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高等数学第七章---微分方程（§7.4-§7.5可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程）

news 来源：原创 2025/6/29 9:55:55

§7.4 可降阶的高阶微分方程

某些类型的高阶微分方程可以通过适当的变量代换，将其阶数降低，从而化为阶数较低的方程进行求解。

一、 $y^{(n)}=f(x)$ 型方程

特征：方程的左端是 $y$ 的 $n$ 阶导数，右端是仅含 $x$ 的函数。
解法：对此类高阶微分方程，可以通过对 $f (x)$ 进行 $n$ 次逐次积分求出其通解。每积分一次，就会出现一个任意常数。

例 1
解方程 $y^{\prime\prime}=e^{2 x}-\cos x$

解:
该方程属于 $y^{(n)}=f(x)$ 型。对原方程右端连续积分两次：
$\begin{align*} y^{\prime} &= \int\left(e^{2 x}-\cos x\right) d x = \frac{1}{2} e^{2 x}-\sin x+C_1, \\ y &= \int\left(\frac{1}{2} e^{2 x}-\sin x+C_1\right) d x = \frac{1}{4} e^{2 x}+\cos x+C_1 x+C_2 \end{align*}$
其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。

例 2
解方程 $\frac{d^5 y}{d x^5}-\frac{1}{x}\frac{d^4 y}{d x^4}=0$

解:
该方程可以看作是关于 $y^{(4)}$ 的方程。
令 $\frac{d^4 y}{d x^4}$ ，则 $\frac{d^5 y}{d x^5}=\frac{d u}{d x}$ 。原方程化为：
$\frac{d u}{d x}-\frac{1}{x} u=0$
这是关于 $u$ 和 $x$ 的一阶齐次线性方程（也是可分离变量方程）。
分离变量得 $\frac{du}{u} = \frac{dx}{x}$ 。
积分得 $ln|u| = \ln|x| + \ln|C_1'|$ ，即 $u=C_1 x$ (其中 $C_1 = \pm C_1'$ ，也可为0)。
于是有：
$\frac{d^4 y}{d x^4} = C_1 x$
对此方程进行逐次积分：
$\begin{align*} \frac{d^3 y}{d x^3} &= \int C_1 x dx = \frac{1}{2} C_1 x^2+C_2 \\ \frac{d^2 y}{d x^2} &= \int \left(\frac{1}{2} C_1 x^2+C_2\right) dx = \frac{1}{6} C_1 x^3+C_2 x+C_3 \\ \frac{d y}{d x} &= \int \left(\frac{1}{6} C_1 x^3+C_2 x+C_3\right) dx = \frac{1}{24} C_1 x^4+\frac{1}{2} C_2 x^2+C_3 x+C_4 \\ y &= \int \left(\frac{1}{24} C_1 x^4+\frac{1}{2} C_2 x^2+C_3 x+C_4\right) dx = \frac{1}{120} C_1 x^5+\frac{1}{6} C_2 x^3+\frac{1}{2} C_3 x^2+C_4 x+C_5 \end{align*}$
其中 $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5$ 为任意常数。

二、 $y^{\prime\prime}=f\left(x, y^{\prime}\right)$ 型方程（不显含 $y$ 型）

特征：方程中不显含未知函数 $y$ ，只含 $x, y^{'}, y^{''}$ 。
步骤:

换元降阶：令 $y^{\prime}=p(x)$ ，则 $y^{\prime\prime}=\frac{d p}{d x}=p^{\prime}$ 。原方程化为关于 $p$ 和 $x$ 的一阶微分方程 $p^{\prime}=f(x, p)$ 。
解一阶方程：解此一阶微分方程 $p^{\prime}=f(x, p)$ ，得其通解 $p=p\left(x, C_1\right)$ 。
反代积分：将 $p$ 替换回 $y^{\prime}$ ，即 $y^{\prime}=p\left(x, C_1\right)$ ，再对此方程积分一次，得到原方程的通解 $\int p(x, C_1) dx + C_2$ 。

