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动态规划（一）【背包】

news 来源：原创 2025/7/12 15:48:57

首先我们要有一个状态数组，弄清楚它的状态表示，所谓状态表示，就是这个数组f(i,j)所代表的是什么，就背包而言，它代表的是一个集合，集合中所有选法中满足相应条件的最优解.这个最优解可能物体的某个属性，可以是最大值，最小值，数量等等。
其次就是状态的计算，也就是集合的划分，找到关系数组之间的关系式

01背包问题

01背包
每件物品只有一个(只能用一次)

在这里插入图片描述
以此题为例
用 i 记录物品数量，j 表示当前状态背包容量，那么函数数组f[i][j]表示的就是前i件物品放入容量为j的背包的最大价值.最终的最大价值就是i为n，j为m时的**f[n][m]**的值。
下面要推导状态转移方程，分两种情况，第i件物品放入和不放入。

如果放入，那么背包容量要减少Wi,同时价值增加Ci.
如果不放入，那么背包容量还是j不变，并且没有价值增加
-取二者的最大值，就是相应的f[i][j]

那么状态转移方程为：

$=\left\{ \begin{matrix} \ 放入i:f[i][j]=f[i-1][j-Wi]+Ci \\ 不放入 i： \ f[i] [j]\ =\ f[i-1][j] \end{matrix} \right.$
推导出：f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-Wi]+Ci)
边界条件：f[i][j]=0

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=205; 
int n,m,f[N][N],w[N],c[N];
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i]>>c[i];for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<=m;j++){f[i][j]=f[i-1][j];//这种情况一定存在 if(j>=w[i])//这种情况可能存在 f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]);}cout<<f[n][m]; return 0;
}

滚动数组优化（二维–>一维）

上面的10~16行可替换为：

for(int i=1;i<=n;i++)
{for(int j=m;j>=w[i];j--){f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);}
}

完全背包问题

完全背包
每件物品有无限个

在这里插入图片描述
可以看到01背包和完全背包的区别是

01背包：第i件物品可以放入0个或1个
完全背包：第i件物品可以放0，1，2，3…个（多个）

因此状态计算有所改变。
但是，f[i][j]表示的仍然是前i件物品放入容量为j的背包的最大价值。
同样是分两种情况，放i和不放i

如果不放入，i值不变，j也不变，f[i][j]=f[i-1][j]
如果放入，i还是i,这就是和01背包的区别啦，因为对于前i件物品，可能已经放入了第i件物品，容量为j时还能再放入第i件物品，那么f[i][j]=f[i][j-w[i]]+c[i].

那么状态转移方程为：

$=\left\{ \begin{matrix} \ 放入i:f[i][j]=f[i][j-Wi]+Ci \\ 不放入 i： \ f[i] [j]\ =\ f[i-1][j] \end{matrix} \right.$
推导出：f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-Wi]+Ci)
边界条件:f[i][j]=0

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=205;
int f[N][N],w[N],c[N];
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i]>>c[i];for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){if(j<w[i])f[i][j]=f[i-1][j];elsef[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-w[i]]+c[i]);}cout<<f[n][m];return 0;
}

上面的做法时间复杂度为O(nm)空间复杂度也为O(nm)
能否优化呢？答案是能！

优化

无法优化时间复杂度，但可以优化空间，我们可以直接让f[j]记录一行的数据，因为是顺序循环，f[j-w[i]]会比f[j]先更新出来，继而可以利用f[j-w[i]]更新出新的f[j]的值。
上面11~18行可以优化为：

for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{f[j]=max(f[j-w[i]]+c[i],f[j]);
}

多重背包

多重背包
每个物品有有限个(有个数限制)

那么01背包和多重背包的区别是：

01背包：第i件物品可以放入0个或1个
多重背包：第i件物品可以放0，1，2，3…s[i]个（有限个）

暴力写法(三重循环）
暴力来写我们就可以通过枚举，考虑每种情况，在条件的限制下，求得相应的f[i][j].
将多重转化为01：只需把第i件物品换成s[i]件01背包中的物品，那么每件物品的体积为j*v[i],价值为k*w[i].
类比01

for(int i=1;i<=n;i++)
{for(int j=m;j>=v[i];j--)f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}

转换后：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
int n,m,f[N][N],v[N],w[N],s[N];
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<=m;j++)for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++)f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);cout<<f[n][m];return 0;
}

将多重转化为01：只需把第i件物品换成s[i]件01背包中的物品，那么每件物品的体积为j*v[i],价值为k*w[i].
上面10~13行可以改为：

这题给的范围较小，但如果范围很大呢？我们又该如何优化呢？

二进制优化

二进制拆分思想：

如果我们将每i种物品的数量s[i]再拆分成一些数(转换为2的幂次数，这样就能的到每一个数），每次装进分好的系数个，并且每件物品的体积和价值都要乘以这个系数，就可以将多重背包真正的转化为01背包求解。
例如：
si=12.
拆分系数分别为：1，2，4，5；
这样就转化为4 个01 背包的物品
即：
（vi,wi),(2vi,2wi),(4vi,4wi),(5vi,5wi)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
int n,m,f[N],v[N],w[N],v1,w1,s1;
int main()
{cin>>n>>m;int ans=1;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>v1>>w1>>s1;//初值for(int j=1;j<=s1;j*=2){v[ans]=j*v1;w[ans]=j*w1;ans++;s1-=j;}if(s1)//如果有剩余{v[ans]=s1*v1;w[ans]=s1*w1;ans++;}}for(int i=1;i<ans;i++){for(int j=m;j>=v[i];j--)f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);}cout<<f[m];return 0;
}

感悟

辛苦你看到了最后~相信你一定会有所收获，另外，就算你学下来有点吃力，有点困难，也不要灰心丧气，我认为对我们初学者来说，动态规划是有点难理解，需要大家好好动下脑筋，然而不能因为一时学不会就妄自菲薄，认为自己不行，我们都要相信自己，如果学的慢学的费劲，也不要焦虑，我们并非天才，那就慢慢来，一步一个脚印。
既然写到了这里，我也不禁感叹一下，最近在大学语文种学的一首诗–《秋声赋》。里面有这两句“奈何以非金石之质，欲与草木而争荣” ，以及“百忧感其心，万事劳其形”。

我们常常为了追求功名与利禄而奔波忙碌，忽略了身边的美好，也忘记了倾听内心的声音。我们总是担心错过机会，害怕落后于人，责备自己不够优秀，于是在无尽的焦虑和压力种迷失了自我。然而我们应调整自己的心态，欣然面对每一件事，不必盲目与他人相比，别人两小时学会的东西，你两个星期能学会，那你就是好样的！不必过分纠结力所不能及之事。加油o~

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01背包问题

滚动数组优化（二维–>一维）

完全背包问题

优化

多重背包

二进制优化

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