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理解欧拉公式

news 来源：原创 2025/7/3 14:04:50

1. 欧拉公式中的符号

欧拉公式
$e^{ix}=\cos x+i\sin x$
当 $=\pi$ 时
$e^{i\:\pi}+1=0 //欧拉恒等式$
- $e$ :自然对数的底
- $i$ :虚数， $i^2 = -1$
- $\cos x+i\sin x$ :复数， $\cos x$ 为实部， $\sin x$ 为虚部，实部和虚部对应复平面的一个点，在复平面中如下图所示(所有的点都落在一个单位圆上)：

2. 理解欧拉公式的左右两边为什么是相等的

2.1 自然对数的底 $e$ 是什么

$e$ 表示 $n$ 趋近于无穷大时 $(1+\frac1n)^n$ 的极限，约等于 $2.718281828459045$
$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n$
记住一点：无论对 $e^x$ 求几阶导，结果都为 $e^x$ ,它的变化率是等于它本身的，它变化率的变化率也本身，变化率的变化率的变化率也等于它本身。。。。。。。可以无限套娃下去

2.2 $e^{ix}$ 为什么等于 $\cos x+i\sin x$

方法是对左右两边分别进行泰勒展开，关于泰勒展开可以参考我的另外一篇文章《泰勒多项式》
对 $e^{ix}$ 在 $0$ 点处进行泰勒展开：
$泰勒公式\\ P_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+ f''(a)\frac {(x-a)^2}{2!} + ... + f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}\\ ------------\\ 在零点处展开的公式（麦克劳林公式）\\ P_n(x)=f(0)+f'(0)(x)+ f''(0)\frac {(x)^2}{2!} + ... + f^{(n)}(0)\frac{(x)^n}{n!}\\ ------------\\ 将e^{ix}带入麦克劳林公式\\ e^x = e^0+(e^0)'(ix)+(e^0)''\frac {(ix)^2}{2!} + ... + (e^0)^{(n)}\frac{(ix)^n}{n!}\\ ------------\\ e^0的导数 = e^0 = 1\\ e^{ix} = 1 + ix + \frac {(ix)^2}{2!} + \frac {(ix)^3}{3!} ... + \frac{(ix)^n}{n!}\\ ------------\\ e^{ix}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(ix)^n}{n!} //注：0! = 1\\ ------------\\ 因为 i^2 = -1, 所以在n为偶数的时候，i是可以消掉的，所以，上述公式也可以写成实部和虚部两部分\\ e^{ix}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(ix)^{2n}}{(2n)!}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ --\\ e^{ix}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+i\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
对 $\cos x+i\sin x$ 进行泰勒展开
- 对 $\cos x$ 进行泰勒展开，过程不过多赘述了，直接写结果
  $\cos x = \cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots.\\\cos x = \sum_{n=0}^\infty\left(-1\right)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
- 对 $\sin x$ 进行泰勒展开，过程不过多赘述了，直接写结果
  $\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots.\\ \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty\left(-1\right)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
- $\cos x+i\sin x$ 的泰勒展开为
  $\cos x+i\sin x = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+i\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
总结：
如下图所示 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 的泰勒展开是完全一样的，所以等式两边是等价的

3. $e^{i\:\pi}+1=0$ 又为什么成立

3.1 分析

$e^{i\:\pi}$ 中的 $\pi$ 代表的是什么？直接说答案 - 角度，准确的说是 $180^0$ ，这是弧度值的表示方法
使用弧度制如何表示一个角度呢？其实很简单，就是弧长 / 半径 $\theta\left(\text{弧度}\right)=\frac{\text{弧长}s}{\text{半径}r}$
半圆的弧长是 $\:\pi r$ ，所以 $180^0 = \frac{\:\pi r}{r} = \:\pi$
常见角度与弧度对照表：

角度（度）	弧度（rad）
0°	0
30°	$\frac{\pi}{6}$
45°	$\frac{\pi}{4}$
60°	$\frac{\pi}{3}$
90°	$\frac{\pi}{2}$
180°	$\pi$

3.2 结论

因为 $\pi = 180^o$ ,所以
$e^{i\:\pi} = \cos {180^o}+i\sin {180^o}\\ e^{i\:\pi} = -1 + i*0\\ e^{i\:\pi} = -1\\ ----------------------------------------------\\ e^{i\:\pi}+1=0$

理解欧拉公式

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