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实变函数 第二章 点集

news 来源：原创 2025/6/18 7:45:28

§2 点集

2.1 欧式空间

2.1.1 度量空间、欧式空间

Definition \textbf{Definition} Definition 度量空间 (距离空间)

若 ∀ x , y ∈ X : ∃ d : ( x , y ) → R \forall x,y\in X:\exists d:(x,y)\to\mathbb{R} ∀x,y∈X:∃d:(x,y)→R，满足：

  1. d ( x , y ) = d ( y , x ) ⩾ 0 d(x,y)=d(y,x)\geqslant 0 d(x,y)=d(y,x)⩾0；
  2. ∀ z : d ( x , y ) ⩽ d ( x , z ) + d ( y , z ) \forall z:d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(y,z) ∀z:d(x,y)⩽d(x,z)+d(y,z) (三点不等式)

则称 ( X , d ) (X,d) (X,d) 为度量空间， X X X 中元素称为点， d d d 称为点 x , y x,y x,y 之间的距离.若 X ⊇ Y ≠ ϕ X\supseteq Y\ne\phi X⊇Y=ϕ，则称 ( Y , d ) (Y,d) (Y,d) 为 ( X , d ) (X,d) (X,d) 的子空间.

Definition \textbf{Definition} Definition n n n 维欧式空间

  • ∀ x , y ∈ R : \forall x,y\in\mathbb{R}: ∀x,y∈R:
    d ( x , y ) = ∣ x − y ∣ d(x,y)=|x-y| d(x,y)=∣x−y∣
  • ∀ x = ( x 1 , x 2 ) , y = ( y 1 , y 2 ) ∈ R 2 : \forall x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2)\in\mathbb{R}^2: ∀x=(x1​,x2​),y=(y1​,y2​)∈R2:
    d ( x , y ) = ( x 1 − y 1 ) 2 + ( x 2 − y 2 ) 2 ⋮ d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2} \\\vdots d(x,y)=(x1​−y1​)2+(x2​−y2​)2 ​⋮
  • ∀ x = ( x 1 , ⋯ , x n ) , y = ( y 1 , ⋯ , y n ) ∈ R n : \forall x=(x_1,\cdots,x_n),y=(y_1,\cdots,y_n)\in\mathbb{R}^n: ∀x=(x1​,⋯,xn​),y=(y1​,⋯,yn​)∈Rn:
    d ( x , y ) = ∑ k = 1 n ( x k − y k ) 2 d(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_k-y_k)^2} d(x,y)=k=1∑n​(xk​−yk​)2 ​
    其中 ( R n , d ) (\mathbb{R}^n,d) (Rn,d) 称为 n n n 维欧式空间，简记为 R n \mathbb{R^n} Rn， d d d 称为欧几里得距离.

2.1.2 邻域、矩体

Definition \textbf{Definition} Definition 邻域
U ( P 0 ) = U ( P 0 , δ ) = { P : d ( P , P 0 ) < δ } U(P_0)=U(P_0,\delta)=\{P:d(P,P_0)<\delta\} U(P0​)=U(P0​,δ)={P:d(P,P0​)<δ}

Definition \textbf{Definition} Definition n n n 维区间(矩体)
点集
I : = { ( x 1 , ⋯ , x n ) : a i < x i < b i } I:=\{(x_1,\cdots,x_n):a_i<x_i<b_i\} I:={(x1​,⋯,xn​):ai​<xi​<bi​}
称 n n n 维开区间(开矩体)，改换不等号即为闭区间、半开半闭区间. b i − a i b_i-a_i bi​−ai​ 称为第 i i i 个边长， ∣ I ∣ : = ∏ i = 1 n ( b i − a i ) |I|:=\prod\limits_{i=1}^n(b_i-a_i) ∣I∣:=i=1∏n​(bi​−ai​) 称为体积.

2.1.3 点集距离、点集直径、有界点集

Definition \textbf{Definition} Definition 两个非空点集的距离
d ( E , F ) = inf ⁡ { d ( x , y ) : x ∈ E , y ∈ F } d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\} d(E,F)=inf{d(x,y):x∈E,y∈F}

Definition \textbf{Definition} Definition 一个非空点集直径
d i a m ( E ) = sup ⁡ P , Q ∈ E d ( P , Q ) \mathrm{diam}(E)=\sup\limits_{P,Q\in E}d(P,Q) diam(E)=P,Q∈Esup​d(P,Q)

Definition \textbf{Definition} Definition 有界点集
设 E ⊂ R n E\subset\mathbb{R}^n E⊂Rn，若
d i a m E < ∞ \mathrm{diam}\ E < \infty diam E<∞
则称 E E E 为有界点集(包含空集).