例 3
解方程 $y^{\prime\prime}=\frac{1}{x} y^{\prime}+x e^x$

解:
该方程不显含 $y$ 。令 $y^{\prime}=p(x)$ ，则 $y^{\prime\prime}=\frac{d p}{d x}=p^{\prime}$ 。代入原方程有：
$p^{\prime}=\frac{1}{x} p+x e^x \quad \Rightarrow \quad p^{\prime}-\frac{1}{x} p=x e^x$
这是关于 $p$ 和 $x$ 的一阶非齐次线性微分方程。
其通解公式为 $e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x)dx} dx + C_1 \right)$ ，其中 $P(x)=-\frac{1}{x}, Q(x)=x e^x$ 。
$\int P(x)dx = \int -\frac{1}{x} dx = -\ln|x|$ 。
$e^{\int P(x)dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{|x|}$ 。
$e^{-\int P(x)dx} = e^{\ln|x|} = |x|$ 。
为方便计算，可取 $e^{\int P(x)dx} = \frac{1}{x}$ 和 $e^{-\int P(x)dx} = x$ (常数因子可并入 $C_1$ )。
$\left( \int x e^x \cdot \frac{1}{x} d x + C_1 \right) = x \left( \int e^x d x + C_1 \right) = x (e^x + C_1)$
因此， $y^{\prime} = x e^x + C_1 x$ 。
再次积分：
$\begin{align*} y &= \int (x e^x + C_1 x) d x \\ &= \int x e^x dx + C_1 \int x dx \\ &= (x e^x - \int e^x dx) + \frac{1}{2} C_1 x^2 + C_2 \\ &= (x - 1) e^x + \frac{1}{2} C_1 x^2 + C_2 \end{align*}$
其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。

三、 $y^{\prime\prime}=f\left(y, y^{\prime}\right)$ 型方程（不显含 $x$ 型）

特征：方程中不显含自变量 $x$ ，只含 $y, y^{'}, y^{''}$ 。
步骤:

换元降阶：令 $y^{\prime}=p(y)$ ，视 $p$ 为 $y$ 的函数。则 $y^{\prime\prime}=\frac{d p}{d x} = \frac{d p}{d y} \cdot \frac{d y}{d x} = p \frac{d p}{d y}$ 。原方程化为关于 $p$ 和 $y$ 的一阶微分方程 $\frac{d p}{d y} = f(y, p)$ 。
解一阶方程：解此一阶微分方程，得其通解 $p=p\left(y, C_1\right)$ （或隐式解 $\Phi(y,p,C_1)=0$ ）。
反代求解：将 $p$ 替换回 $y^{\prime}$ ，即 $y^{\prime}=p\left(y, C_1\right)$ (或 $\frac{dy}{dx}=p(y,C_1)$ )。这是一个可分离变量（或其他类型）的一阶方程，求解得到原方程的通解，可能包含 $y$ 和 $x$ 的隐式关系。

