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傅里叶与相位偏移

news 来源：原创 2025/5/16 17:14:49

一、简介

大三的《离散数学》。。。。。

傅里叶变换是数学与工程领域的一项革命性工具，其核心思想是将复杂信号分解为简单正弦波的叠加，实现从时域（时间维度）到频域（频率维度）的转换。通过这种变换，可以分析信号的频率成分，广泛应用于信号处理、通信、图像分析、物理等领域

相位我们一般称之为相位偏移，在编码信息（通信）、控制波传播方向（雷达）、保持信号完整性（滤波）、重建结构（成像）等领域有非常重要的作用。

二、傅里叶变换简介

傅里叶级数

傅里叶变换 - crossoverpptx - 博客园

https://zhuanlan.zhihu.com/p/41455378

核心思想

分解与合成

分解与合成
任何复杂信号（如音频、图像、电磁波）均可表示为不同频率、幅度和相位的正弦波（或复指数函数）的组合。
- 时域：信号随时间变化的波形（如心电图、音乐波形）。
- 频域：信号中各频率分量的强度与相位分布（如频谱图）。
时频转换的意义
- 分析：识别信号中的主要频率成分（如检测噪声、识别语音特征）。
- 处理：在频域完成滤波、压缩等操作后，再通过逆变换还原信号。

数学表达

主要类型

信号滤波
- 去除噪声（如消除音频中的杂音），保留特定频率成分。
图像压缩
- JPEG 格式通过傅里叶变换分离高频（细节）和低频（轮廓），压缩高频数据。
通信系统
- 调制解调（如WiFi、5G）利用频域分配传输多路信号。
物理学
- 量子力学中波函数的频域分析，光学中的衍射计算。

时域频域的互换

时域（Time Domain）

定义：信号随时间变化的表示形式，横轴为时间，纵轴为幅值。
示例：音频波形、心电图、股票价格曲线。
特点：直观展示信号的动态变化，但难以直接识别频率特性。

频域（Frequency Domain）

定义：信号在频率维度上的表示形式，横轴为频率，纵轴为幅值或相位。
示例：频谱图（显示各频率分量的强度）、音乐的音符分布。
特点：清晰展示信号的频率组成，便于分析周期性、噪声或谐波。

转换原理

数学工具：傅里叶变换

1、连续傅里叶

2、离散傅里叶

二维：

转换方法

三、相位与相位偏移

相位：

周期性波形的波粒的位置称为波形的“相位”。一个波形的一个完整周期的完整相位是360°

相位差

正弦波的相位差可以定义为“一个波领先或落后于另一波的时间间隔”

相位差不是一个波的特性，而是两个或多个波的相对特性。这也称为“相位角”或“相位偏移”。

相位差方程

相位差和相移理论知识概括-CSDN博客

四步相移法

四步相移法（Four-Step Phase-Shifting Method） 是一种通过采集多幅相位差已知的干涉图来解调相位信息的技术，广泛应用于光学干涉测量、结构光三维成像、表面形貌检测等领域。其核心思想是通过引入已知的相位偏移，利用数学公式消除背景光强和调制幅度的干扰，从而精确提取目标相位。

基本原理

四步相移法的具体步骤

案例：

【四步相移法】光强公式理解和两个问题梳理_4部相位法-CSDN博客

1、先移动一个90度

2、根据1的推导分别移动2 步、3步、4步

3、如何确定相位值：

应用场景

光学干涉测量
检测光学元件表面面形、薄膜厚度。
结构光三维成像
投射四步相移条纹，解调物体表面三维形貌（如人脸扫描、工业检测）。
数字全息术
重建物光波的复振幅分布。
振动分析
测量机械部件的微振动相位变化。

与其他相移法的对比

示例：结构光三维成像

投射四步相移正弦条纹：
- 投影仪依次投射相位差为 π/2π/2 的条纹图案。
相机采集变形条纹：
- 物体表面形貌导致条纹相位调制。
计算相位：
- 使用四步相移公式解算包裹相位。
相位解包裹与三维重建：
- 结合标定参数，将相位转换为三维坐标

Matlab测试;


% 功能：模拟生成四步相移条纹图，解算相位并解包裹clc; clear; close all;%% 参数设置
N = 512;                    % 图像尺寸（N×N像素）
fringe_freq = 20;           % 条纹频率（单位：周期/图像宽度）
noise_level = 0.1;          % 噪声水平（0~1）%% 1. 生成模拟的四步相移条纹图
[x, y] = meshgrid(1:N, 1:N);
phi_true = 2*pi*fringe_freq*(x/N + y/N); % 真实相位（模拟平面倾斜）
phi_wrapped = angle(exp(1i*phi_true));   % 包裹相位（-π到π）% 生成四步相移条纹图（I1-I4）
I1 = 128 + 127*cos(phi_wrapped + 0);          % 相位偏移 0
I2 = 128 + 127*cos(phi_wrapped + pi/2);       % 相位偏移 π/2
I3 = 128 + 127*cos(phi_wrapped + pi);         % 相位偏移 π
I4 = 128 + 127*cos(phi_wrapped + 3*pi/2);     % 相位偏移 3π/2% 添加噪声模拟实际采集环境
I1 = imnoise(uint8(I1), 'gaussian', 0, noise_level);
I2 = imnoise(uint8(I2), 'gaussian', 0, noise_level);
I3 = imnoise(uint8(I3), 'gaussian', 0, noise_level);
I4 = imnoise(uint8(I4), 'gaussian', 0, noise_level);%% 2. 四步相移法解算包裹相位
I1 = double(I1); I2 = double(I2); I3 = double(I3); I4 = double(I4);% 相位解算公式
phi_wrapped_calculated = atan2((I4 - I2), (I1 - I3));%% 3. 相位解包裹（使用MATLAB内置函数）
phi_unwrapped = unwrap(phi_wrapped_calculated, [], 2); % 水平方向解包裹
phi_unwrapped = unwrap(phi_unwrapped, [], 1);          % 垂直方向解包裹%% 4. 结果可视化
figure('Color', 'white');% 原始干涉图（以I1为例）
subplot(2,2,1); imshow(uint8(I1), []); 
title('相移条纹图 (I1, 0°)'); axis off;% 包裹相位
subplot(2,2,2); imagesc(phi_wrapped_calculated); 
colormap jet; colorbar; title('解算的包裹相位'); axis off;% 解包裹后的相位
subplot(2,2,3); imagesc(phi_unwrapped); 
colormap jet; colorbar; title('解包裹后的连续相位'); axis off;% 真实相位（对比）
subplot(2,2,4); imagesc(phi_true); 
colormap jet; colorbar; title('真实相位（参考）'); axis off;%% 5. 误差分析（可选）
error = phi_unwrapped - phi_true;
figure; imagesc(error); 
colormap jet; colorbar; title('相位解算误差'); axis off;
fprintf('最大误差: %.4f rad\n均方根误差: %.4f rad\n', ...max(abs(error(:))), sqrt(mean(error(:).^2)));