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整数和浮点数转换时的精度损失

news 来源：原创 2025/7/5 12:25:11

文章目录

  • int和float转换时的精度损失
    • float组成解析
      • （1） 32位浮点数的结构
      • （2）示例：解析一个浮点数
      • （3）偏置值的作用
      • （4） 偏置值为什么是127？
      • （5）对比双精度浮点数（double）
    • 精度损失
      • （1）float→ int 的精度损失
        • 原因：
      • （2）int → float 的精度损失
  • 同理的long和double
    • （1）long
    • （2）double

实线代表无信息丢失转换，虚线代表可能有精度损失的转换。
在这里插入图片描述

int和float转换时的精度损失

在这里插入图片描述

float组成解析

（1） 32位浮点数的结构

单精度浮点数（float）占用 32位（4字节），按以下方式划分：

组成部分位数作用描述
符号位（Sign）1 bit决定数值的正负：0表示正数，1表示负数。
阶码（Exponent）8 bit存储指数部分（需减去偏置值 127 得到实际指数）。
尾数（Mantissa）23 bit存储小数部分（隐含开头的 1.，实际精度为24位）。

（2）示例：解析一个浮点数

假设32位二进制为：
0 10000010 01100000000000000000000

  • 符号位：0 → 正数。
  • 阶码：10000010（二进制） = 130（十进制） → 实际指数 = 130 - 127 = 3。
  • 尾数：01100000000000000000000 → 隐含“1.”后为 1.011（二进制） = 1 + 0.25 + 0.125 = 1.375（十进制）。
  • 最终值：+1.375×23=11.0+1.375×23=11.0。

（3）偏置值的作用

  • 支持负指数：
    • 若实际指数为 -3，则存储为 -3 + 127 = 124（二进制 01111100）。
    • 若实际指数为 5，则存储为 5 + 127 = 132（二进制 10000100）。
  • 统一比较规则：
    阶码作为无符号数时，直接比较大小即可判断指数的大小关系（无需处理符号位）。

（4） 偏置值为什么是127？

  • 对于 8位阶码，可能的值范围是 0 ~ 255。
  • 标准规定：
    • 阶码范围 1 ~ 254：表示规格化数（实际指数 -126 ~ +127）。
      （因为 1 - 127 = -126，254 - 127 = +127）。这里包括0，且这里是指数0和下面的阶码0不一样。
    • 阶码 0：表示非规格化数（Denormalized Numbers）或零。
    • 阶码 255：表示无穷大（Infinity）或非数值（NaN）。
  • 因此，偏置值 127 是 对称中心，使指数范围均衡覆盖正负值。

（5）对比双精度浮点数（double）

类型总位数符号位阶码位数尾数位数偏置值
float321823127
double64111521023

双精度（double）提供更高的精度和更大的范围，但占用两倍内存。

精度损失

（1）float→ int 的精度损失

原因：

  • 小数部分截断：float 可能包含小数，而 int 是纯整数，转换时小数部分直接被丢弃（不是四舍五入）。

    float f = 3.14f;
int i = (int)f; // i = 3（丢失 0.14）

  • 超出 int 范围：float 的表示范围（约 ±3.4×10³⁸）远大于 int（−2³¹ 到 2³¹−1），大数值转换会溢出。

    float f = 1e20f;
int i = (int)f; // i = Integer.MAX_VALUE（溢出）

（2）int → float 的精度损失

尾数位数限制：float 只有 23 位有效尾数（实际精度约 6-7 位十进制数），若 int 的绝对值超过 223=8,388,608223=8,388,608，低位数字会被舍入。

int i = 16_777_717;     // 二进制：1_00000000_00000000_00010101
float f = (float)i;      // f = 16_777_720.0（最后3位被舍入）

同理的long和double

（1）long

  • 存储格式：纯二进制补码形式，直接存储整数值。

  • 组成：

    部分位数说明
    符号位1 bit0 表示正数，1 表示负数。
    数值位63 bit存储整数的绝对值，采用补码编码（负数取反加1）。

（2）double

  • 存储格式：科学计数法的二进制形式，分为符号、阶码、尾数三部分。

  • 组成：

    部分位数说明
    符号位（S）1 bit0 正数，1 负数。
    阶码（E）11 bit存储指数（实际指数 = E - 1023，偏置值1023）。
    尾数（M）52 bit存储小数部分（隐含前导 1.，实际尾数为 1.M）。

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