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3.4 数字特征

news 来源：原创 2025/7/13 8:42:10

本章系统讲解随机变量的数字特征理论，涵盖期望、方差、协方差与相关系数的核心计算与性质。以下从四个核心考点系统梳理知识体系：

考点一：期望（数学期望）

1. 离散型随机变量的数学期望

  • 一维情形：
    E ( X ) = ∑ i = 1 ∞ x i p i E(X) = \sum_{i=1}^\infty x_i p_i E(X)=i=1∑∞​xi​pi​
  • 一维函数：
    E [ g ( X ) ] = ∑ i = 1 ∞ g ( x i ) p i E[g(X)] = \sum_{i=1}^\infty g(x_i) p_i E[g(X)]=i=1∑∞​g(xi​)pi​
  • 二维函数：
    E [ g ( X , Y ) ] = ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ g ( x i , y j ) p i j E[g(X,Y)] = \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty g(x_i, y_j) p_{ij} E[g(X,Y)]=i=1∑∞​j=1∑∞​g(xi​,yj​)pij​

2. 连续型随机变量的数学期望

  • 一维情形：
    E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx E(X)=∫−∞+∞​xf(x)dx
  • 一维函数：
    E [ g ( X ) ] = ∫ − ∞ + ∞ g ( x ) f ( x ) d x E[g(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) dx E[g(X)]=∫−∞+∞​g(x)f(x)dx
  • 二维函数：
    E [ g ( X , Y ) ] = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ g ( x , y ) f ( x , y ) d x d y E[g(X,Y)] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x,y) f(x,y) dxdy E[g(X,Y)]=∫−∞+∞​∫−∞+∞​g(x,y)f(x,y)dxdy

3. 数学期望的性质

  1. 常数性质： E ( C ) = C E(C) = C E(C)=C
  2. 线性性： E ( a X + b Y + c ) = a E ( X ) + b E ( Y ) + c E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c
  3. 独立性：若 X ⊥ Y X \perp Y X⊥Y，则 E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) E(XY) = E(X)E(Y) E(XY)=E(X)E(Y)
  4. 非乘积性：一般情形下 E ( X Y ) ≠ E ( X ) E ( Y ) E(XY) \neq E(X)E(Y) E(XY)=E(X)E(Y)

考点二：方差

1. 方差公式

D ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 D(X)=E(X2)−[E(X)]2

2. 方差性质

  1. 常数方差： D ( C ) = 0 D(C) = 0 D(C)=0
  2. 线性变换： D ( a X + b ) = a 2 D ( X ) D(aX + b) = a^2 D(X) D(aX+b)=a2D(X)
  3. 可加性：若 X ⊥ Y X \perp Y X⊥Y，则 D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y ) D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) D(X±Y)=D(X)+D(Y)
  4. 一般可加性：
    D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y ) ± 2 Cov ( X , Y ) D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\text{Cov}(X,Y) D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)

3. 常见分布的期望与方差

分布类型期望方差
0-1分布 p p p p ( 1 − p ) p(1-p) p(1−p)
二项分布 n p np np n p ( 1 − p ) np(1-p) np(1−p)
泊松分布 λ \lambda λ λ \lambda λ
均匀分布 a + b 2 \frac{a+b}{2} 2a+b​ ( b − a ) 2 12 \frac{(b-a)^2}{12} 12(b−a)2​
指数分布 1 λ \frac{1}{\lambda} λ1​ 1 λ 2 \frac{1}{\lambda^2} λ21​
正态分布 μ \mu μ σ 2 \sigma^2 σ2

考点三：协方差

1. 协方差公式

Cov ( X , Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) \text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)

