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Narendra自适应控制器设计

news 来源：原创 2025/5/9 11:09:18

上一篇介绍了在系统结构中引入前馈和反馈的结构，然后利用李雅普诺夫稳定性理论设计MRACS，在基于输入输出形式中，利用李雅普诺夫稳定性设计的自适应率中包含了误差的导数，这降低了系统的抗干扰性，为了避免这一缺点，Narendra提出了稳定自适应控制器方案。本文将介绍Narendra自适应控制器设计方案。

1、系统介绍

设单输入单输出系统的状态方程和输出方程为
$\begin{array} {c}{\dot{x}_{p}=A_{p}x_{p}+b_{p}u} \\ {y_{p}=h^{\mathrm{T}}x_{p}} \tag{1} \end{array}$
其中， $x_p$ 为 $n$ 状态向量， $A_p$ 为 $n\times n$ 矩阵， $b_p$ 为 $n\times 1$ 矩阵， $h^T$ 为 $1\times n$ 矩阵。
控制对象的传递函数为
$\begin{array}{c}W_{p}(s)=h^{\mathrm{T}}(sI-A_{p})^{-1}b_{p}=\frac{k_{p}Z_{p}(s)}{R_{p}(s)} \tag{2} \end{array}$
其中， $Z_p(s)$ 为 $m$ 阶首一古尔维茨多项式， $R_p(s)$ 为 $n$ 阶首一古尔维茨多项式。
参考模型的状态方程和输出方程为
$\begin{array} {c}{\dot{x}_{m}=A_{m}x_{m}+b_{m}r} \\ {y_{m}=h^{\mathrm{T}}x_{m}} \tag{3} \end{array}$
其中， $x_m$ 为 $m$ 状态向量， $A_m$ 为 $m\times m$ 矩阵， $b_m$ 为 $m\times 1$ 矩阵， $h^T$ 为 $1\times m$ 矩阵。
对应的传递函数为
$\begin{array} {c}W_{m}(s)=h^{\mathrm{T}}(sI-A_{m})^{-1}b_{m}=\frac{k_{m}Z_{m}(s)}{R_{_m}(s)} \tag{4} \end{array}$
其中， $Z_m(s)$ 为 $m$ 阶首一古尔维茨多项式， $R_m(s)$ 为 $n$ 阶首一古尔维茨多项式。

为了实现可调系统与参考模型的完全匹配，那么自适应控制器需要有足够多的可调参数。在上述系统中，最多有 $n + m + 1$ 个可调参数，故自适应机构需要 $n + m + 1$ 个可调参数与之对应。下面先讨论 $n - m = 1$ 的情况，构建的自适应系统为
在这里插入图片描述
相较于上一篇介绍的自适应系统，本系统在引入可调增益 $k_c$ 和反馈 $F_2$ 的基础上，在输入 $u$ 上也引入了一个反馈 $F_1$ ，反馈 $F_1,F_2$ 称为辅助信号发生器（反馈输出都作用到输入 $u$ 上）。