例 4
解方程 $y^{\prime\prime}-\left(y^{\prime}\right)^2=0$

解:
该方程不显含 $x$ 。令 $y^{\prime}=p(y)$ ，则 $y^{\prime\prime}=p \frac{d p}{d y}$ 。代入原方程得：
$\cdot p \frac{d p}{d y} - p^2 = 0$
当 $p = 0$ 时，即 $y^{'} = 0$ ，则 $y = C$ (常数)。代入原方程 $\cdot 0 - 0^2 = 0$ ，成立。故 $y = C$ 是解。
当 $\neq 0$ 时，方程两边同除以 $p$ ：
$\frac{d p}{d y} - p = 0 \quad \Rightarrow \quad y \frac{d p}{d y} = p$
假设 $\neq 0$ ，分离变量得 $\frac{d p}{p}=\frac{d y}{y}$ 。
两边积分得 $ln|p| = \ln|y| + \ln|C_1'|$ (其中 $C_1' > 0$ )，即 $p| = C_1' |y|$ 。
所以 $p=C_1 y$ (其中 $C_1 = \pm C_1'$ ，可以为任意实数)。
此 $p=C_1 y$ 包含了 $p = 0$ (当 $C_1=0$ 时) 的情况。
于是， $y^{\prime}=C_1 y$ 。
这是一个一阶齐次线性方程（也是可分离变量方程）。
若 $C_1=0$ ，则 $\Rightarrow y=C_2$ 。
若 $C_1 \neq 0$ ，分离变量 $\frac{dy}{y} = C_1 dx$ 。
积分得 $ln|y| = C_1 x + C_2'$ ，故 $\pm e^{C_2'} e^{C_1 x}$ 。
令 $C_2 = \pm e^{C_2'}$ (则 $C_2 \neq 0$ )，则 $y = C_2 e^{C_1 x}$ 。
综合 $C_1=0$ 和 $C_1 \neq 0$ 的情况，以及 $y = 0$ (当 $C_2=0$ 时)，通解可以表示为：
$y = C_2 e^{C_1 x}$
其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。（注： $y = 0$ 也是原方程的解，包含在通解中当 $C_2=0$ 时。）

§7.5 二阶线性微分方程

一、二阶线性微分方程的定义

二阶齐次线性微分方程 (Homogeneous Linear DE):
$y^{\prime\prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0$
其中 $P (x), Q (x)$ 是已知函数。
二阶非齐次线性微分方程 (Nonhomogeneous Linear DE):
$y^{\prime\prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f(x)$
其中 $P (x), Q (x), f (x)$ 是已知函数，且 $\not\equiv 0$ 。
若 $\equiv 0$ ，则方程退化为齐次方程。

二、二阶线性微分方程的解的结构

1. $y^{\prime\prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0$ (齐次方程) 的解的结构

(1) 解的叠加原理：
若 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是齐次方程 $y^{\prime\prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0$ 的两个解，则它们的任意线性组合 $y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)$ (其中 $C_1, C_2$ 为任意常数) 也是该方程的解。

注: 此线性组合 $y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)$ 必定是解，但不一定是通解。它成为通解的条件是 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 线性无关。

(2) 函数组的线性相关和线性无关性 (Linear Dependence and Independence)

设函数组 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 定义在区间 $I$ 上。如果存在 $n$ 个不全为零的常数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ ，使得在区间 $I$ 上恒有：
$k_1 y_1(x)+k_2 y_2(x)+\cdots+k_n y_n(x)\equiv 0$
则称该函数组在区间 $I$ 上线性相关。否则，称它们线性无关 (即仅当 $k_1=k_2=\cdots=k_n=0$ 时，上述恒等式才成立)。

注 (判别两个函数线性相关与线性无关的方法):
对于定义在区间 $I$ 上的两个函数 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ ：

若 $\frac{y_1(x)}{y_2(x)} = k$ (常数) (在 $y_2(x) \neq 0$ 的点上)，则 $y_1(x), y_2(x)$ 线性相关。
若 $\frac{y_1(x)}{y_2(x)} \neq \text{常数}$ (或 $y_1(x)/y_2(x)$ 不是常数函数)，则 $y_1(x), y_2(x)$ 线性无关。
(更一般的判别方法是使用朗斯基行列式 (Wronskian determinant))

(3) 齐次方程通解的结构：
若 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是二阶齐次线性方程 $y^{\prime\prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0$ 的两个线性无关的解 (称为一个基本解组)，则该方程的通解为：
$y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)$
其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。

注 (推广): 若 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 是 $n$ 阶齐次线性方程 $y^{(n)}+P_1(x) y^{(n-1)}+\cdots+P_{n-1}(x) y^{\prime}+P_n(x) y=0$ 的 $n$ 个线性无关的解，则其通解为：
$C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + \cdots + C_n y_n(x)$
其中 $C_1, C_2, \cdots, C_n$ 为任意常数。

