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中级统计师-统计学基础知识-第三章 参数估计

news 来源：原创 2025/7/30 18:19:38

统计学基础知识 第三章 参数估计

第一节 统计量与抽样分布

1.1 总体参数与统计量

  • 总体参数：描述总体特征的未知量（如均值 μ \mu μ、方差 σ 2 \sigma^2 σ2、比例 π \pi π）。
  • 统计量：由样本数据计算的量（如样本均值 x ˉ \bar{x} xˉ、样本方差 s 2 s^2 s2、样本比例 p p p），是随机变量。

1.2 点估计的评价标准

标准定义数学表达
无偏性估计量的期望等于总体参数 E ( θ ^ ) = θ E(\hat{\theta}) = \theta E(θ^)=θ
例： E ( x ˉ ) = μ E(\bar{x}) = \mu E(xˉ)=μ， E ( s 2 ) = σ 2 E(s^2) = \sigma^2 E(s2)=σ2
有效性方差更小的无偏估计量更有效 Var ( θ ^ 1 ) < Var ( θ ^ 2 ) \text{Var}(\hat{\theta}_1) < \text{Var}(\hat{\theta}_2) Var(θ^1​)<Var(θ^2​)
一致性样本量增大时，估计量趋近于总体参数

lim ⁡ n → ∞ P ( ∣ θ ^ − θ ∣ < ϵ ) = 1 \lim_{n \to \infty} P\left( |\hat{\theta} - \theta| < \epsilon \right) = 1 limn→∞​P(∣θ^−θ∣<ϵ)=1

1.3 样本均值的抽样分布

  • 重复抽样：样本均值 x ˉ \bar{x} xˉ 的方差为：
    σ x ˉ 2 = σ 2 n \sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{\sigma^2}{n} σxˉ2​=nσ2​
  • 不重复抽样：方差修正为：
    σ x ˉ 2 = σ 2 n ⋅ N − n N − 1 \sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{\sigma^2}{n} \cdot \frac{N-n}{N-1} σxˉ2​=nσ2​⋅N−1N−n​
  • 中心极限定理：当 n ≥ 30 n \geq 30 n≥30 时，无论总体分布如何：
    x ˉ ∼ N ( μ , σ 2 n ) \bar{x} \sim N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right) xˉ∼N(μ,nσ2​)
  • 正态总体：若总体服从 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2)，则：
    x ˉ ∼ N ( μ , σ 2 n ) \bar{x} \sim N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right) xˉ∼N(μ,nσ2​)

1.4 样本比例的抽样分布

  • 总体比例 π \pi π：具有某属性的单位占比。
  • 样本比例 p p p：当 n p ≥ 5 np \geq 5 np≥5 且 n ( 1 − p ) ≥ 5 n(1-p) \geq 5 n(1−p)≥5 时：
    p ∼ N ( π , π ( 1 − π ) n ) p \sim N\left( \pi, \frac{\pi(1-\pi)}{n} \right) p∼N(π,nπ(1−π)​)
  • 不重复抽样：方差修正为：
    σ p 2 = π ( 1 − π ) n ⋅ N − n N − 1 \sigma_p^2 = \frac{\pi(1-\pi)}{n} \cdot \frac{N-n}{N-1} σp2​=nπ(1−π)​⋅N−1N−n​

第二节 区间估计

2.1 基本原理

  • 置信区间：由样本统计量加减估计误差得到，置信水平 1 − α 1-\alpha 1−α 表示区间包含总体参数的概率。
  • 公式通用形式：
    ( 统计量 ± 分位数值 × 标准误差 ) \left( \text{统计量} \pm \text{分位数值} \times \text{标准误差} \right) (统计量±分位数值×标准误差)