2.2 欧式空间的点

2.2.1 内点、外点、界点

Definition \textbf{Definition} Definition 内点、外点、界点

设 E ⊆ R n , P 0 ∈ R n E\subseteq\mathbb{R^n},P_0\in\mathbb{R^n} E⊆Rn,P0​∈Rn

  1. 内点：
    ∃ U ( P 0 ) ⊆ E \exists\ U(P_0)\subseteq E ∃ U(P0​)⊆E
    开核(全体内点)：
    E o : = { x : ∃ U ( x ) ⊆ E } \overset{o}{E}:=\{x:\exists\ U(x)\subseteq E\} Eo:={x:∃ U(x)⊆E}
  2. 外点： P 0 P_0 P0​ 是 E c E^c Ec 的内点，即 ∃ U ( P 0 ) ⊆ E c \exists\ U(P_0)\subseteq E^c ∃ U(P0​)⊆Ec
  3. 界点： P 0 P_0 P0​ 既非 E E E 内点也非外点. 即
    ∀ U ( P 0 ) : U ( P 0 ) ∩ E ≠ ϕ ∧ U ( P 0 ) ∩ E c ≠ ϕ \forall U(P_0):U(P_0)\cap E\ne\phi\wedge U(P_0)\cap E^c\ne\phi ∀U(P0​):U(P0​)∩E=ϕ∧U(P0​)∩Ec=ϕ
    边界(全体界点)： ∂ E : = { x : ∀ U ( x ) : U ( x ) ∩ E ≠ ϕ ∧ U ( x ) ∩ E c ≠ ϕ } \partial E:=\{x:\forall U(x):U(x)\cap E\ne\phi\wedge U(x)\cap E^c\ne\phi\} ∂E:={x:∀U(x):U(x)∩E=ϕ∧U(x)∩Ec=ϕ}

若 E ≠ ϕ 、 R n E\neq\phi、\mathbb{R^n} E=ϕ、Rn，则 E E E 至少有一个界点，即 ∂ E ≠ ϕ \partial E\ne\phi ∂E=ϕ.

2.2.2 聚点、孤点

Definition \textbf{Definition} Definition 聚点、孤点、闭包

  1. 聚点： 以下三种表述等价
    • P 0 P_0 P0​ 的任何邻域都含有无穷多 E E E 的点. 即 ∀ U ( P 0 ) ∩ E 为无限集 \forall U(P_0)\cap E\ 为无限集 ∀U(P0​)∩E 为无限集
    • P 0 P_0 P0​ 的任一邻域内至少含有一个属于 E E E 而异于 P 0 P_0 P0​ 的点. 即
      ∀ U ( P 0 ) ∩ E \ { P 0 } ≠ ϕ \forall U(P_0)\cap E\backslash \{P_0\}\ne\phi ∀U(P0​)∩E\{P0​}=ϕ
    • 存在 E E E 中互异点列 { P n } \{P_n\} {Pn​} 收敛于 P 0 P_0 P0​. 即
      ∃ { P n } ∀ i ≠ j : P i ≠ P j ⊆ E , s . t . P n → P 0 ( n → ∞ ) \exists\underset{\forall i\ne j:P_i\ne P_j}{\{P_n\}}\subseteq E,\ \mathrm{s.t.}\ P_n\to P_0(n\to\infty) ∃∀i=j:Pi​=Pj​{Pn​}​⊆E, s.t. Pn​→P0​(n→∞)
  • 导集(全体聚点)：
    E ′ : = { x : ∀ U ( x ) : U ( x ) ∩ E \ { x } ≠ ϕ } E':=\{x:\forall U(x):U(x)\cap E\backslash \{x\}\ne\phi\} E′:={x:∀U(x):U(x)∩E\{x}=ϕ}
  1. 孤立点： P 0 ∈ E P_0\in E P0​∈E 但非 E E E 的聚点. 即
    ∃ U ( P 0 ) ∩ E = { P 0 } \exists\ U(P_0)\cap E=\{P_0\} ∃ U(P0​)∩E={P0​}
  • 全体孤立点： E \ E ′ = { x : ∃ U ( x ) ∩ E = { x } } E\backslash E'=\{x:\exists\ U(x)\cap E=\{x\}\} E\E′={x:∃ U(x)∩E={x}}
  1. 闭包：
    E ‾ : = E ∪ E ′ = { x : ∀ U ( x ) : U ( x ) ∩ E ≠ ϕ } = E ∪ ∂ E = E o ∪ ∂ E \begin{align*} \overline{E}&:=E\cup E'=\{x:\forall U(x):U(x)\cap E\ne\phi\} \\&\ =E\cup\partial E=\overset{o}{E}\cup\partial E \end{align*} E​:=E∪E′={x:∀U(x):U(x)∩E=ϕ} =E∪∂E=Eo∪∂E​