下面将对该系统的自适应率进行推导。

2、自适应率设计

辅助信号发生器 $F_1$ 系统的状态方程为：
$\begin{array}{c} \dot{v_1}=\Lambda v_1+bu \\ \omega_1=c^Tv_1 \tag{5} \end{array}$
对应的传递函数为：
$\begin{array}{c} W_1(s)=c^{\mathrm{T}}(sI-\Lambda)^{-1}b=\frac{C(s)}{N(s)} \tag{6} \end{array}$
辅助信号发生器 $F_2$ 系统的状态方程为：
$\begin{array}{c} \dot{v_2}=\Lambda v_2+by_p \\ \omega_2=d^Tv_2+d_0y_p \tag{7} \end{array}$
对应的传递函数为：
$\begin{array}{c} W_2(s)=d^{\mathrm{T}}(sI-\Lambda)^{-1}b+d_0=d_0+\frac{D(s)}{N(s)} \tag{8} \end{array}$
其中，
$\begin{array}{c} \Lambda = \begin{bmatrix} 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -l_1 & -l_2 & \cdots &-l_{n-1} \end{bmatrix} ,b= \begin{bmatrix} 0 \\ \cdots \\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \\ c^T= \begin{bmatrix} c_1&c_2&\cdots&c_{n-1} \end{bmatrix},d^T= \begin{bmatrix} d_1&d_2&\cdots&d_{n-1} \end{bmatrix} \tag{9} \end{array}$
其中， $N (s)$ 为首一多项式，阶数为 $n - 1$ ； $C (s), D (s)$ 为首一多项式，阶数为 $n - 2$ 。
可调系统等效结构图为
在这里插入图片描述
由此，可以得到可调系统的传递函数为
$\begin{array}{c} W(s)=\frac{y_p(s)}{r(s)}=\frac{k_cW_p(s)}{1+W_1(s)+W_2(s)W_p(s)}\\=\frac{k_c\frac{k_{p}Z_{p}(s)}{R_{_p}(s)}}{1+\frac{C(s)}{N(s)}+\left[ d_0+\frac{D(s)}{N(s)} \right] \left[\frac{k_{p}Z_{p}(s)}{R_{_p}(s)} \right]}\\=\frac{k_ck_pZ_p(s)N(s)}{\left[N(s)+C(s) \right]R_p(s)+k_pZ_p(s)[d_0N(s)+D(s)]} \tag{10} \end{array}$
当可调系统与参考模型完全匹配时，满足
$\begin{array}{c} \frac{k_{m}Z_{m}(s)}{R_{_m}(s)} = \frac{\widetilde{k}_c k_pZ_p(s)N(s)}{\left[N(s)+\widetilde{C}(s) \right]R_p(s)+k_pZ_p(s)[\widetilde{d_0}N(s)+\widetilde{D}(s)]} \tag{11} \end{array}$
即
$\begin{array}{c} \widetilde{k}_ck_p=k_m \\ N(s)=Z_m(s) \\ \left[N(s)+\widetilde{C}(s) \right]R_p(s)+k_pZ_p(s)[\widetilde{d_0}N(s)+\widetilde{D}(s)] = R_m(s)Z_p(s) \tag{12} \end{array}$
对于前面 $e q (12)$ 前两个等式容易实现，关键在于第三个等式。

注意到参考模型传递函数 $W_{m}(s)=\frac{k_{m}Z_{m}(s)}{R_{_m}(s)}$ ， $Z_m(s)$ 为 $m$ 阶首一古尔维茨多项式， $R_m(s)$ 为 $n$ 阶首一古尔维茨多项式，其有 $m$ 个零点， $n$ 个极点；

再从 $e q (11)$ 来看，等式右边分子为 $Z_p(s)N(s)$ 有 $m + n - 1$ 个零点，分母为 ${\left[N(s)+\widetilde{C}(s) \right]R_p(s)+k_pZ_p(s)[\widetilde{d_0}N(s)+\widetilde{D}(s)]}$ 有 $2 n - 1$ 个零点（零点判断方法为：判断是几次多项式）。可以得到，等式右边有 $m + n - 1$ 个零点， $2 n - 1$ 个极点。

现在 $e q (11)$ 左右两边要相等，那么等式两边多项式次数需要相同，即等式右边要有 $n - 1$ 个零点和极点相消。

接下来使用李雅普诺夫函数设计自适应规律：

设 $\omega$ 为可调系统的信号向量，维数为 $2 n$ 维，即
$\omega^T=\begin{matrix}[r&-v_1^T&y_p&-v_2^T] \end{matrix}$
（这里解释一下为什么使 $v 1$ 和 $v 2$ 前面带负号：从前面结构图可以看到，系统是负反馈，故需要带负号）

设 $\theta$ 为可调系统中的可调参数向量，维数 $2 n$ ，即
$\theta^T=\begin{matrix}[k_c&c^T&d_0&d^T]\end{matrix}$

根据结构框图，可以得到被控对象的输入信号为
$\begin{array}{c} u=\theta^T\omega \tag{13} \end{array}$
将 $e q (13)$ 带入前面辅助信号和被控对象的状态方程，可得
$\begin{array}{c} \dot{x}_p=A_px_p+b_p\theta^T\omega \\ \dot{v}_1=\Lambda v_1+b\theta^T\omega \\ \dot{v}_2=\Lambda v_2 + bh^Tx_p \\ y_p = h^Tx_p \tag{14} \end{array}$
将其转为
$\begin{array}{c} \begin{bmatrix} \dot{x}_p \\ \dot{v}_1 \\ \dot{v}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_p&0&0 \\ 0&\Lambda&0\\ bh^T & 0& \Lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_p \\v_1\\v_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_p \\b\\0 \end{bmatrix} \theta^T\omega \\ y_p = h^Tx_p \tag{15} \end{array}$
设 $\Psi=\theta - \bar{\theta}$ ，其中 $\bar \theta$ 为 $\theta$ 的理想值，当 $\Psi=0$ 时， $k_c=\bar{k}_c,c=\bar{c},d_0=\bar{d}_0,d=\bar{d}$ ，此时对应的输入为：
$\begin{array}{c} u=\theta^T\omega = [ \bar{\theta}+\Psi]^T\omega \\ =\bar{k}_cr-\bar c^Tv_1+\bar{d}_0h^Tx_p-\bar{d}^Tv_2+\Psi^T\omega \tag{16} \end{array}$

