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《数据库原理》部分习题解析

news 来源：原创 2025/7/12 20:47:29

《数据库原理》部分习题解析

1. 课本pg196.第1题。

（1）函数依赖
若对关系模式 R(U) 的任何可能的关系 r，对于任意两个元组 t₁ 和 t₂，若 t₁[X] = t₂[X]，则必须有 t₁[Y] = t₂[Y]，则称属性集 Y 函数依赖于属性集 X，记作：

X → Y

函数依赖是数据库规范化的基础，用于描述属性间的约束关系。

（2）部分函数依赖
若某关系的主键是复合主键（例如 A 和 B），存在一个非主属性 C 满足 A → C，但 B 无影响，即 C 并不依赖整个主键，则称为部分函数依赖。

（3）完全函数依赖
若某非主属性 C 对整个主键 (A, B) 依赖，且不依赖其任何子集，即：

(A, B) → C 且 A ⊬ C，B ⊬ C

（4）传递依赖

若存在 A → B，且 B → C，则可推出 A → C，且 C 并不直接依赖于 A，称为传递函数依赖。

（5）候选码
候选码是能唯一标识关系中元组的最小属性集。一个关系可有多个候选码。

（6）超码
超码是能够唯一标识元组的属性集，可以包含冗余属性。候选码 ⊆ 超码。所有候选码都是超码，但不是所有超码都是候选码。

（7）主码
从候选码中选出的一个，用作关系的唯一标识。主码值不能为 NULL。在一个表中只能有一个主码。

（8）外码
指向其他表主码的属性，表示关系间的引用。

（9）全码
若关系中所有属性组合构成唯一标识元组的候选码（即没有非主属性），则称该关系为全码关系。

（10）第一范式（1NF）
每一个属性的值必须是不可再分的数据项（原子性），即不能有数组、集合、嵌套结构。

（11）第二范式（2NF）
在满足1NF的基础上，消除了非主属性对主键的部分函数依赖。

（12）第三范式（3NF）
在2NF基础上，消除了非主属性对主键的传递依赖。形式：若 A 是主键，B 是非主属性，A → B 成立；如果还存在 B → C，那么 C 不应为非主属性。

（13）BCNF
每一个非平凡函数依赖 X → Y 中，X 必须是候选码（或超码）。

（14）第四范式（4NF）
在BCNF基础上，消除了非平凡且非函数依赖的多值依赖。如：若 A →→ B，且 B 与其他属性无关，则存在多值依赖，应进行拆分。

2. 课本pg197.第2题。

(1) 学生信息关系模式
关系模式：Student (Sno, Sname, Birthdate, Dept, Classno, Dormitoryno)

最小依赖集：
1. Sno → Sname
2. Sno → Birthdate
3. Sno → Classno
4. Classno → Dept （每个班只属于一个系）
5. Dept → Dormitoryno

传递函数依赖：
Sno → Classno → Dept，Dept → Dormitoryno ⇒ Sno → Dormitoryno

候选码： Sno
外部码（外键）： Dept → Dept 表；Classno → Class 表
全码： 无

(2) 班级信息关系模式
关系模式：Class (Classno, Major, Dept, Cnum, Cyear)

最小依赖集：
1. Classno → Major, Dept, Cnum, Cyear
2. (Dept, Major, Cyear) → Classno, Cnum （同一系‑专业当年只招一个班）

传递函数依赖： 无

候选码：
• Classno
• Dept, Major, Cyear

外部码（外键）： Dept → Dept 表
全码： 无

(3) 系信息关系模式
关系模式：Dept (Dept, Deptno, DeptLoc, Deptnum)

最小依赖集（假设系名唯一）：
1. Deptno → Dept, Deptnum
2. Dept → DeptLoc

传递函数依赖：
Deptno → Dept → DeptLoc ⇒ Deptno → DeptLoc

候选码： Deptno 和 Dept
外部码： 无
全码： 无

(4) 学会信息关系模式
关系模式：Union (Uname, Uyear, ULoc, Unum)

最小依赖集： Uname → Uyear, ULoc, Unum
传递函数依赖： 无
候选码： Uname
外部码： 无
全码： 无

(5) 学生‑学会关系模式
关系模式：StuUn (Sno, Uname, Uyear)

最小依赖集： (Sno, Uname) → Uyear

传递函数依赖： 无
完全函数依赖： (Sno, Uname) → Uyear （删除任一属性即失效）

候选码： Sno, Uname
外部码（外键）： Sno → Student 表；Uname → Union 表
全码： 无

3. 课本pg197.第6题。

(1) BCNF 判定

已知 A 是候选码，且仅有函数依赖 BC → DE。

R 属于 BCNF 当且仅当 BC → A 成立（即 BC 的闭包等于全集 U）。
若 BC 不能决定 A，则 BC 不是超键，该依赖违反 BCNF。

(2) 若 F = { A → B ; BC → D ; DE → A }

候选码的闭包计算结果：

ACE → ABCDE

BCE → ABCDE

CDE → ABCDE

所有候选码： ACE, BCE, CDE

(3) 在同一 F 下的范式

由于右部属性 B、D、A 均为主属性（包含在某候选码中），每条 FD 均满足 3NF 的条件。但左部 A、BC、DE 皆不是超键，所以违反 BCNF。

所以R 满足 3NF，但不满足 BCNF。

4. 设属性集U={XYZW}，函数依赖集F={X→Y，Y→Z，W→Y}，计算属性集闭包X+，XW+和(YW)+。

1. X⁺（X 的闭包）

步骤	当前闭包	说明
①	{ X }	初始仅含 X
②	{ X , Y }	X → Y 加入 Y
③	{ X , Y , Z }	Y → Z 加入 Z
④	—	无更多依赖可用