Tips: 有限集没有聚点.

Theorem \textbf{Theorem} Theorem Bolzano-Weierstrass \text{Bolzano-Weierstrass} Bolzano-Weierstrass 定理(聚点定理)

若 E E E 为有界无限集，则 E E E 至少有一个聚点.

2.2.3 几类点的关系

R n \mathbb{R}^n Rn 中的点可以分类为点集 E E E 的 (1) 内点、界点、外点 或 (2) 聚点、孤立点、外点.

  • 界点是聚点或孤立点.
  • 内点必为聚点，但聚点可能是内点或界点.
  • E E E 的内点属于 E E E，但 E E E 的界点或聚点不一定属于 E E E.

2.3 欧式空间的基本点集

2.3.1 开集、闭集、紧集

Definition \textbf{Definition} Definition 开集、闭集

设 E ⊆ R n E\subseteq\mathbb{R^n} E⊆Rn.

  • 开集(open set)： E E E 的每个点都是 E E E 的内点. 即
    E ⊆ E o ⇔ E = E o E\subseteq\overset{o}{E}\Leftrightarrow E=\overset{o}{E} E⊆Eo⇔E=Eo

  • 闭集(closed set)： E E E 的每个聚点都属于 E E E. 即
    E ′ ⊆ E ⇔ ∂ E ⊆ E E'\subseteq E\Leftrightarrow\partial E\subseteq E E′⊆E⇔∂E⊆E

开集、闭集通常由 G G G、 F F F 表示.

Tips:

  1. 二者具有对偶性，取余集开闭互换.
  2. ∀ E ⊂ R n \forall E\subset\mathbb{R}^n ∀E⊂Rn，开核 E o \overset{o}{E} Eo 为开集，导集 E ′ E' E′ 、闭包 E ‾ \overline{E} E 为闭集.
  3. (1) 任意开集之并仍为开集，有限个开集之交仍为开集.
    (2) 任意闭集之交仍为闭集，有限个闭集之并仍为闭集.

Theorem \textbf{Theorem} Theorem Heine-Borel-Lebesgue \text{Heine-Borel-Lebesgue} Heine-Borel-Lebesgue 定理(有限覆盖定理)

在 R n \mathbb{R^n} Rn 中有界闭集的任一开覆盖必存在有限子覆盖.

Definition \textbf{Definition} Definition 紧集

  • 紧集(compact set)： 任一族覆盖 E E E 的开集，若可从中选出有限个开集仍然覆盖 E E E，则 E E E 为紧集. (或表述为：若 E E E 的任意开覆盖，都存在有限子覆盖，则 E E E 为紧集.)

Tips:

有限维欧式空间 R n \mathbb{R^n} Rn 中，紧集与有界闭集等价；在 R ∞ \mathbb{R^{\infty}} R∞ 或其他空间中，二者不等价.

2.3.2 自密集、完备集

Definition \textbf{Definition} Definition 自密集、完备集

设 E ⊆ R n E\subseteq\mathbb{R^n} E⊆Rn

  1. 自密集： 集合中每个点都是这个集的聚点. 或者说 没有孤立点的集. 即
    E ⊆ E ′ E\subseteq E' E⊆E′

  2. 完备集(完全集)： 是自密集且是闭集. 或者说 没有孤立点的闭集. 即
    E = E ′ E=E' E=E′

Tips: R \mathbb{R} R 中有理数全体为自密集； R \mathbb{R} R 中任一闭区间及全直线为完备集.

