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2.5 特征值与特征向量

news 来源：原创 2025/8/11 21:55:11

本章围绕特征值、特征向量及其应用展开，是线性代数的核心章节之一。以下从四个核心考点系统梳理知识体系：

考点一：矩阵的特征值与特征向量

1. 计算方法

具体矩阵：
解特征方程 $|\lambda E - A| = 0$ 得特征值 $\lambda_i$ ，再解齐次方程组 $(\lambda_i E - A)x = 0$ 得特征向量。
抽象矩阵：
利用定义 $A\alpha = \lambda\alpha$ 建立方程组求解。

2. 核心性质

特征值之和： $\sum_{i=1}^n \lambda_i = \text{tr}(A)$ （矩阵的迹）
不同特征值的特征向量线性无关
同一特征值线性无关特征向量个数不超过特征值的个数

相关矩阵的特征值：

矩阵类型	特征值	特征向量
$A$	$\lambda$	$\alpha$
$A^2$	$\lambda^2$	$\alpha$
$f (A)$	$f(\lambda)$	$\alpha$
$A^{-1}$	$\lambda^{-1}$	$\alpha$
$A^\top$	同 $A$	未知
$B = P^{-1}AP$	同 $A$	$P^{-1}\alpha$

3. 秩为1矩阵的特殊情况

特征值：
$\lambda_1 = \text{tr}(A), \lambda_2 = \cdots = \lambda_n = 0$
可相似对角化条件：
当且仅当 $A$ 的非零特征值等于迹（即秩为1且迹非零）

考点二：相似矩阵

1. 定义与性质

定义：存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP = B$ ，记作 $\sim B$
必要条件：
① 特征值相同
② 秩相等
③ 相似矩阵必合同（实对称矩阵）
充要条件：
① 若 $\sim C$ 且 $\sim C$ ，则 $\sim B$
② 实对称矩阵： $\lambda_A = \lambda_B \Leftrightarrow A \sim B$

2. 特殊结论

矩阵相似性：
$\sim B \Leftrightarrow A^* \sim B^*$ （需 $∣ A ∣ = ∣ B ∣$ 且 $A$ 与 $B$ 可逆）
$\sim B \Leftrightarrow A^T \sim B^T$ （需 $∣ A ∣ = ∣ B ∣$ 且 $A$ 与 $B$ 可逆）
$\sim B \Leftrightarrow A^{-1} \sim B^{-1}$ （需 $∣ A ∣ = ∣ B ∣$ 且 $A$ 与 $B$ 可逆）
多项式矩阵相似性：
$\sim B \Rightarrow (A + kE) \sim (B + kE)$

考点三：相似对角化

1. 解题步骤

求特征方程 $|\lambda E - A| = 0$ 得所有特征值
对每个特征值解 $(\lambda_i E - A)x = 0$ 得基础解系
构造矩阵 $(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$ ，使 $P^{-1}AP = \Lambda$

2. 充要条件

定理： $n$ 阶矩阵可相似对角化 $\Leftrightarrow$ 每个特征值对应的线性无关特征向量个数等于其重数
分情况讨论：
- 单根特征值：必存在足够特征向量
- 重根特征值：需满足 $r(\lambda_i E - A) = n - k$ （ $k$ 为重数）

考点四：合同对角化（实对称矩阵）

1. 实对称矩阵性质

特征值均为实数
不同特征值对应的特征向量正交
必可相似且合同对角化

2. 合同对角化步骤

求特征方程 $|\lambda E - A| = 0$ 得特征值
解 $(\lambda_i E - A)x = 0$ 得正交特征向量
正交化 + 单位化得正交矩阵 $Q$
验证 $Q^\top A Q = \Lambda$

3. 施密特正交

设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 线性无关，将其正交化为 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_s$ ，再单位化为 $\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_s$ 。具体步骤如下：

正交化公式：
$\begin{aligned} \beta_1 &= \alpha_1 \\ \beta_2 &= \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 \\ \beta_3 &= \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)} \beta_2 \\ &\vdots \\ \beta_k &= \alpha_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{(\alpha_k, \beta_i)}{(\beta_i, \beta_i)} \beta_i \end{aligned}$

符号说明：

$(\cdot, \cdot)$ 表示向量内积（点积）
$\beta_k$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k$ 的正交线性组合

单位化公式：
$\gamma_i = \frac{\beta_i}{\|\beta_i\|} \quad (i=1,2,\dots,s)$
其中 $\|\beta_i\| = \sqrt{(\beta_i, \beta_i)}$ 为向量模长。

示例验证 设 $\alpha_1=(1,1,0)^\top, \alpha_2=(1,0,1)^\top$ ，正交化过程为： $\begin{aligned} \beta_1 &= (1,1,0)^\top \\ \beta_2 &= (1,0,1)^\top - \frac{(1,0,1) \cdot (1,1,0)}{(1,1,0) \cdot (1,1,0)} (1,1,0)^\top \\ &= (1,0,1)^\top - \frac{1}{2}(1,1,0)^\top = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)^\top \end{aligned}$ 单位化后得： $\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^\top, \quad \gamma_2 = \frac{\sqrt{6}}{3}(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)^\top$

总结

本章需重点掌握：

特征值计算与性质的综合应用
相似对角化的充要条件及步骤
实对称矩阵的正交对角化流程
建议结合真题训练，强化特征向量正交性与合同变换的结合应用。