当前位置：首页 > news >正文

【高数上册笔记01】：从集合映射到区间函数

news 来源：原创 2025/7/20 23:37:40

【参考资料】

同济大学《高等数学》教材
樊顺厚老师B站《高等数学精讲》系列课程（注：本笔记为个人数学复习资料，旨在通过系统化整理替代厚重教材，便于随时查阅与巩固知识要点）

仅用于个人数学复习，因为课本太厚了而且不方便带着，所以才整理这样一份笔记。

文章目录

- 一、集合
- - 1.1 集合的性质
  - 1.2 常见数集
  - 1.3 集合的运算
- 二、映射
- - 2.1 映射基本概念
  - 2.2 映射分类
  - 2.3 映射的性质与应用
  - 2.4 狄利克雷和符号
  - - 2.4.1 狄利克雷函数
    - 2.4.2 符号函数
- 三、区间和邻域
- - 3.1 区间
  - 3.2 邻域
- 四、函数
- - 4.1 函数特性
  - 4.2 六个基本初等函数
  - 4.3 极值、最值、拐点

一、集合

集合（set）是由确定的、互异的、无序的对象（称为元素）组成的整体。若 $\in A$ 表示 $x$ 是集合 $A$ 的元素， $\notin A$ 表示 $x$ 不是集合 $A$ 的元素。

列举法：将集合的所有元素一一列出。如： ${1,2,3\}$

描述法：通过元素的共同属性描述集合。如： $\{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}$

1.1 集合的性质

确定性：集合中的元素必须是明确的。
互异性：集合中的元素互不相同。
无序性：集合中的元素没有顺序之分。

1.2 常见数集

自然数集： $\mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\}$
正整数集： $\mathbb{N}^+ = \{1,2,3,\dots\}$
整数集： $\mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$
有理数集： $\mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} \mid p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z}^+ \right\}$
实数集： $\mathbb{R}$

1.3 集合的运算

基本运算

并集： $\cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}$
交集： $\cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}$
差集： $\setminus B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin B\}$
补集：设全集为 $U$ ，则 $A$ 的补集为 $\complement_U A = U \setminus A$
笛卡尔积： $\times B = \{(a,b) \mid a \in A, b \in B\}$

运算律

交换律： $\cup B = B \cup A$ ， $\cap B = B \cap A$
结合律： $\cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ ， $\cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
分配律： $\cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ ， $\cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

二、映射

2.1 映射基本概念

设 $X$ 和 $Y$ 是两个非空集合，若存在一个法则 $f$ ，使得对 $X$ 中的每个元素 $x$ ，在 $Y$ 中有唯一确定的元素 $y$ 与之对应，则称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的映射，记作：
$\rightarrow Y$
其中， $y = f (x)$ 称为 $x$ 在映射 $f$ 下的像， $x$ 称为 $y$ 的原像。

映射的三要素

定义域： $D_f = X$
对应法则： $f$
值域： $R_f = f(X) = \{ f(x) \mid x \in X \} \subset Y$

2.2 映射分类

满射（Surjective）
若映射的值域等于目标集 $Y$ ，即 $R_f = Y$ ，则称 $f$ 为满射。定义：对任意 $\in Y$ ，存在 $\in X$ ，使得 $f (x) = y$ 。
单射（Injective）
若 $X$ 中任意两个不同元素 $x_1 \ne x_2$ 的像也不同，即 $f(x_1) \ne f(x_2)$ ，则称 $f$ 为单射。
双射（Bijective）
若映射 $f$ 既是单射又是满射，则称其为双射（一一映射）。
性质：双射存在唯一的逆映射 $f^{-1}: Y \rightarrow X$ 。

$\text{满射：} f: \mathbb{R} \rightarrow [0, +\infty), \quad f(x) = x^2$
$\text{双射：} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = 2x + 3$
$\text{单射：} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = e^x$

2.3 映射的性质与应用

逆映射
设 $\rightarrow Y$ 是单射，则存在逆映射 $f^{-1}: R_f \rightarrow X$ ，满足：
$f^{-1}(y) = x \quad \text{当且仅当} \quad f(x) = y$
注意：只有单射才能定义逆映射！

复合映射
设 $\rightarrow Y$ 和 $\rightarrow Z$ 是两个映射，若 $R_f \subset D_g$ ，则可定义复合映射 $\rightarrow Z$ ，记作 $\circ f$ ，满足：
$\quad \text{对所有} \quad x \in X$

映射的等价性
映射 $\rightarrow Y$ 是双射，当且仅当存在映射 $\rightarrow X$ ，使得 $\circ g = \text{id}_Y$ 且 $\circ f = \text{id}_X$ ，其中 $\text{id}_X$ 是 $X$ 上的恒等映射。