2. $y^{\prime\prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f(x)$ (非齐次方程) 的解的结构

(1) 两个特解之差的性质：
若 $y_1^*(x)$ 和 $y_2^*(x)$ 是非齐次方程 $y^{\prime\prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f(x)$ 的任意两个解，则它们的差 $y_h(x) = y_1^*(x)-y_2^*(x)$ 必是对应的齐次线性方程 $y^{\prime\prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0$ 的一个解。

(2) 非齐次方程通解的结构：
若 $y^*(x)$ 是非齐次方程 $y^{\prime\prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f(x)$ 的一个特解 (any particular solution)，而 $Y (x)$ 是对应的齐次方程 $y^{\prime\prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0$ 的通解 (general solution of the homogeneous equation)，则该非齐次方程的通解为：
$y = Y(x) + y^*(x)$
即：非齐次方程的通解 = 对应齐次方程的通解 + 非齐次方程的任一特解。

(3) 解的叠加原理 (针对非齐次项)：
若 $y_1^*(x)$ 是方程 $y^{\prime\prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f_1(x)$ 的一个特解，
而 $y_2^*(x)$ 是方程 $y^{\prime\prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f_2(x)$ 的一个特解，
则 $y^*(x) = y_1^*(x)+y_2^*(x)$ 是方程 $y^{\prime\prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y = f_1(x)+f_2(x)$ 的一个特解。

练习与答案

解下列微分方程：
- (1) $y^{\prime\prime}=x+\sin x$
- (2) $y^{\prime\prime}=y^{\prime}+x$
- (3) $y^{\prime\prime}+2\left(y^{\prime}\right)^2=0$

在这里插入图片描述

试求 $y^{\prime\prime}=x$ 的一个积分曲线，该曲线经过点 $(0, 1)$ ，且在该点与直线 $y=\frac{x}{2}+1$ 相切。
(提示: 经过点 $(0, 1)$ 意味着 $y (0) = 1$ 。在该点与直线 $y=\frac{x}{2}+1$ 相切意味着在该点的斜率相同，即 $\frac{1}{2}$ 。)

在这里插入图片描述

已知 $y_1=1, y_2=x, y_3=x^2$ 是某二阶非齐次线性方程的 3 个解，求该微分方程的通解。
(提示: 利用非齐次方程解的结构 (1) 和 (2)。例如， $y_2-y_1$ 和 $y_3-y_1$ 是对应齐次方程的解。判断它们是否线性无关，然后构造齐次方程的通解。再任选一个作为特解。)

在这里插入图片描述

§7.4 可降阶的高阶微分方程

一、 y ( n ) = f ( x ) y^{(n)}=f(x) y(n)=f(x) 型方程

二、 y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y^{\prime\prime}=f\left(x, y^{\prime}\right) y′′=f(x,y′) 型方程（不显含 y y y 型）

三、 y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y^{\prime\prime}=f\left(y, y^{\prime}\right) y′′=f(y,y′) 型方程（不显含 x x x 型）

§7.5 二阶线性微分方程

一、二阶线性微分方程的定义

二、二阶线性微分方程的解的结构

1. y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 y^{\prime\prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0 y′′+P(x)y′+Q(x)y=0 (齐次方程) 的解的结构

2. y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f ( x ) y^{\prime\prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f(x) y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x) (非齐次方程) 的解的结构

练习与答案

相关文章：

一、 $y^{(n)}=f(x)$ 型方程

二、 $y^{\prime\prime}=f\left(x, y^{\prime}\right)$ 型方程（不显含 $y$ 型）

三、 $y^{\prime\prime}=f\left(y, y^{\prime}\right)$ 型方程（不显含 $x$ 型）

1. $y^{\prime\prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0$ (齐次方程) 的解的结构

2. $y^{\prime\prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f(x)$ (非齐次方程) 的解的结构