2.3.3 开、闭、完备集构造

Definition \textbf{Definition} Definition 构成区间

设 G G G 是直线上的开集，若开区间 ( α , β ) ⊆ G (\alpha,\beta)\subseteq G (α,β)⊆G，且 α , β ∉ G \alpha,\beta\notin G α,β∈/G，则称 ( α , β ) (\alpha,\beta) (α,β) 为 G G G 的构成区间.

Theorem \textbf{Theorem} Theorem 开集构造定理

直线上任一个非空开集可以表示成有限或可数个互不相交的构成区间的和集.

2.2.4 康托尔三分集

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编程日记 2025/5/27 8:29:51

芍药BAHD酰基转移酶-文献精读128

PoDPBT, a BAHD acyltransferase, catalyses the benzoylation in paeoniflorin biosynthesis in Paeonia ostii PoDPBT&#xff0c;一种BAHD酰基转移酶&#xff0c;在芍药&#xff08;Paeonia ostii&#xff09;中催化芍药苷生物合成中的苯甲酰化反应。 摘要 PoDPBT是属于BA…...

编程日记 2025/5/31 3:06:16

GTS-400 系列运动控制器板卡介绍（三十三）---运动程序单线程累加求和

运动控制器函数库的使用 运动控制器驱动程序、dll 文件、例程、Demo 等相关文件请通过固高科技官网下载，网 址为：www.googoltech.com.cn/pro_view-3.html 1 Windows 系统下动态链接库的使用 在 Windows 系统下使用运动控制器，首先要安装驱动程序。在安装前需要提前下载运动…...

编程日记 2025/5/29 8:49:30

C# 面向对象 构造函数带参无参细节解析

继承类构造时会先调用基类构造函数&#xff0c;不显式调用基类构造函数时&#xff0c;默认调用基类无参构造函数&#xff0c;但如果基类没有写无参构造函数&#xff0c;会无法调用从而报错&#xff1b;此时&#xff0c;要么显式的调用基类构造函数&#xff0c;并按其格式带上参…...

编程日记 2025/5/27 7:49:56

数字化工厂升级引擎：Modbus TCP转Profinet网关助力打造柔性生产系统

在当今的工业自动化领域&#xff0c;通信协议扮演着至关重要的角色。Modbus TCP和Profinet是两种广泛使用的工业通信协议&#xff0c;它们分别在不同的应用场景中发挥着重要作用。然而&#xff0c;有时我们可能需要将这两种协议进行转换&#xff0c;以实现不同设备之间的无缝通…...

编程日记 2025/5/27 7:16:43

【编译原理】词法分析器

//简单实现&#xff0c;伪代码 int code,value; strToken :" "; //置strToken为空串 GetChar();GetBC(); if(IsLetter()) beginwhile(IsLetter() or IsDigit())beginConcat();GetChar();endRetract();code:Reserve();if(code0)beginvalue:InsertId(strToken);retu…...

编程日记 2025/5/31 1:44:27

记录一次vue项目页面内嵌iframe页面实现跨域上传和下载附件的功能

功能背景&#xff1a;项目部署在外网&#xff0c;然后其中有一个功能需要上传下载附件&#xff0c;附件是上传到华为云对象存储服务OBS中&#xff08;私有云&#xff09;&#xff0c;所以采用iframe嵌套页面的方式解决跨域问题。 实现思路&#xff1a; 1、父窗口封装一个组件专…...

编程日记 2025/5/27 8:09:54

【Win32 API】 lstrcpyA()

作用 将字符串复制到指定的字符串缓冲区。 函数 LPSTR lstrcpyA(LPSTR lpString1, LPCSTR lpString2); 参数 lpString1 类型&#xff1a;LPTSTR 一个缓冲区&#xff0c;用于接收由 lpString2 参数指向的字符串的内容。 缓冲区必须足够大才能包含字符串&#xff0c;包括终止…...

编程日记 2025/6/1 9:18:09

报表控件stimulsoft教程：如何在报表和仪表板中创建热图

Stimulsoft Ultimate &#xff08;原Stimulsoft Reports.Ultimate&#xff09;是用于创建报表和仪表板的通用工具集。该产品包括用于WinForms、ASP.NET、.NET Core、JavaScript、WPF、PHP、Java和其他环境的完整工具集。无需比较产品功能&#xff0c;Stimulsoft Ultimate包含了…...