将 $e q (16)$ 代入 $e q (15)$ 整理可得增广状态方程为
$\begin{array}{c} \dot{x}=A_cx+b_c[\bar{k}_cr+\Psi^T\omega ] \\ y_p = h^Tx_p \tag{17} \end{array}$
其中，
$A_c=\begin{bmatrix} A_p+b_p\bar{d}_0h^T&-b_p \bar c^T&-b_p\bar{d}^T \\ b\bar{d}_0h^T&\Lambda-b \bar c^T&-b\bar{d}^T\\ bh^T & 0& \Lambda \end{bmatrix} \\ x^T=\begin{matrix}[x_p^T & v_1^T&v_2^T]\end{matrix},b_c^T=\begin{matrix}[b_p^T&b^T&0 ]\end{matrix}$
当 $\Psi=0$ 时，可调系统于参考模型输出相同，令 $e q (17)$ 中的 $\Psi=0$ ，可得参考模型的增广状态方程为
$\begin{array}{c} \dot{x}_{mc}=A_{c}x_{mc}+b_c\bar{k}_cr \\ y_m=h_c^Tx_{mc}=h^Tx_m \tag{18} \end{array}$
其中，
$x_{mc}^T=\begin{matrix}[x_m^T & v_{m1}^T&v_{m2}^T]\end{matrix},h_c^T=\begin{matrix}[h^T&0&0 ]\end{matrix}$
可得，参考模型的传递函数为
$W_m(s)=h_c^T(sI-A_c)^{-1}b_c\bar{k}_c$
定义广义状态误差
$e=x-x_{mc}=\begin{bmatrix}x_p-x_m\\v_1-v_{m1}\\v_2-v_{m2}\end{bmatrix}$
由可调对象增广状态方程 $e q (17)$ 和参考对象增广状态方程 $e q (18)$ ，可得增广状态误差方程为
$\begin{array}{c} \dot{e}=\dot{x}-\dot{x}_{mc}=A_ce+b_c\Psi ^T\omega \tag{19} \end{array}$
增广输出误差方程为
$\begin{array}{c}e_1=y_p-y_m=h^T(x_p-x_m)=h_c^Te\tag{20} \end{array}$

和前面几篇文章介绍的一样，我们需要增广状态误差 $e$ 和 $\Psi$ 趋于0，因此，设计李雅普诺夫函数为
$\begin{array}{c} V=\frac{1}{2}(e^TPe+\Psi^T\Gamma^{-1}\Psi)\tag{21} \end{array}$
对齐求导可得
$\dot{V}=\frac{1}{2}e^T(PA_c+A_c^TP)e+\Psi^T\omega b_c^TPe+\Psi^T\Gamma^{-1}\dot{\Psi}\\ = \frac{1}{2}e^T(PA_c+A_c^TP)e+\Psi^T(\omega b_c^TPe+\Gamma^{-1}\dot{\Psi})$
令
$PA_c+A_c^TP=-Q\\ \omega b_c^TPe+\Gamma^{-1}\dot{\Psi} = 0$
可得
$\begin{array}{c}\dot{\Psi}=-\Gamma \omega b_c^TPe\tag{22} \end{array}$
从 $e q (22)$ 可以看出，自适应率与 $b_c$ 和 $e$ 有关，而 $b_c$ 是未知的， $e$ 是不容易获得的，考虑到 $e_1$ 我们能直接获取，如果能设计 $b_c^TP=h_c^T$ ，那么就可以将 $e q (22)$ 转换为
$\begin{array}{c} \dot{\Psi}=-\Gamma \omega b_c^TPe=-\Gamma \omega e_1 \tag{23} \end{array}$
由 $\Psi=\theta - \bar{\theta}$ 可得
$\begin{array}{c} \dot{\theta}=\dot{\Psi} + \dot{\bar{\theta}}=-\Gamma \omega e_1 \tag{24} \end{array}$
可得自适应律为
$\begin{array}{c} \theta=-\int_{0}^{t}\Gamma \omega e_1d\tau + \theta(0) \tag{25} \end{array}$

