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Rodrigues旋转公式-绕任意轴旋转

news 来源：原创 2025/7/5 5:00:23

Rodrigues旋转公式

给定旋转轴单位向量 k = ( k x , k y , k z ) \mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z) k=(kx​,ky​,kz​)和旋转角度 θ \theta θ，旋转矩阵 R R R可以表示为：
R = I + sin ⁡ θ K + ( 1 − cos ⁡ θ ) K 2 R=I+\sin \theta K+(1-\cos \theta)K^2 R=I+sinθK+(1−cosθ)K2

其中：

  • I I I是单位矩阵
  • K K K是向量 k \mathbf{k} k的叉积矩阵：

K = [ 0 − k z k y k z 0 − k x − k y k x 0 ] K=\begin{bmatrix} 0&-k_z&k_y\\ k_z&0&-k_x\\ -k_y&k_x&0 \end{bmatrix} K= ​0kz​−ky​​−kz​0kx​​ky​−kx​0​ ​

推导过程

在这里插入图片描述
将向量 v \mathbf{v} v分解为平行和垂直于 k \mathbf{k} k的分量：
v = v ∥ + v ⊥ \mathbf{v}=\mathbf{v}_\parallel+\mathbf{v}_\perp v=v∥​+v⊥​

其中：
v ∥ = ( v ⋅ k ) k v ⊥ = v − v ∥ \mathbf{v}_\parallel=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{k})\mathbf{k} \\ \mathbf{v}_\perp=\mathbf{v}-\mathbf{v}_\parallel v∥​=(v⋅k)kv⊥​=v−v∥​

平行分量 v ∥ \mathbf{v}_\parallel v∥​旋转后不变
垂直分量 v ⊥ \mathbf{v}_\perp v⊥​旋转后在垂直于 k \mathbf{k} k的平面内旋转 θ \theta θ角度：
v ⊥ R O T = cos ⁡ θ v ⊥ + sin ⁡ θ ( k × v ) \mathbf{v}_\perp^{ROT}=\cos\theta\mathbf{v}_\perp+\sin\theta(\mathbf{k}\times\mathbf{v}) v⊥ROT​=cosθv⊥​+sinθ(k×v)

旋转后的向量为：
v R O T = v ∥ + v ⊥ R O T \mathbf{v}^{ROT}=\mathbf{v}_\parallel+\mathbf{v}_\perp^{ROT} vROT=v∥​+v⊥ROT​

= ( v ⋅ k ) k + cos ⁡ θ ( v − ( v ⋅ k ) k ) + sin ⁡ θ ( k × v ) =(\mathbf{v}\cdot\mathbf{k})\mathbf{k}+\cos\theta(\mathbf{v}-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{k})\mathbf{k})+\sin\theta(\mathbf{k}\times\mathbf{v}) =(v⋅k)k+cosθ(v−(v⋅k)k)+sinθ(k×v)

利用叉积矩阵 K K K，其中 k × v = K v \mathbf{k}\times\mathbf{v}=K\mathbf{v} k×v=Kv，可以写成：
v R O T = cos ⁡ θ v + sin ⁡ θ K v + ( 1 − cos ⁡ θ ) ( v ⋅ k ) k \mathbf{v}^{ROT}=\cos\theta \mathbf{v}+\sin\theta K\mathbf{v}+(1-\cos\theta)(\mathbf{v}\cdot\mathbf{k})\mathbf{k} vROT=cosθv+sinθKv+(1−cosθ)(v⋅k)k

又因为 ( v ⋅ k ) k = M v (\mathbf{v}\cdot\mathbf{k})\mathbf{k} = M\mathbf{v} (v⋅k)k=Mv， M = k ⋅ k T M = \mathbf{k}\cdot\mathbf{k}^{T} M=k⋅kT，可以写成：
v R O T = cos ⁡ θ v + sin ⁡ θ K v + ( 1 − cos ⁡ θ ) M v \mathbf{v}^{ROT}=\cos\theta \mathbf{v}+\sin\theta K\mathbf{v}+(1-\cos\theta)M\mathbf{v} vROT=cosθv+sinθKv+(1−cosθ)Mv

= [ cos ⁡ θ I + sin ⁡ θ K + ( 1 − cos ⁡ θ ) M ] v =\left[\cos\theta I+\sin\theta K+(1-\cos\theta)M\right]\mathbf{v} =[cosθI+sinθK+(1−cosθ)M]v
因此旋转矩阵为：

R = I + sin ⁡ θ K + ( 1 − cos ⁡ θ ) M R=I+\sin\theta K+(1-\cos\theta)M R=I+sinθK+(1−cosθ)M

展开后得到：
R = [ cos ⁡ θ + k x 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) k x k y ( 1 − cos ⁡ θ ) − k z sin ⁡ θ k x k z ( 1 − cos ⁡ θ ) + k y sin ⁡ θ k y k x ( 1 − cos ⁡ θ ) + k z sin ⁡ θ cos ⁡ θ + k y 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) k y k z ( 1 − cos ⁡ θ ) − k x sin ⁡ θ k z k x ( 1 − cos ⁡ θ ) − k y sin ⁡ θ k z k y ( 1 − cos ⁡ θ ) + k x sin ⁡ θ cos ⁡ θ + k z 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) ] R=\begin{bmatrix} \cos\theta+k_x^2(1-\cos\theta)&k_xk_y(1-\cos\theta)-k_z\sin\theta&k_xk_z(1-\cos\theta)+k_y\sin\theta\\ k_yk_x(1-\cos\theta)+k_z\sin\theta&\cos\theta+k_y^2(1-\cos\theta)&k_yk_z(1-\cos\theta)-k_x\sin\theta\\ k_zk_x(1-\cos\theta)-k_y\sin\theta&k_zk_y(1-\cos\theta)+k_x\sin\theta&\cos\theta+k_z^2(1-\cos\theta) \end{bmatrix} R= ​cosθ+kx2​(1−cosθ)ky​kx​(1−cosθ)+kz​sinθkz​kx​(1−cosθ)−ky​sinθ​kx​ky​(1−cosθ)−kz​sinθcosθ+ky2​(1−cosθ)kz​ky​(1−cosθ)+kx​sinθ​kx​kz​(1−cosθ)+ky​sinθky​kz​(1−cosθ)−kx​sinθcosθ+kz2​(1−cosθ)​ ​

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