X⁺ = { X , Y , Z }

2. (XW)⁺（XW 的闭包）

步骤	当前闭包	说明
①	{ X , W }	初始含 X, W
②	{ X , W , Y }	X → Y 加入 Y
③	{ X , W , Y , Z }	Y → Z 加入 Z
④	—	已含 W，W → Y 已满足；闭包 = U

(XW)⁺ = { X , Y , Z , W } = U

3. (YW)⁺（YW 的闭包）

步骤	当前闭包	说明
①	{ Y , W }	初始含 Y, W
②	{ Y , W , Z }	Y → Z 加入 Z
③	—	已含 Y，依赖 W → Y 不变；无法推出 X

(YW)⁺ = { Y , Z , W }

5. 设有关系模式R(A, B, C, D, E)与它的函数依赖集F={A→BC, CD→E, B→D, E→A}，计算属性集闭包A+，B+，E+， (AD)+，(BC)+，(CD)+，(BCD)+；说明这些属性是否为R的候选码。

属性集	闭包计算过程（按依赖逐步加入）	结果	是否候选码¹
A	{A} ⭢ A→BC ⇒ {A B C} ⭢ B→D ⇒ {A B C D} ⭢ CD→E ⇒ {A B C D E}	A⁺ = ABCDE	是
B	{B} ⭢ B→D ⇒ {B D}	B⁺ = BD	否
E	{E} ⭢ E→A ⇒ {E A} ⭢ A→BC ⇒ {E A B C} ⭢ B→D ⇒ {E A B C D}	E⁺ = ABCDE	是
A D	{A D} ⭢ A→BC ⇒ {A B C D} ⭢ CD→E ⇒ {A B C D E}	(AD)⁺ = ABCDE	超键，非最小
B C	{B C} ⭢ B→D ⇒ {B C D} ⭢ CD→E ⇒ {B C D E} ⭢ E→A ⇒ {A B C D E}	(BC)⁺ = ABCDE	是
C D	{C D} ⭢ CD→E ⇒ {C D E} ⭢ E→A ⇒ {A C D E} ⭢ A→BC ⇒ {A B C D E}	(CD)⁺ = ABCDE	是
B C D	{B C D} ⭢ CD→E ⇒ {B C D E} ⭢ E→A ⇒ {A B C D E}	(BCD)⁺ = ABCDE	超键，非最小

综上，候选码为：A E BC CD

6. 设有函数依赖集F={C→A, A→B, B→C, C→B, A→C, BC→A}，求其最小函数依赖集Fmin。

原依赖集

F = { C→A ; A→B ; B→C ; C→B ; A→C ; BC→A }

最小化步骤

（1）右拆：原依赖右部均为单属性，无需拆分。

（2）左约：

对 BC→A： C⁺ (在当前集合) = ABC ⊇ A ⇒ B 冗余 → 删除整条（因为 C 单独已推出 A）。

（3）依赖约（逐条测试可推导性）：

A→B：必留（若删则无法由其它依赖推 B）。

B→C：必留（若删则无法推 C）。

C→A：必留（删除则无法推 A）。

其余三条(C→B, A→C, BC→A)都已冗余，可由保留三条推得。

Fmin={C→A,A→B,B→C}

满足：

（1）每条右部单属性。

（2）每条左部无多余属性。

（3）集内任一依赖都无法由其余依赖推出。

7. 设有关系模式R(Sno, Dept, Loc)，其中属性Sno、Dept和Loc分别表示学生学号、所在系别和系所在地点。函数依赖集有F={Sno→Dept, Dept→Loc}，若R有两种分解方法，分别为ρ1= {R1(Sno, Dept), R2(Sno, Loc)}；ρ2= {R1(Sno, Dept), R2(Dept, Loc)}。

（1）分别判别ρ1和ρ2是否有无损连接性。（用chase进行判别）

(a)ρ₁ = { R₁(Sno, Dept), R₂(Sno, Loc) }

行 / 列	Sno	Dept	Loc
R₁	a₁	a₂	b₁
R₂	a₁	b₂	a₃

1、Sno → Dept：两行 Sno 均为 a₁ ⇒ 统一 Dept → a₂

2、Dept → Loc：两行 Dept 均为 a₂ ⇒ 统一 Loc → a₃

行 / 列	Sno	Dept	Loc
R₁	a₁	a₂	a₃
R₂	a₁	a₂	a₃

结果：两行完全一致 → ρ₁ 无损连接。

(b)ρ₂ = { R₁(Sno, Dept), R₂(Dept, Loc) }

行 / 列	Sno	Dept	Loc
R₁	a₁	a₂	b₁
R₂	b₂	a₂	a₃

1、Dept → Loc：Dept 同为 a₂ ⇒ 统一 Loc → a₃

2、Sno → Dept 不再触发（Sno 值不同）

行 / 列	Sno	Dept	Loc
R₁	a₁	a₂	a₃
R₂	b₂	a₂	a₃

此时交集属性 {Dept} = a₂ 能决定 R₂ 的整行；满足无损条件 → ρ₂ 亦无损连接。

（2）分别判别ρ1和ρ2是否有保持函数性。

ρ₁：

投影 F 到 R₁：得到 Sno → Dept

投影 F 到 R₂：无非凡依赖

合并后缺少 Dept → Loc ⇒ 不保持函数性。

ρ₂：

投影到 R₁：Sno → Dept

投影到 R₂：Dept → Loc

合并恰为原 F ⇒ 保持全部依赖（保持函数性）。