2. 协方差性质

  1. 对称性： Cov ( X , Y ) = Cov ( Y , X ) \text{Cov}(X,Y) = \text{Cov}(Y,X) Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
  2. 自协方差： Cov ( X , X ) = D ( X ) \text{Cov}(X,X) = D(X) Cov(X,X)=D(X)
  3. 线性性： Cov ( a X , b Y ) = a b Cov ( X , Y ) \text{Cov}(aX, bY) = ab\text{Cov}(X,Y) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)
  4. 可加性：
    Cov ( X 1 + X 2 , Y ) = Cov ( X 1 , Y ) + Cov ( X 2 , Y ) \text{Cov}(X_1 + X_2, Y) = \text{Cov}(X_1,Y) + \text{Cov}(X_2,Y) Cov(X1​+X2​,Y)=Cov(X1​,Y)+Cov(X2​,Y)
  5. 独立性：若 X ⊥ Y X \perp Y X⊥Y，则 Cov ( X , Y ) = 0 \text{Cov}(X,Y) = 0 Cov(X,Y)=0

考点四：相关系数

1. 相关系数定义

ρ X Y = Cov ( X , Y ) D ( X ) D ( Y ) \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} ρXY​=D(X) ​D(Y) ​Cov(X,Y)​

2. 相关系数性质

  1. 有界性： − 1 ≤ ρ X Y ≤ 1 -1 \leq \rho_{XY} \leq 1 −1≤ρXY​≤1
  2. 线性相关性：
    • ∣ ρ X Y ∣ = 1 |\rho_{XY}| = 1 ∣ρXY​∣=1 的充要条件是存在常数 a , b a,b a,b 使得 P { Y = a X + b } = 1 P\{Y = aX + b\} = 1 P{Y=aX+b}=1
    • a > 0 ⇒ ρ X Y = 1 a>0 \Rightarrow \rho_{XY}=1 a>0⇒ρXY​=1； a < 0 ⇒ ρ X Y = − 1 a<0 \Rightarrow \rho_{XY}=-1 a<0⇒ρXY​=−1
  3. 独立性推论：若 X ⊥ Y X \perp Y X⊥Y，则 ρ X Y = 0 \rho_{XY} = 0 ρXY​=0（反之不成立）

总结

本章重点掌握：

  1. 期望的积分/求和本质：衡量随机变量分布的"中心位置"
  2. 方差与协方差的矩阵关系：协方差矩阵是半正定矩阵
  3. 相关系数的归一化特性：消除量纲影响，纯粹反映线性相关性
  4. 分布特征速查：常见分布的期望方差表格需熟记

真题技巧：

  • 计算复杂随机变量期望时，优先考虑分解为简单事件和
  • 协方差计算中，独立条件可大幅简化运算

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HBase-1.4.8整合Hive-2.3.3过程 一、摘要二、整合过程三、注意事项 一、摘要 HBase集成Hive&#xff0c;由Hive来编写SQL语句操作HBase有以下好处&#xff1a; 简化操作&#xff1a;Hive提供了类SQL的查询语言HiveQL&#xff0c;对于熟悉SQL的用户来说&#xff0c;无需学习HBas…...

编程日记 2025/6/29 1:07:25

AI智能分析网关V4助力工厂/工地/车间/能源矿山场景玩手机行为精准检测与安全生产智能化监管

一、方案概述​ 在数字化时代&#xff0c;智能手机的广泛使用给特定场景带来诸多管理挑战。在工业生产、教育教学、危化品作业等场所&#xff0c;人员玩手机易引发安全隐患。AI智能分析网关V4凭借先进的AI视频分析技术与强大的边缘计算能力&#xff0c;精准识别玩手机行为&…...

编程日记 2025/6/28 23:52:55

云手机服务器搭建

云手机服务器搭建的核心要点及实施指南&#xff1a; 一、硬件与网络基础要求 服务器硬件‌ 需配置至少2核4GB内存的云服务器&#xff08;推荐华为云、雨云等支持KVM虚拟化的服务商&#xff09; 必须支持KVM虚拟化技术&#xff08;需通过CPU虚拟化检测&#xff09; 建议选择大…...

编程日记 2025/6/29 0:44:45

软考 系统架构设计师系列知识点之杂项集萃（58）

接前一篇文章&#xff1a;软考 系统架构设计师系列知识点之杂项集萃&#xff08;57&#xff09; 第95题 RIPv2对RIPv1协议的改进之一为路由器必须有选择地将路由表中的信息发送给邻居&#xff0c;而不是发送整个路由表。具体地说&#xff0c;一条路由信息不会被发送给该信息的…...

编程日记 2025/6/29 0:57:27