q}}-m{{U}_{0}}{{M}_{w}}} \\ \end{matrix} \right]u+\left[ \begin{matrix} \frac{m{{U}_{0}}{{M}_{\delta e}}-{{Z}_{\delta e}}{{M}_{q}}}{{{Z}_{w}}{{M}_{q}}-m{{U}_{0}}{{M}_{w}}} \\ \frac{{{Z}_{\delta e}}{{M}_{w}}-{{Z}_{w}}{{M}_{\delta e}}}{{{Z}_{w}}{{M}_{q}}-m{{U}_{0}}{{M}_{w}}} \\ \end{matrix} \right]{{\delta }_{e}}$

进一步得到全量初步近似模型

$\left[ \begin{matrix} {\dot{u}} \\ {\dot{\theta }} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \frac{{{X}_{u}}}{m}+\frac{{{X}_{w}}}{m}(\frac{m{{U}_{0}}{{M}_{u}}-{{Z}_{u}}{{M}_{q}}}{{{Z}_{w}}{{M}_{q}}-m{{U}_{0}}{{M}_{w}}}) & -g \\ \frac{{{Z}_{u}}{{M}_{w}}-{{Z}_{w}}{{M}_{u}}}{{{Z}_{w}}{{M}_{q}}-m{{U}_{0}}{{M}_{w}}} & 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} u \\ \theta \\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} \frac{{{X}_{\theta e}}}{m}+\frac{{{X}_{w}}}{m}(\frac{m{{U}_{0}}{{M}_{\delta e}}-{{Z}_{\delta e}}{{M}_{q}}}{{{Z}_{w}}{{M}_{q}}-m{{U}_{0}}{{M}_{w}}}) \\ \frac{{{Z}_{\delta e}}{{M}_{w}}-{{Z}_{w}}{{M}_{\delta e}}}{{{Z}_{w}}{{M}_{q}}-m{{U}_{0}}{{M}_{w}}} \\ \end{matrix} \right]{{\delta }_{e}}$

进一步简化； $|{{Z}_{w}}{{M}_{u}}|\ll |{{Z}_{u}}{{M}_{w}}|,|{{Z}_{w}}{{M}_{q}}|\ll |m{{U}_{0}}{{M}_{w}}|,\frac{{{M}_{u}}{{X}_{w}}}{{{M}_{w}}}\ll {{X}_{u}}$ ，最终得到长周期模态的粗糙近似形式: ${{\dot{x}}_{ph}}={{A}_{ph}}{{x}_{ph}}+{{B}_{ph}}{{\delta }_{e}}$ ， ${{\delta }_{e}}$ 为升降舵输入，可以得到

${{x}_{ph}}=\left[ \begin{matrix} u \\ \theta \\ \end{matrix} \right]\ {{A}_{ph}}=\left[ \begin{matrix} \frac{{{X}_{u}}}{m} & -g \\ \frac{-{{Z}_{u}}}{m{{U}_{0}}} & 0 \\ \end{matrix} \right]\ {{B}_{ph}}=\left[ \begin{matrix} \frac{{{X}_{\delta e}}-\frac{{{X}_{w}}}{{{M}_{w}}}{{M}_{\delta e}}}{m} \\ \frac{-{{Z}_{\delta e}}+\frac{{{Z}_{w}}}{{{M}_{w}}}{{M}_{\delta e}}}{m{{U}_{0}}} \\ \end{matrix} \right]$

因此有 $2{{\xi }_{ph}}{{\omega }_{ph}}=-\frac{{{X}_{u}}}{m}$ ， ${{\omega }_{ph}}^{2}=\frac{-g{{Z}_{u}}}{m{{U}_{0}}}$ 进一步可以得到；

${{\xi }_{ph}}=-\frac{{{X}_{u}}}{2m{{\omega }_{ph}}}=-\frac{{{X}_{u}}{{U}_{0}}}{2\sqrt{2}mg}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\rho U_{0}^{2}S{{C}_{D0}}}{\rho U_{0}^{2}S{{C}_{L0}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{{{C}_{D0}}}{{{C}_{L0}}}$

可以得到近似长周期模态的阻尼比与升阻比成反比

飞机响应主要由以下稳定性导数决定

附录

MATLAB求逆矩阵代码
% 定义符号变量alpha和beta
syms alpha beta% 定义矩阵E
E = [cos(alpha)*cos(beta)   sin(beta)   sin(alpha)*cos(beta);-cos(alpha)*sin(beta)  cos(beta)  -sin(alpha)*sin(beta);-sin(alpha)            0          cos(alpha)];% 计算矩阵E的符号逆矩阵
E_inv = inv(E);% 打印逆矩阵
disp('逆矩阵E_inv为：');
disp(E_inv)

参考资料：

现代飞机飞行动力学与控制主编顾诵芬（第三版）
飞行控制系统吴森堂, 费玉华编著
带自动器飞机的飞行动力学，方振平
北京航空航天大学孙国立老师主讲的先进飞行控制