3、例题

在这里插入图片描述
设
$y_{p}=W_{p}(s)u=\frac{k_{p}Z_{p}(s)}{R_{p}(s)}u,\quad y_{m}=W_{m}(s)r=\frac{k_{m}Z_{m}(s)}{R_{m}(s)}r$
则有
$R_{_p}(s)=s^{2}-5s+6,\quad Z_{_p}(s)=s+1,\quad k_{_p}=1 \\R_{m}(s)=s^{2}+3s+6,\quad Z_{m}(s)=s+2,\quad k_{m}=1$
引入两个辅助信号发生器 $F_1,F_2$ （1阶系统），分别为
$\dot{v}_{1}=-lv_{1}+u,\quad\omega_{1}=cv_{1}\\ W_{1}(s)=\frac{C(s)}{N(s)}=\frac{c}{s+l}\\ \dot{v}_{2}=-lv_{2}+y_{p},\quad \omega_{2}=d_{0}y_{p}+dv_{2}\\W_{2}=d_{0}+\frac{D(s)}{N(s)}=d_{0}+\frac{d}{s+l}$
设输出误差 $e_1$ ，可调参数向量 $\theta$ ，信号向量 $\omega$ 分别为
$\begin{array} {c}{e_{1}=y_{\mathrm{p}}-y_{\mathrm{m}}} \\\\ {\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}}= \begin{bmatrix} k_{c} & c & d_{0} & d \end{bmatrix}} \\\\ \omega^T= \begin{bmatrix} r & -v_1 & y_p & -v_2 \end{bmatrix} \end{array}$
将上述等式带入 $e q (10)$ 可得
$\begin{array}{c} W(s)=\frac{k_ck_pZ_p(s)N(s)}{\left[N(s)+C(s) \right]R_p(s)+k_pZ_p(s)[d_0N(s)+D(s)]} \\\\ =\frac{k_c(s+1)(s+l)}{[s+l+c](s^{2}-5s+6)+(s+1)[d_0(s+l)+d]}\\\\ =\frac{k_mZ_m(s)}{R_m(s)}=\frac{s+2}{s^2+3s+6} \tag{26} \end{array}$
根据第二节 $e q (12)$ 分析，要求
$N(s)=Z_m(s) \Rightarrow s+l=s+2 \Rightarrow l=2$
再根据等式两边分子分母多项式阶次相同（前面提到的有 $n - 1$ 的相同的零极点相消）可得，分母应该存在因式 $(s + 1)$ 。

因此，
$s+l+\bar c = s+1 \Rightarrow \bar c=-1$
$e q (26)$ 分子分母同时消去 $(s + 1)$ 可得
$\begin{array}{c} W(s) =\frac{k_c(s+1)(s+2)}{[s+1](s^{2}-5s+6)+(s+1)[d_0(s+2)+d]}\\= \frac{k_c(s+2)}{s^{2}-5s+6+d_0(s+2)+d} =\frac{s+2}{s^2+3s+6} \end{array}$
可得
$\bar{k_c}=1, \quad \bar{d}_0=8, \quad d=-16$
由 $eq(24)：\dot{\theta}=\dot{\Psi} + \dot{\bar{\theta}}=-\Gamma \omega e_1$ 可得，取 $\Gamma =E$ ，
$\dot{k}_c=-re_1, \quad \dot{c}=v_1e_1, \quad \dot{d}_0=-y_pe_1, \quad \dot{d}=v_2e_1$
及
$k_{c}(t)=-\int_{0}^{t}r(\tau)e_{1}(\tau)\mathrm{d}\tau+1,\quad c(t)=\int_{0}^{t}v_{1}(\tau)e_{1}(\tau) \mathrm{d}\tau-1\\\\ d_{0}(t)=-\int_{0}^{t}y_{p}(\tau)e_{1}(\tau)\mathrm{d}\tau+8,\quad d(t)=\int_{0}^{t}v_{2}(\tau)e_{1}(\tau)\mathrm{d}\tau-16$

simulink搭建仿真为
结构图中的子模块分别对应输入和输出之间的关系
其中 $F 1$ 模块为
在这里插入图片描述
$C$ 模块为

其他几个模块依次类推。

仿真结果如下
在这里插入图片描述
四个可调整参数变化情况为

4、总结

为了避免自适应率中出现误差的导数，Narendra自适应控制方案通过引入两个辅助信号 $F_1,F_2$ ，实现自适应率设计，但通过第二节推导可以看出，比单纯从李雅普诺夫稳定性推导要复杂。

至此，基于李雅普诺夫稳定性理论设计MRACS就到这了，下一篇将从超稳定性理论来设计MRACS。

1、系统介绍

2、自适应率设计

3、例题

4、总结

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