2.2 单个总体参数的区间估计

（一）均值的区间估计
条件公式
大样本（ n ≥ 30 n \geq 30 n≥30， σ \sigma σ 已知） x ˉ ± z α / 2 ⋅ σ n \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} xˉ±zα/2​⋅n ​σ​
大样本（ σ \sigma σ 未知） x ˉ ± z α / 2 ⋅ s n \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} xˉ±zα/2​⋅n ​s​
小样本（ σ \sigma σ 未知，正态总体） x ˉ ± t α / 2 ( n − 1 ) ⋅ s n \bar{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} xˉ±tα/2​(n−1)⋅n ​s​
（二）比例的区间估计

p ± z α / 2 ⋅ p ( 1 − p ) n ( 需满足  n p ≥ 5 , n ( 1 − p ) ≥ 5 ) p \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \quad (\text{需满足 } np \geq 5, n(1-p) \geq 5) p±zα/2​⋅np(1−p)​ ​(需满足 np≥5,n(1−p)≥5)

2.3 两个总体参数的区间估计

（一）均值之差（独立样本）
  • 大样本：
    ( x ˉ 1 − x ˉ 2 ) ± z α / 2 ⋅ s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} (xˉ1​−xˉ2​)±zα/2​⋅n1​s12​​+n2​s22​​ ​
  • 小样本（方差齐性）：
    ( x ˉ 1 − x ˉ 2 ) ± t α / 2 ( n 1 + n 2 − 2 ) ⋅ s p 1 n 1 + 1 n 2 (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2}(n_1 + n_2 - 2) \cdot s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} (xˉ1​−xˉ2​)±tα/2​(n1​+n2​−2)⋅sp​n1​1​+n2​1​ ​
    其中：
    s p 2 = ( n 1 − 1 ) s 1 2 + ( n 2 − 1 ) s 2 2 n 1 + n 2 − 2 s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} sp2​=n1​+n2​−2(n1​−1)s12​+(n2​−1)s22​​
（二）比例之差

( p 1 − p 2 ) ± z α / 2 ⋅ p 1 ( 1 − p 1 ) n 1 + p 2 ( 1 − p 2 ) n 2 (p_1 - p_2) \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} (p1​−p2​)±zα/2​⋅n1​p1​(1−p1​)​+n2​p2​(1−p2​)​ ​

第三节 样本量的确定

3.1 影响因素

因素影响
总体标准差 σ \sigma σ σ ↑ ⇒ n ↑ \sigma \uparrow \Rightarrow n \uparrow σ↑⇒n↑
最大允许误差 E E E E ↑ ⇒ n ↓ E \uparrow \Rightarrow n \downarrow E↑⇒n↓
置信水平 1 − α 1-\alpha 1−α 1 − α ↑ ⇒ n ↑ 1-\alpha \uparrow \Rightarrow n \uparrow 1−α↑⇒n↑
抽样方式不重复抽样所需样本量更小

3.2 计算公式

（一）估计总体均值
  • 重复抽样：
    n = ( z α / 2 ) 2 σ 2 E 2 n = \frac{(z_{\alpha/2})^2 \sigma^2}{E^2} n=E2(zα/2​)2σ2​
  • 不重复抽样：
    n ∗ = n 1 + n N n^* = \frac{n}{1 + \frac{n}{N}} n∗=1+Nn​n​
（二）估计总体比例
  • 重复抽样：
    n = ( z α / 2 ) 2 π ( 1 − π ) E 2 ( π 未知时取  π = 0.5 ) n = \frac{(z_{\alpha/2})^2 \pi(1-\pi)}{E^2} \quad (\pi \text{ 未知时取 } \pi = 0.5) n=E2(zα/2​)2π(1−π)​(π 未知时取 π=0.5)

经典例题解析

例题1：样本量计算

  • 题目：估计居民旅游费用（ σ = 1000 \sigma = 1000 σ=1000， E = 100 E = 100 E=100，置信水平 95%），求样本量。
  • 解析：
    n = ( 1.96 ) 2 ⋅ 100 0 2 10 0 2 ≈ 385 n = \frac{(1.96)^2 \cdot 1000^2}{100^2} \approx 385 n=1002(1.96)2⋅10002​≈385

总结

  1. 区间估计核心：用样本统计量构建包含总体参数的区间，置信水平反映区间可靠性。
  2. 样本量权衡：精度（误差 E E E）与成本（样本量 n n n）需平衡。
  3. 分布选择：大样本用正态分布，小样本用 t t t 分布，比例问题用二项近似正态。

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编程日记 2025/7/26 14:41:39

“Cloud Native English“云原生时代下的微服务架构设计：从理论到实战全解析

前引 &#xff1a;技术演进与架构变革的必然性 在数字经济高速发展的今天&#xff0c;软件系统的复杂度呈指数级增长。传统单体架构已无法满足高并发、弹性扩展和快速迭代的需求。根据Gartner预测&#xff0c;到2026年全球75%的企业将完成微服务架构改造。本文将深入探讨云原生…...

