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【漫话机器学习系列】237. TSS总平方和

news 来源：原创 2025/7/18 4:39:17

深度理解 TSS（总平方和）：公式、意义与应用

在机器学习与统计建模领域，评价模型好坏的重要指标之一就是方差与误差分析。其中，TSS（Total Sum of Squares，总平方和）扮演着非常关键的角色。今天我们就来深入剖析 TSS，从公式理解到实际应用，一步步搞懂它！

什么是 TSS？

TSS（总平方和） 是指样本数据中各观测值与其均值之间差异的总和，具体来说，是每个观测值到整体均值的偏差的平方，再将这些平方累加起来。

TSS可以用来衡量数据的总体变异性，也就是说：原始数据本身波动有多大？

TSS的数学公式

根据本文开头的图示，TSS 的定义公式为：

$TSS = \sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y})^2$

其中：

$y_i$ ：第 i 个样本的真实值（观测值）
$\overline{y}$ ：所有样本的平均值
n：样本总数

图中的标注也特别清晰：

$y_i$ 真实值 ➔ 每一个观测的数据点。
$\overline{y}$ 平均值 ➔ 所有观测点的均值，用于作为基准线。

这张图用简单的箭头标明了各元素的含义，非常友好。

为什么要平方？

也许你会好奇，为什么要对偏差进行平方呢？原因有两点：

避免正负抵消：如果不平方，正偏差和负偏差会互相抵消，导致总和接近零，失去意义。
强调大偏差：平方放大了大的误差，使得远离均值的点对 TSS 贡献更大。

因此，平方是必须的处理方式。

TSS的意义

TSS 衡量的是总体数据的分散程度。

如果 TSS 很小，说明大部分数据点离均值很近，数据比较集中。
如果 TSS 很大，说明数据点分布很散，离均值的距离很远。

在回归分析中，TSS 是衡量模型拟合优度（比如 $R^2$ 决定系数）的基础部分。

与其他平方和的关系

在回归分析中，除了 TSS，还有两个重要的平方和：

RSS（残差平方和，Residual Sum of Squares）：真实值与预测值之间的差异。
ESS（回归平方和，Explained Sum of Squares）：预测值与真实均值之间的差异。

三者之间有着重要的关系：

TSS = ESS + RSS

这意味着，TSS 可以分解为模型解释的部分（ESS）和模型无法解释的残差部分（RSS）。

简而言之：

TSS：原始数据的总波动。
ESS：模型能解释的数据波动。
RSS：模型不能解释的数据波动。

一个简单例子

假设我们有以下数据：

样本编号	$y_i$
1	2
2	4
3	6

计算过程如下：

计算均值： $\overline{y} = (2+4+6)/3 = 4$
计算每个点与均值的差值并平方：
- $(2 - 4)^2 = 4$
- $(4 - 4)^2 = 0$
- $(6 - 4)^2 = 4$
将平方和加总：

$TSS = 4 + 0 + 4 = 8$

因此，总平方和 TSS = 8。

TSS在实际中的应用

TSS 最常见的应用场景包括：

评估回归模型的拟合优度：TSS 用于计算 R2R^2 值。
$R^2 = 1 - \frac{RSS}{TSS}$
$R^2$ 越接近 1，说明模型越好。
特征工程中筛选特征：分析某个特征是否能有效减少数据波动。
聚类分析：衡量聚类效果，比如在 K-means 聚类中，也有类似的平方和概念。

总结

TSS 是理解数据变化范围的基础指标。
平方和的分解公式 $TSS = ESS + RSS$ 是理解回归分析的核心。
掌握 TSS 有助于进一步深入理解 R²、模型评价、特征选择等机器学习技术。

记住，理解 TSS，就是理解数据本身的变化规律！

参考资料

Chris Albon 手绘笔记
《统计学习方法》李航
《An Introduction to Statistical Learning》

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后续我还会继续分享更多统计与机器学习基础知识系列，敬请期待！

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