2.4 狄利克雷和符号

2.4.1 狄利克雷函数

定义：
$\begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$
性质：

定义域： $\mathbb{R}$
值域： ${0,1\}$
无最小正周期（任何正有理数都是其周期）。

2.4.2 符号函数

定义：
$\text{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$
性质：

分段函数，值域为 ${-1,0,1\}$
满足 $\text{sgn}(x) \cdot |x|$

三、区间和邻域

3.1 区间

定义：区间是实数集的一个子集，通常表示为两个端点之间的连续范围。

分类：

闭区间：包含端点 $a$ 和 $b$ ，记作 $\{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}$
开区间：不包含端点 $a$ 和 $b$ ，记作 $\{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$
半开区间：包含一个端点，不包含另一个端点，记作 $[a, b)$ 或 $(a, b]$

区间的几何表示：

闭区间：线段两端点用实心点表示。
开区间：线段两端点用空心点表示。
半开区间：一端用实心点，另一端用空心点表示。

3.2 邻域

点 $a$ 的 $\delta$ 邻域：设 $\delta > 0$ ，则开区间 $\delta, a + \delta)$ 称为点 $a$ 的 $\delta$ 邻域，记作 $\delta)$ 。中心：点 $a$ ，半径： $\delta$

去心邻域：若去掉邻域的中心 $a$ ，则称为点 $a$ 的去心 $\delta$ 邻域，记作 $U^\circ(a, \delta)$ ，即：
$U^\circ(a, \delta) = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < |x - a| < \delta\}$

左 $\delta$ 邻域：开区间 $\delta, a)$

右 $\delta$ 邻域：开区间 $\delta)$

四、函数

4.1 函数特性

有界性
定义：函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上有界，若存在常数 $M > 0$ ，使得对所有 $\in I$ ，有 $\le M$ 。
无界性：若不存在这样的 $M$ ，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上无界。
单调性
- 单调递增：若 $x_1 < x_2$ 时， $f(x_1) \le f(x_2)$ ，则称 $f (x)$ 在区间 $I$ 上单调递增。
- 单调递减：若 $x_1 < x_2$ 时， $f(x_1) \ge f(x_2)$ ，则称 $f (x)$ 在区间 $I$ 上单调递减。
- 严格单调性：将“ $\le$ ”或“ $\ge$ ”替换为“ $<$ ”或“ $>$ ”即可。
奇偶性
- 偶函数：若 $f (- x) = f (x)$ ，则 $f (x)$ 是偶函数，图象关于 $y$ 轴对称。
- 奇函数：若 $f (- x) = - f (x)$ ，则 $f (x)$ 是奇函数，图象关于原点对称。
周期性：若存在正数 $T$ ，使得对所有 $x$ ，有 $f (x + T) = f (x)$ ，则称 $f (x)$ 是周期函数， $T$ 为其周期。最小的正周期称为基本周期。
- 正弦函数 $\sin x$ 的基本周期为 $2\pi$ 。
- 狄利克雷函数 $D (x)$ 的任何正有理数都是其周期（无最小正周期）。

4.2 六个基本初等函数

常数函数
- $f (x) = C$ （ $C$ 为常数）
- 图像为水平直线，有界且周期性（无最小正周期）。
幂函数
- $x^\alpha$ （ $\alpha$ 为常数）
- $\alpha > 0$ ：图像经过点 $(1, 1)$ ，在 $x > 0$ 时单调递增。
- $\alpha < 0$ ：图像经过点 $(1, 1)$ ，在 $x > 0$ 时单调递减。
指数函数
- $f(x) = a^x$ （ $\ne 1$ ）
- $a > 1$ ：单调递增。
- $0 < a < 1$ ：单调递减。
对数函数
- $f(x) = \log_a x$ （ $\ne 1$ ）
- $a > 1$ ：单调递增。
- $0 < a < 1$ ：单调递减。
三角函数
- 包括 $\sin x, \cos x, \tan x$ 等。
- 周期性： $\sin x$ 和 $\cos x$ 的周期为 $2\pi$ ， $\tan x$ 的周期为 $\pi$ 。
- 奇偶性： $\sin x$ 为奇函数， $\cos x$ 为偶函数。
反三角函数
- 包括 $\arcsin x, \arccos x, \arctan x$ 等。
- $\arcsin x$ 和 $\arccos x$ 的定义域为 $[- 1, 1]$ ，值域分别为 $\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 和 $\pi]$ 。
- $\arctan x$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ ，值域为 $\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 。

4.3 极值、最值、拐点

极值：通过导数判断函数的极大值或极小值。

最值：在闭区间上连续的函数一定存在最大值和最小值。

拐点：函数图像凹凸性发生改变的点，通过二阶导数的符号变化确定。