编程日记 2025/7/29 19:17:13

自由学习记录（61）

使用了 #pragma multi_compile_fwdbase 这条编译指令启用了 Unity 内部用于主光源阴影支持的一组关键词变体&#xff0c;如&#xff1a; SHADOWS_SCREEN&#xff08;屏幕空间阴影贴图&#xff09; SHADOWS_DEPTH&#xff08;深度图阴影&#xff09; SHADOWS_SOFT&#xff08…...

编程日记 2025/7/30 11:04:24

深入了解linux系统—— 基础IO（下）

前言 在基础IO&#xff08;上&#xff09;中&#xff0c;我们了解了文件相关的系统调用&#xff1b;以及文件描述符是什么&#xff0c;和操作系统是如何将被打开的文件管理起来的。 本篇文章来继续学习文件相关的知识 重定向 在了解重定向之前&#xff0c;我们先来看这样的…...

编程日记 2025/7/24 16:12:23

Flink Table SQL

Apache Flink 提供了强大的 Table API 和 SQL 接口&#xff0c;用于统一处理批数据和流数据。它们为开发者提供了类 SQL 的编程方式&#xff0c;简化了复杂的数据处理逻辑&#xff0c;并支持与外部系统集成。 &#x1f9e9; 一、Flink Table & SQL 核心概念 概念描述Table…...

编程日记 2025/7/25 10:52:54

【Git】基本操作

【简介】 Git是一种“版本控制器”&#xff0c; 可以用于记录每次的修改以及版本的迭代 其可以控制电脑上所有格式的文件&#xff0c;方便地查看文件的每个小修改版本都修改了什么内容&#xff0c;但前提条件是被管理的文件需要放在对应的git仓库&#xff08;又名“版本库”&…...

编程日记 2025/7/29 12:52:19

【八股战神篇】MySQL高频面试题

目录 专栏简介 一 什么是索引 延伸 1 索引的底层使用的是什么数据结构&#xff1f; 2 MySQL 索引分类有哪些&#xff1f; 3 什么字段适合创建索引&#xff1f; 4 索引失效的场景 5 什么是最左匹配原则&#xff1f; 二 为什么 InnoDB 存储引擎选用 B 树而不是 B 树呢&a…...

编程日记 2025/7/27 1:21:53

服务器防文件上传手写waf

一、waf的目录结构&#xff0c;根据自己目录情况进行修改 二、创建文件夹以及文件 sudo mkdir -p /www/server/waf-monitor sudo mkdir -p /www/server/waf-monitor/quarantine #创建文件夹 chmod 755 /www/server/waf-monitor #赋权cd /www/server/waf-monitor/touch waf-m…...

编程日记 2025/7/26 1:37:37

ElasticSearch-集群

本篇文章依据ElasticSearch权威指南进行实操和记录 1&#xff0c;空集群 即不包含任何节点的集群 集群大多数分为两类&#xff0c;主节点和数据节点 主节点 职责&#xff1a;主节点负责管理集群的状态&#xff0c;例如分配分片、添加和删除节点、监控节点故障等。它们不直接…...

编程日记 2025/7/30 12:37:57

Android开发——原生渲染方案实现 PDF 预览功能

Android开发——原生渲染方案实现 PDF 预览功能 1. 引言2. 原生渲染方案核心设计：从数据到视图3. 混合文档容器：ViewPager2 与适配器设计1. 引言 在移动应用开发中，PDF 预览是文档处理场景的核心需求之一。Android 生态提供了多元化的技术方案，从系统级简版预览到原生渲染…...

编程日记 2025/7/22 13:56:19