编程日记 2025/5/28 0:38:16

Axure疑难杂症：剖析面包屑导航“用户不迷路”（玩转导航）

亲爱的小伙伴，在您浏览之前，烦请关注一下，在此深表感谢！ Axure产品经理精品视频课已登录CSDN可点击学习https://edu.csdn.net/course/detail/40420 课程主题：剖析面包屑导航“用户不迷路” 主要内容：面包屑导航各种做法 应用场景：页面导航、页面路径、用户选择路径、…...

编程日记 2025/5/29 15:38:16

中exec()函数因$imagePath参数导致的命令注入漏洞

exec(zbarimg -q . $imagePath, $barcodeList, $returnVar); 针对PHP中exec()函数因$imagePath参数导致的命令注入漏洞&#xff0c;以下是安全解决方案和最佳实践&#xff1a; 一、漏洞原理分析 直接拼接用户输入$imagePath到系统命令中&#xff0c;攻击者可通过注入特殊字…...

编程日记 2025/5/29 17:07:08

HTML常用标签用法全解析：构建语义化网页的核心指南

HTML作为网页开发的基石&#xff0c;其标签的合理使用直接影响页面的可读性、SEO效果及维护性。本文系统梳理HTML核心标签的用法&#xff0c;结合语义化设计原则与实战示例&#xff0c;助你构建规范、高效的网页结构。 一、基础结构与排版标签 1.1 文档结构 <!DOCTYPE htm…...

编程日记 2025/5/29 11:45:50

【Linux】动静态库链接原理

&#x1f4dd;前言&#xff1a; 这篇文章我们来讲讲Linux——动静态库链接原理 &#x1f3ac;个人简介&#xff1a;努力学习ing &#x1f4cb;个人专栏&#xff1a;Linux &#x1f380;CSDN主页 愚润求学 &#x1f304;其他专栏&#xff1a;C学习笔记&#xff0c;C语言入门基础…...

编程日记 2025/5/29 12:57:27

Axure设计的“广东省网络信息化大数据平台”数据可视化大屏

在数据驱动决策的时代&#xff0c;数据可视化大屏成为了展示数据、洞察趋势的重要工具。今天&#xff0c;让我们一同深入了解由Axure设计的“广东省网络信息化大数据平台”数据可视化大屏&#xff0c;看看它如何通过精心的布局和丰富的图表类型&#xff0c;将复杂的数据以直观易…...

编程日记 2025/5/29 21:32:02

linux安装宝塔面板到数据盘

操作很简单&#xff0c;假如数据盘挂载在cipan1&#xff0c;在数据盘新建目录www&#xff0c;为了方便对应。 执行一下命令&#xff0c;创建软连接 ln -s /cipan1/www www 此时&#xff0c;根目录就出现了www文件夹 下面正常安装宝塔即可...

编程日记 2025/5/29 11:42:07

数学实验（Matlab编程基础）

一、函数文件 Matlab编程基础 Matlab作为一种广泛应用于科学计算的工具软件&#xff0c;不仅具有强大的数值计算、符号计算、矩阵运算能力和丰富的绘图功能&#xff0c;同时也具有和C、FORTRAN等高级语言一样进行程序设计 利用Matlab的程序控制功能&#xff0c;可以将有关Ma…...

编程日记 2025/5/29 8:49:51

不同坐标系下MATLAB绘制阵列的方向图

不同坐标系下MATLAB绘制阵列的方向图 球坐标系&#xff0c;极坐标系、直角坐标系 文章目录 前言一、极坐标系二、球坐标系三、直角坐标系总结 前言 \;\;\;\;\; 在阵列信号处理和天线设计中&#xff0c;方向图&#xff08;Pattern&#xff09;是描述波束形成性能的关键工具&…...

编程日记 2025/5/31 4:37:54

python可视化：北方省市人口流动与春运数据综合分析5

python可视化&#xff1a;北方省市人口流动与春运数据综合分析5 一、北方省市常住人口数据及变化趋势&#xff08;2023-2024第一季度&#xff09; 1. 主要城市常住人口数据&#xff08;按城市等级分类&#xff09; 城市类型2023Q1常住人口(万)2024Q1常住人口(万)变化量(万)变…...

编程日记 2025/5/28 7:35:59